三角函数难题

一、选择题：

1．为了得到函数ysin2x的图象，可以将函数ycos2x的图象（ ） 6 A 向右平移

 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 6363错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.

答案: B

2．函数ysinx1tanxtanx的最小正周期为 ( ) 2A  B 2 C

3 D

22错误分析:将函数解析式化为ytanx后得到周期T,而忽视了定义域的,导致出错. 答案: B 3．

1曲线y=2sin(x+)cos(x-)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为

442P1、P2、P3……，则P2P4等于 （ ） A． B．2 C．3 D．4

正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(x+)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出P2P4。

4．下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+

),其中以点(,0)为中心对称的三44

角函数有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。

5．函数y=Asin(x+)(>0,A0)的图象与函数y=Acos(x+)(>0, A0)的图象在区间(x0,x0+

上（ ）

A．至少有两个交点 B．至多有两个交点 C．至多有一个交点 D．至少有一个交点

正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。

)

6． 在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则C的大小应为( )

A．

 6 B．

 3 C．

5或 66 D．

2或 33正确答案：A 错因：学生求C有两解后不代入检验。 7．已知tan tan是方程x+33x+4=0的两根，若，(-2

,)，则+=（ ） 22 A．

 3 B．

2或-

33C．-

2或 33nn

2D．-

3正确答案：D 错因：学生不能准确角的范围。

8． 若sincos1，则对任意实数n，sincos的取值为（ ） A. 1 C.

B. 区间（0，1） D. 不能确定

12n1 解一：设点(sin，cos)，则此点满足

xy1 2 2xy1x0x1 解得或

y1y0 即sin0sin1 或cos1cos0nn sincos1 选A

解二：用赋值法， 令sin0，cos1 同样有sincos1

选A

说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与n无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件sincos1，导致了错选为C或D。

9． 在ABC中，3sinA4cosB6，3cosA4sinB1，则C的大小为（ ） A.

22nn 6 B.

5 6C.

5或 66D.

2或 33 解：由3sinA4cosB6平方相加得

3cosA4sinB1sin(AB) sinC12

12C5或66 若C 则AB566

13cosA4sinB0

1cosA3 又

11 3235 C

6CA6 选A

说明：此题极易错选为C，条件cosA目条件的挖掘。

10． ABC中,A、B、C对应边分别为a、b、c.若ax,b2,B45,且此三角形有两解,则x的取值范围为 ( )

A.(2,22) B.22 C.(2,) D. (2,22] 正确答案：A

错因：不知利用数形结合寻找突破口。 11．已知函数 y=sin(x+)与直线y＝周期是（ ） A

1比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题31的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的23 B  C 2 D 4 3正确答案：B

错因：不会利用范围快速解题。 12．函数y2sin(62x)(x[0,])为增函数的区间是………………………… ( )

A. [0,3] B. [12,7] 12C. [3,5 ] 6D. [5,] 6正确答案：C

错因：不注意内函数的单调性。 13．已知,,且cossin0，这下列各式中成立的是（ ） 2 A. B.正确答案(D)

333 C. D. 222错因:难以抓住三角函数的单调性。

14．函数的图象的一条对称轴的方程是（）

正确答案A

错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15．ω是正实数，函数f(x)2sinx在[ A．0正确答案A

错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)内，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范围是 （ ） A、 (

3 2B．02

,]上是增函数，那么（ ） 3424C．0 D．2

7

344,) B、 (

53337（) ,) C、,2） D、(,42224正确答案：C 17．设f(x)sin(x则x1x2为 A、

4)，若在x0,2上关于x的方程f(x)m有两个不等的实根x1,x2，

55或 B、 C、 D、不确定

2222正确答案：A

53，sinB=，则cosC的值为（ ） 1351656165616 A、 B、 C、或 D、

6565656565 答案：A

18．△ABC中，已知cosA=

点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。

19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ） A、

552 B、 C、或 D、或

663663 答案：A

点评：易误选C，忽略A+B的范围。 20．设cos1000=k，则tan800是（ ）

k1k21k21k2 A、 B、 C、 D、

2kkk1k 答案：B

点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。 21．已知角的终边上一点的坐标为（sin22），则角的最小值为（ ）。 ,cos3352511A、 B、 C、 D、

