第３５卷第３期 宜春学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｉｃｈｕｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖ０１．３５．Ｎｏ．３ Ｍａｒ．２０１３ ２０１３年３月 葡萄酒质量评价的定量分析 朱家明。钟梅。张月茹，吴磊 （安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠２３３０３０） 摘要：针对葡萄酒质量的评价，综合分析葡萄酒品尝评分、酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标 等数据，建立非参数检验模型、模糊ｃ均值聚类模型和多元统计分析模型，运用Ｍａｔｌａｂ软件， 得出了对葡萄酒评价的可信度、酿酒葡萄的分级和酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的 影响等结果。 关键词：葡萄酒质量；曼一惠特尼ｕ检验；主成分分析；多元统计分析；Ｍａｔｌａｂ７．０ 中图分类号：０１２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ（２０１３）０３—０００８一Ｏ５ Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｉｎｅ Ｑｕａｌｉｔｙ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ＺＨＵ Ｊｉａ—ｍｉｎｇ，ＺＨＯＮＧ Ｍｅｉ，ＺＨＡＮＧ Ｙｕｅ—ｒｕ，ＷＵ Ｌｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｔａｔ￣ｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＦｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｂｅｎｇｂｕ ２３３０３０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄａｔａ ｏｆ ｗｉｎｅ ｃｏｎｎｏｉｓｓｅｕｒｓ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ ｉｎｄｄｘ ｏｆ ｂｒｅｗｉｎｇ ｇｒａｐｅｓ，ｓｏｍｅ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｔｅｓｔｓ，ｆｕｚｚｙ Ｃ—ｍｅａｎｓ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｉｈ ｔｔｈｅ ｈｅｌｐ ｏｆ Ｍａｆｌａｂ，ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅ— ｓｕｉｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｓｕｃｈ ａｓ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｗｉｎｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ，ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｒｅｗｉｎｇ ｇｒａｐｅｓ，ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｗｉｎｅ’Ｓ ｑｕａｌｉｔｙ ｂｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ ｉｎｄｅｘ，ａｎｄ ＳＯ Ｏｉｌ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｗｉｎｅ Ｑｕａｌｉｔｙ；Ｍａｎｎ Ｗｈｉｔｎｅｙ Ｕ Ｔｅｓｔ；Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙ— ｓｉｓ：Ｍａｄａｂ７．０ 葡萄酒的主要质量指标大体可分为感官指标和 理化指标两大类…。感官指标主要指色泽、香气、 针对所给两组评酒员的评价结果进行显著性检 验，并判断评价结果的可信度。