2010年高考数学浙江文科卷解析几何分析

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2010年高考数学浙江文科卷解析几何分析

󰀁梁美兴󰀁(浙江省新昌中学󰀁312500)

󰀁󰀁2010年高考数学浙江文科卷解析几何试题:

x2y2

1󰀁设O为坐标原点,F1,F2是双曲线2-2=1(a>

ab

0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足󰀁F1PF2=60󰀁,|OP|=7a,则该双曲线的渐近线方程为(󰀁󰀁).

A󰀁x󰀁3y=0󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁B󰀁3x󰀁y=0

C󰀁x󰀁2y=0D󰀁2x󰀁y=0

2󰀁已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦m2

点F在直线l:x-my-=0上.2

(1)若m=2,求抛物线C的方程.

(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,󰀁AA1F,󰀁BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

一、试题分析与解答

仔细观察上面解析几何试题,作为文科卷选择题和解答题的压轴题,有一定的难度.第1题考查了双曲线的概念、简单几何性质、余弦定理、平面向量等基础知识,同时考查了综合分析问题、解决问题的能力.

解󰀁不妨设点P在右支上,记|PF1|=m,|PF2|=n,

由双曲线的定义,得m-n=2a.󰀁在󰀁F1PF2中,由余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncos60󰀁,即4c2=m2+n2-mn.

󰀁4c2=(m-n)2+mn=4a2+mn,

󰀁

m2

,2

由x=my+

y2=2m2x,

消去x,得y2-2m3y-m4=0.

由于m󰀁0,故󰀁=4m6+4m4>0,

y1+y2=2m3,且有y1y2=-m4.

设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于2M1G=GF,2M2H=HF,可知G这里

x12y1x22y2

,,H,.3333

G的坐标也可由重心坐标公式

xA+xA1+xFyA+yA1+yF

求得,H的坐标同理.,33设抛物线的准线与x轴的交点为N,则N

m2

-,0.2

二、教学启发

1󰀁重视解析几何基础知识教学,提高数学素养

研究2010年的试题可见,试题的源头是教材,试题考查了圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)的概念、标准方程、简单几何性质、直线与圆锥曲线、点与圆的位置关系、中点(重心)坐标公式等知识点.可见,在平常的教学中,我们要重视基础知识的落实、巩固,没有扎实的基础知识,根本无从谈培养高中生基本的数学素养.试题的侧重点要参考浙江省学科指导意见和考试说明.在学科指导意见中指出,对双曲线的不少知识只作󰀁了解󰀁要求,而对椭圆中多处提到󰀁掌握󰀁要求,在抛物线中提出发展要求󰀁能用坐标法研究直线与抛物线的位置关系󰀁.明确考试的侧重点,使我们的教学更有的放矢.

2󰀁重视解析几何教学的几何分析,提高分析推理能力高考不仅要起到考查基础知识掌握情况的作用,更重要的作用是为国家选拔高素质的人才.解析几何,是用代数的方法来研究几何问题的一门学科.高考试题,不仅考查学生的代数运算能力,更重要的是考查学生如何将几何问题转化为代数问题.比如,第1题的解答关键是如何分析几何条件:|OP|=7a,第2题中如何推理证明:抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.所以,在我们平常的教学中,要重视图形的几何分析,多角度思考问题,培养学生全面分析问题的能力.

总之,数学教学中,教师应立足教材,夯实基础,基础是万变不离的根本.而高考又求新求活,在平常的教学中,我们要注重知识发展的过程,培养学生理性思辨的能力,学会数学的思维,真正理解重要的数学思想方法,减少过多程序化的训练,在能力培养的过程中适应高考.

数学学习与研究󰀁2011󰀁1

󰀁mn=4(c2-a2)=4b2.

上述󰀁󰀂两点学生较易得到,此题的关键是如何分析利用好条件|OP|=7a.

第2题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查了解析几何的基本思想方法和运算求解能力.

解󰀁(1)󰀁焦点F

p

,0在直线l上,2pm2󰀁-m󰀁0-=0,得p=m2.22

又󰀁m=2,故p=4.

󰀁抛物线C的方程为y2=8x.

证明󰀁(2)󰀁抛物线C的焦点F在直线l上,

󰀁p=m2.

󰀁抛物线C的方程为y2=2m2x.设A(x1,y1),B(x2,y2),