6336正解：D

2351122tancos,或，而sin0cos0

336633所以，角的终边在第四象限，所以选D，误解：tantan11 622,,选B 3322．将函数yf(x)sinx的图像向右移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到的函数

4y12sin2x的图像，则f(x)可以是（ ）。

A、2cosx B、2cosx C、2sinx D、2sinx

正解：B

y12sin2xcos2x,作关于x轴的对称变换得ycos2x,然后向左平移

位得函数ycos2(x个单44)sin2xf(x)sinx 可得f(x)2cosx

误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。

23． A，B，C是ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ABC是（ ）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 正解：A

23tanAtanB5由韦达定理得：

tanAtanB135tanAtanB53tan(AB)1tanAtanB22

3在ABC中，tanCtan[(AB)]tan(AB)520 C是钝角，ABC是钝角三角形。

24．曲线xcosysin(为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）

。 A、

12 B、22 C、1 D、2

正解：D。

dcossin

由于xcossin所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑I的情况，ydsincos

则d2sin4∴dmax2

误解：计算错误所致。

25．在锐角⊿ABC中，若tanAt1，tanBt1，则t的取值范围为（ ）

A、(2,) B、(1,) C、(1,2) D、(1,1) 错解: B.

错因:只注意到tanA0,tanB0,而未注意tanC也必须为正. 正解: A. 26．已知sinm3m5，cos42mm5（2），则tan （C） A、42mm3 B、m342m C、53512 D、4或12

错解：A

错因：忽略sin2cos21，而不解出m 正解：C

即

π

27．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则

3所得函数图象对应的解析式为 （ ）

ππ

A．y=sin(－2x+ ) B． y=sin(－2x－)

332π2π

C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)

33错解：B

π错因：将函数y=sin2x的图象向右平移3个单位长度时，写成了ysin(2x)

3正解：D

28．如果log1|x2ππ|log1，那么sinx的取值范围是（ ） 322A．[331111111)(，] B．[，1] C．[，)(，1] D．[，，1] 222222222错解: D．

错因:只注意到定义域x正解: B． 29．函数y A、[k3,而忽视解集中包含x2. 3sinxcosx的单调减区间是（ ）

4,k4] （kz） B、[k3,k](kz) 44](kz)

C、[2k4,2k2](kz) D、[k4,k2 答案：D

错解：B

错因：没有考虑根号里的表达式非负。

1,则cosxsiny的取值范围是（ ） 2113113 A、[,] B、[,] C、[,] D、[1,1]

2222221 答案：A设cosxsinyt,则(sinxcosy)(cosxsiny)t，可得sin2x sin2y=2t,由

211sin2xsin2y1即2t1t。

2230．已知sinxcosy 错解：B、C

错因：将sinxcosy11与cosxsinyt相加得sin(xy)t由 221311sin(xy)1得1t1得t选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均

222须满足。

31．在锐角ABC中，若C=2B，则

c的范围是（ ） b A、（0，2） B、(2,2) C、(2,3) D、(1,3) 答案：C 错解：B

错因：没有精确角B的范围

2上交点的个数是 （ ） 32．函数ysinx和ytanx的图象在2，A、3 B、5 C、7 D、9

正确答案：B

错误原因：在画图时，0＜x＜

时，tanx＞sinx意识性较差。 233．在△ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1,则∠C的大小为 （ ） A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150° 正确答案：A

错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴sinA＜

1，∴3sinA4cosB211＜6和题设矛盾 234．函数fxsinxcosxsinxcosx的最小正周期为 （ ） A、2 B、 C、

 D、 24正确答案：C

错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得

fxfx,故T

2235．函数ysinx1tanxtanA、 B、2x的最小正周期为 （ ） 2 C、

3 D、

22正确答案：B

错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。

，0上为等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） 36．已知奇函数fx在1A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ)

C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ) 正确答案：（C）

错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。

＝sinx在3，37．设0,函数fx那么ω的取值范围为（ ） 4上为增函数，A、02 B、032

C、0247 D、2

正确答案：(B)

错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。

二填空题：

1．已知方程x4ax3a10（a为大于1的常数）的两根为tan，tan， 且、2的值是_________________. ,，则tan2222错误分析：忽略了隐含tan,tan是方程x4ax3a10的两个负根，从而导致

错误.