考虑到统计分析中的 各种假设检验（Ｆ检验、ｔ检验和 检验）均要求总体 分布已知，而所给数据为小样本，无法判断总体分布， 且两组评酒员的评价结果相互的，故采用两 样本的非参数检验。常用方法有曼一惠特尼 检 验 ］、 —Ｉｓ检验、 一 游程检验、极端反应检验等。 本文采用了曼一惠特尼 检验，建模流程如图１。 滋味和典型性方面的要求，理化指标主要指酒精 度、酸度和糖分指标。本文旨寻找影响葡萄酒质量 的主要指标并建立葡萄酒质量的综合评价模型 （详见２０１２年全国数学建模Ａ题）。 １ 葡萄酒评价结果的显著性检验及可信度判断 Ｉ．１建模准备 图１非参数检验模型的思路流程图 收稿日期：２０１２—１１—２７ 基金项目：国家自然科学基金项目（７１１７１００１），国家社会科学基金青年项目（０８ＣＪＹ０２８），安徽高等学校省级自然科 学研究重点项目（ＫＪ２０１１ＡＯ０１）。 作者简介：朱家明（１９７３一），男，安徽泗县人，讲师，安徽财经大学统计与应用数学学院数学建模实验室主任，研究 方向：应用数学与数学建模。 ・８・ 第３期 朱家明，钟梅，张月茹，等：葡萄酒质量评价的定量分析 第３５卷 １．２模型的建立与求解 １．２．１显著性检验 以一、二组红葡萄酒的评价结果为例，曼一惠 特尼ｕ检验分四步： １）将第一、二组红葡萄酒的评价结果数据 昆 合，按照大小顺序编排等级。最小的数据等级为 １，第二小的数据等级为２，以此类推； ２）分别求出这两组葡萄酒评价结果的等级和 、 ，具体如表１所示。 表１ 两组红葡萄酒及白酒评价结果的等级和 ３）计算曼一惠特尼Ｕ检验统计量。ｎ 、ｎ 分 别为第一、二样本的量，其中Ｕ ＝／７＇１／７，：＋ ｎ１（ｎ１＋１）／２一Ｗ１，Ｕ２ ｎ１ｎ２＋ｎ２（ ２＋１）／２一 ，具体两组红葡萄酒及两组白葡萄酒评价结果的曼 一惠特尼 检验统计量如表２所示。 表２红、白葡萄酒两组数据的曼一惠特尼Ｕ检验统计量 ４）作出判断。选择 、 中最小者与临界值 进行比较。如果Ｕ＜Ｕ ，则拒绝 。 通过查阅曼一惠特尼 检验的临界值表：在 置信水平为９５％即 ＝０．０５时，临界值Ｕ＝２３。 将两组每种酒品种的Ｕ 、 中最小者与临界值 进行比较。可以看到，酒品种１０、１１、１２、１３、 １６、２３的 、 值均小于临界值 ，故应拒绝原 假设，即原假设——两组评酒员的评价结果无显著 性差异的假定不成立，存在显著性差异。 １．２．２判断两组结果的可信度 由于显著性差异的数据存在异常点的可能，故 先对（１）中有显著性差异的这２Ｏ个数据除去一个最 大值和一个最小值，再对剔除后的数据进行方差分 析，最终评价结果见表３、表４。 ・９． 第３期 宜春学院学报 表３显著性差异的红葡萄酒的方差和及可倍组 第３５卷 表４显著性差异的白葡萄酒的方差和及可信组 ２酿酒葡萄的分级 ２．１建模准备 要对酿酒葡萄进行分级，首先需考虑葡萄的级 别可由各品种葡萄本身具有的某些性质以及各品种 葡萄对葡萄酒质量的影响进行划分。但该问题的难 点就在于如何确定级别数，这关系到模糊聚类问题 的有效性。为此，需找到客观的最佳聚类数的确定 方法。通过查阅有关模糊聚类法最佳聚类数的资 料 】，知道了为了得到最佳聚类数，我们需要将 原始数据进行预处理，把欧氏距离推广到广义欧氏 距离，建立谱系聚类准则函数。设 Ｐ。＝∑（‘ＥＧ＾ 一ｘｋ） （戈 一 ） 这个准则函数表示第Ｇ 组样品的组内离差平 方和。其中， 是Ｇ 组的重心。由于在聚类后，当 组内离差平方和很小时，虽然表明该组内的样品比 较接近，但会使得分类数目ｃ变得很大。因此，需 要对该谱系聚类准则函数进行改进，于是得到了如 下函数： 厂（ｃ）＝Ｐｃ（ ）’ 荟 （ ） （ ）（ ） 若令ｇ（ｃ）＝（＿！ ）。，在ｃ≥１时，ｇ ｃ）＝ ＞０，所以ｇ（ｃ）是关于ｃ的单调递增函 ＼ 十二 数。而Ｐ 是ｃ的单调递减函数，那么厂（ｃ）存在最 大值。此时，其最大值点ｃ 就是所要求的最佳聚 类数。将建模思路通过流程图表示为图２： 建立 谱系聚类 确定最佳 模糊Ｃ均 红白葡萄 准则函数 聚类数Ｃ 匀值聚类 酒的分级 结果 图２模糊Ｃ均值聚类模型的思路图 ・１Ｏ・ ２．２模型的建立与求解 ２．２．１求解最佳聚类数 首先，将红白葡萄的各种指标数据整理后，计 算各类红白葡萄品种的类内离差平方和，即Ｐ。； 其次，建立经改进的谱系聚类准则函数，（ｃ），利 用Ｍａｔｌａｂ软件进行编程，画出在红白葡萄下，ｃ的 不同取值所对应的 ｃ）。 