正确解法：a1 tantan4a0，tantan3a1o tan,tan是方程x4ax3a10的两个负根 又,2, ,,0 即,0

22222tantan4a4==可得tan2.

1tantan13a132 由tan=

答案: -2 .

2．已知5cos4cos4cos,则coscos的取值范围是_______________.错误分

2析:由5cos4cos4cos得coscos2222225cos2代入cos2cos2中,化为关4于cos的二次函数在1,1上的范围,而忽视了cos的隐含,导致错误.

答案: 0,16. 25222略解: 由5cos4cos4cos得coscos5cos2 1 4 cos0,1 cos0,

524 将（1）代入coscos得coscos=3．若A0,,且sinAcosA22221610,. cos22142575sinA4cosA,则_______________. 1315sinA7cosA722错误分析:直接由sinAcosA,及sinAcosA1求sinA,cosA的值代入求得两解,

13,出错. 2忽略隐含A答案:

8. 434．函数f(x)asinxb的最大值为3，最小值为2，则a______，b_______。 解：若a0

1aab32 则 

5ab2b2 若a0

1aab32 则

ab2b52 说明：此题容易误认为a0，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5．若Sin

234 cos，则α角的终边在第_____象限。 525 正确答案：四 错误原因：注意角

的范围，从而α的范围。 2ACACtan3tantan的值为_________. 22226．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan正确答案：3

错因：看不出是两角和的正切公式的变形。 7．函数ysinx(sinxcosx)(x[0,2])的值域是 ．

21正确答案：0,

28．若函数yacosxb的最大值是1，最小值是7，则函数yacosxbsinx的最大值

是 ．正确答案：5

aab9．定义运算ab为:ab,例如，121,则函数f(x)=sinxcosx的值域为 bab ．正确答案：[1,2] 210．若sin 答案：5

5，α是第二象限角，则tan=__________ 1322tan 点评：易忽略

2得tan=5或1。 的范围，由sin2521tan2211．设ω>0，函数f(x)=2sinωx在[ 答案：0<ω≤ 点评：[,]上为增函数，那么ω的取值范围是_____

342 34][3,,] 2231，则cosC=__________ 3212．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)= 答案：

1 8 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。

13．在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则①若ab，则f(x)(sinAsinB)x在R上是增函数；②若ab(acosBbcosA)，则ABC是Rt；③cosCsinC的最小值为22232；④若cosAcos2B，则A=B；⑤若(1tanA)(1tanB)2，则AB，

4其中错误命题的序号是_____。

正解：错误命题③⑤。

① absinAsinB,sinAsinB0

f(x)(sinAsinB)x在R上是增函数。

②abc,abc,则ABC是Rt。 ③sinccosc2222222sin(c4),当sin(c4)1时最小值为2,

显然0c,得不到最小值2。

④cos2Acos2Bi2A2BAB

ii 2A22B,AB,AB(舍) ，AB。

⑤1tanAtanBtanAtanB2,1tanAtanBtanAtanB

tanAtanB1，即tan(AB)1，AB

1tanAtanB4错误命题是③⑤。

误解：③④⑤中未考虑0C，④中未检验。

14．已知tan为_____。

正解：60，令m0,得60,代入已知，可得0,60

3(1m)，且3(tan,tanm)tan0,,为锐角，则的值

误解：通过计算求得,计算错误.

15．给出四个命题：①存在实数，使sincos1；②存在实数，使sincos③ysin(3；255④x是函数ysin(2x⑤若,2x)是偶函数；)的一条对称轴方程；

248是第一象限角，且，则sinsin。其中所有的正确命题的序号是_____。

正解：③④

111sin2[,],sincos1不成立。 2223② sincos2sin()[2,2],[2,2],不成立。

425③ ysin(2x)sin(2x)cos2x是偶函数，成立。

2253④ 将x代入2x得,x是对称轴，成立。

4288① sincos⑤ 若390，60,,但sinsin，不成立。

误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是(0,90)的角，从而根据ysinx做出了错误的判断。

16．函数y|sin(2x错解：

1)|的最小正周期是 33 2错因：与函数y|sin(2x3)的最小正周期的混淆。

正解： 17．设

1sin1sin=tansec成立，则的取值范围是_______________

错解：[2k32,2k2] 错因：由tansec0不考虑tan,sec不存在的情况。

正解：(2k2,2k32) 18．①函数ytanx在它的定义域内是增函数。

②若,是第一象限角，且,则tantan。 ③函数yAsin(x)一定是奇函数。

④函数ycos(2x3)的最小正周期为

2。 上述四个命题中，正确的命题是 ④ 错解：①②

错因：忽视函数ytanx是一个周期函数 正解：④ 19函数f(x)=sinxcosx1sinxcosx的值域为______________。

错解：2212,2212 错因：令tsinxcosx后忽视t1,从而g(t)t121 正解：21,11,212222

20．若

2sin2α

sin23sin,则sin2sin2的取值范围是

错解：[4,2]

错因：由sin2sin2sin23sin1,(1)其中1sin1，得错误结果；0sin23sin2sin21

由

得sin1或0sin正解：[0 ,

1结合（1）式得正确结果。 25]2 421.关于函数f(x)4sin(2x31y=f(x)图象关于直线x)(xR)有下列命题，○

62 对称 ○

y=f(x)的表达式可改写为y4cos(2x63 y=f(x)的图象关于点()○

由,0)对称 ○

f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍。其中正确命题的序号是 。

2○3 答案：○

2○3○4 错解：○

错因：忽视f(x) 的周期是，相邻两零点的距离为

T。 2222．函数y2sin(x)的单调递增区间是 。

3,2k](kz) 221 错解：[2k,2k](kz)

22 答案：[2k 错因：忽视这是一个复合函数。 23．已知3，且3tantanCtan0C为常数，那么

tan 。

正确答案：31C

错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。

24． 函数ysinxsinxcosxx0，的值域是 。

212正确答案：0，

2错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确

三、解答题：

221．已知定义在区间[-，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当x[-，]

3663时，函数f(x)=Asin(x+)(A>0, >0,-

<<)，其图象如图所示。 222(1)求函数y=f(x)在[-，]的表达式；

3(2)求方程f(x)=

2的解。 2221 )=2，=T36解：(1)由图象知A=1，T=4( 在x[-

将(f(

2，]时

36，1)代入f(x)得 6)=sin(+)=1 66<< 22∵-

∴=

 32，]时

36∴在[-

f(x)=sin(x+

) 3对称 6∴y=f(x)关于直线x=-∴在[-，-]时 6 f(x)=-sinx

x[,]63sin(x)综上f(x)= 3

x[,]sinx6(2)f(x)=

2 22 在区间[-可得x1=

2，]内

365x x2= - 1212∵y=f(x)关于x= - ∴x3=-

对称 63 x4= -

44∴f(x)=

532的解为x{-,-,-,}

1212442443的相位和初相。 4322222 解：y(sinxcosx)2sinxcosx

42． 求函数ysinxcosx11sin22x2411cos4x1224

1cos4x41sin(4x)42 原函数的相位为4x2，初相为

 2说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为yAsin(x)(A0，0)的形式（注意必须是正弦）。 3． 若sincos1，求sincos的取值范围。 2 解：令sincos，则有

1asin()21asin()211a12 11a.1211a22(1)(2)

说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出3113a或a。原因2222是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误

的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4．求函数y16x2sinx的定义域。 解：由题意有

2kx2k 4x4 当k1时，2x； 当k0时，0x； 当k1时，2x3

(*)

函数的定义域是[4，][0，]

说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。 5 ．已知，求ycos6sin的最小值及最大值。 解：2