通过建立谱系聚类准则函数的改进型 ｃ）， 求出最佳聚类数等于，进而做出谱系聚类图，具体 如图３、图４所示： 准则函数与聚类数的关系 图３红葡萄酒Ｃ与ｆ（ｃ）的变化情况 准则函数与聚类数的关系 图４ 自葡萄酒Ｃ与ｆ【ｃ）的变化情况 第３期 朱家明，钟梅，张月茹，等：葡萄酒质量评价的定量分析 ２ ｆ１＝ ｌ＋ｌ２ ２＋…＋ｆ 。第３５卷 ＝分析图３、４可以看出，当Ｃ等于３时，不论 １ 是红葡萄酒还是白葡萄酒， ｃ）的值均达到最大 值。因此，该问题的最佳聚类是为３。 ２．２．２建立模糊Ｃ均值聚类模型 设Ｚ＝（ｚ ，ｚ：，…，ｚ ）， 为第ｋ个样本属于 当ｚ 使ｖａｒ（Ｓ ）达到最大时，由此确定的随机 变量ｙ１称为随机变量ｔ。，ｔ ，…，ｔ 的第一主成分。 若第一主成分 还不足以反映原变量的信息，则 进一步求得ｙ２。为使 和ｙ２所反映的信息不相重 叠，则需要ｙ】和ｙ２不相关，即 第ｉ类的隶属度， 聚类中心，则 ＝∈［０，１］。若 表示第ｉ类的 Ｃｏｖ（Ｓ。，．ｓ：）＝ｚ ∑ｚ ＝０ 于是在约束条件下求得使ｖａｔ（ ）达到最大时 的Ｚ ，由此得到随机变量ｔｌ，ｔ２，…，ｔ 的第二主成 分。同理，可以依次得到第一个主成分，第二个主 ∑（ ） ／∑（ｕ ） （ ＝１，２，…，ｃ），（１＜ ） Ｈ Ｃ 从而模糊ｃ均值聚类所求的目标函数为： ．，（ｕ， ）＝∑∑（ ） （ 其中ｄ ＝Ｉｌ 一 ｌＩ是第ｋ个序列到第ｉ类中 心的欧氏距离，－，（ｕ， ）表示了各类中样本到聚类 中心的加权距离平方和，权重是样本 对第ｉ类隶 属度的ｍ次方。则聚类准则取为所求极小值： ｍｉｎ｛Ｊ（Ｕ，Ｖ））。 成分，…，第Ｐ个主成分。 有多个自变量的线性回归模型称为多元线性回 归模型。假定Ｙ是一个可观测的随机变量， …， ，， 为Ｚ个自变量，且有 Ｙ＝卢０＋ ｌ １＋ ２＋…＋卢ｌ ｌ＋ 其中 ， 一， 为未知参数，８为随机误差， 且 一Ｎ（０， ）。 结合（１）和（２），通过Ｍａｔｌａｂ软件将葡萄品种分 成３类。便可以得到红白葡萄的分级结果如下： 红葡萄：一级有５、ｌＯ、１３、１４、１６、１７、 ２４、２５、２６、２７，二级有ｌ、２、４、６、７、８、１１、 １５、１８、１９、２Ｏ、２２、２３，三级有３、２１；白葡 萄：一级有２、４、５、６、７、９、１０、１２、１５、２０、 ２４、２５、２６、２７，二级有１、８、ｌ１、１３、１４、１６、 ３．２模型的建立与求解 １）采用主成分分析的方法，确定综合指标 首先，对所有指标实现无量纲化，并建立相关 系数矩阵Ｒ；其次，计算Ｒ的特征值与对应的特 征向量，并根据特征值计算累计贡献率，确定主成 分的个数，而特征向量就是主成分的系数向量。不 ｌ７、１８、２ｌ、２２、２３，三级有３、２８。 过，在采用此方法时，第一主成分需要满足两个条 件：最大特征值对应的最大特征向量是正向量；贡 献率大于５０％。通过上述步骤，可得到因子载荷 矩阵，即第 个变量对第 个主成分的重要程度。 ３分析酿酒葡萄对葡萄酒理化指标的影响程度 ３．１建模准备 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质 量的影响程度，首先能想到多元线性回归分析的方 ２）在理论准备的基础上，．结合（１）得到的因子 载荷矩阵以及第三问中酿酒葡萄和葡萄酒理化指标 之间的联系将酿酒葡萄和葡萄酒理化指标运用主成 法 】［引，首先采用主成分分析方法减少指标。 主成分分析的基本思想：设ｔ ，ｔ：，…，ｔ 为Ｐ个 ／７，维随机变量（Ｐ项指标），即 ｔｎ ｔ１２ 分分析法转变为一组新的指标，运用Ｍａｔｌａｂ编程 得到可以反映酿酒葡萄和葡萄酒理化指标的新指标 与葡萄酒质量之间的回归方程。同理，得到考虑芳 ● ｔ１２ ｔ２２ ： Ｔ＝ 香类物质下的回归方程，从而得到在考虑芳香物质 ￡１ｐ ｔ２ｐ…ｔ印Ｊ Ｌ 情况下各品种酒的得分。红、白葡萄酒的质量与由 酿酒葡萄和葡萄酒理化指标经主成分得到的新指标 在处理实际问题时，经常使用原始指标的线性 组合所构成的综合指标来代替原有的指标，即 Ｓｉ＝ｚｎ ＋ｚ ＋…＋ｚ ， ＝１，２，…，Ｐ 之间的回归方程分别为： ｙ１＝ＡＴＸ ｙ２＝ＢＴＸ （１） （２） 对于 ，需尽可能地反映原有Ｐ项指标的信 息。此处的信息用 的方差来度量，即要求 在得到多元线性回归方程的具体形式之前，为 了提高精确度，作残差分析图，如图５、６所示。 ｖａｒ（Ｓ ）＝ｚ ∑２ 达到最大，为此需要对系数向量 加以，即满足约束条件：