2

3211

y2sin6sin12(sin)222 令tsin 则|t|1

y2(t) 而对称轴为t32211 23 2 当t1时，ymax7； 当t1时，ymin5 说明：此题易认为sin不在正弦函数的值域之内。 6．若0x3113时，ymin，最大值不存在，这是忽略了条件|sin|1，22222，求函数y4tgx9ctgx的最大值。

解：0x2

tgx0y4tgx9ctg2x

2tgx2tgx9ctg2x 332tgx2tgx9ctg2x3336 当且仅当2tgx9ctgx 即tgx329时，等号成立 2 ymin3336

说明：此题容易这样做：y4tgx9ctgxtgx3tgx9ctgx

2233tgx3tgx9ctg2x9，但此时等号成立的条件是tgx3tgx9ctg2x，这样的x是不存在的。

这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7． 求函数f(x)2tgx的最小正周期。 21tgx2tgx的定义域要满足两个条件；

1tg2x2 解：函数f(x) tgx要有意义且tgx10 xk2，且xk(kZ) 24 当原函数式变为f(x)tg2x时， 此时定义域为xk(kZ) 24 显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价

所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出ytg2x的图象： yx0 而原函数的图象与ytg2x的图象大致相同 只是在上图中去掉xk2(kZ)所对应的点 从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 说明：此题极易由ytg2x的周期是

而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正22 2C. 

D. 2。此题就可以由

如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数

1tg22x的最小正周期是（ ）。A. y241tg2xB.

ycos4x的周期为

而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再22画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。 8．已知Sinα=

510 Sinβ=，且α，β为锐角，求α+β的值。 510 正确答案：α+β=

 4 错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围

—3x)的单调增区间： 4227 正确答案：增区间[k，k]（kZ）

34312错误原因：忽视t=—3x为减函数

4tanx10．求函数y=的最小正周期 21tanx9．求函数y=Sin(

正确答案：最小正周期π

错误原因：忽略对函数定义域的讨论。 11．已知Sinx+Siny= 正确答案：

1，求Siny—cos2x的最大值。 34 9 错误原因：挖掘隐含条件 12．（本小题满分12分）

设f(x)2(log2x)2alog2211b,已知x时f(x)有最小值-8。 x2(1)、求a与b的值。（2）求满足f(x)0的x的集合A。

a1

a1a2a222错解：f(x)2(log2x)b，当时，得15 2

22bba822

错因：没有注意到应是log21a时，f(x)取最大值。 221alog2a2a2a222

正解：f(x)2(log2x)b，当时，得 2

22b6ab82

13．求函数f(x)sin2x22cos(x)3的值域

4 答案：原函数可化为f(x)sin2x2(cosxsinx)3,设cosxsinxt,t[2,2]2则sin2x1t则f(x)t2t4(t1)5当t1时,f(x)max5，

22当t2时,f(x)min222 错解：(,5]

错因：不考虑换元后新元t的范围。 14．已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤

17，求a的取值范围。 4121)－ 24解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－ ∴当sinx= ∴a∈[11时，amin=，当sinx=－1时，amax=2， 241，2]为所求 41727asinxsinx4 （2）由1≤f(x)≤得42asinxsinx1171(sinx)2+4≥4 4213 u2=sin2x－sinx+1=(sinx)2≤3

24 ∴ 3≤a≤4

点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。

∵ u1=sin2x－sinx+

15．已知函数f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函数，其图像关于点M(,0)对称，且在区间[0，

34]上是单调函数，求和的值。 2正解：由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)

故sin(x)sin(x),cossinxcossinx 对任意x都成立，且0,cos0 依题设0≤≤，2

由f(x)的图像关于点M对称，得f(33x)f(x) 44333)f(),f()0 44433x3x3xf()sin()cos(),cos()0

442443x又0，得k,k0,1,2......

422(2k1),k0,1,2...

322当k0时，,f(x)sin(x)在[0,]上是减函数。

3322取x0得f(当k1时，2,f(x)sin(2x当k≥2时，)在[0,]上是减函数。

2210,f(x)sin(x)在[0,]上不是单调函数。 3222所以，综合得或2。

3误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。

10②对题目条件在区间[0,]上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。

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