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四点共圆专题讲义
例1如图，E、F、G、H分别是菱形 ABCD各边的中点.求证：E、F、G、H四点共圆.
A
1
例 2. (1)如图，在△ ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 上的高，/ A=60 ° .求证：ED = _BC
2
(2)已知：点 0是厶ABC的外心，BE, CD是高.求证： A0丄DE
例3.如图，在△ ABC中，AD丄BC, DE丄AB, DF丄AC .求证：B、E、F、C四点共圆.
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-- --------- € OA=OB=OC R / ADC= / ABC=90° / ACD= / ABD=90° 、 / f — h ft / B+ / D=180。或/ A+ / BCD=180。或/ A= / DCE 总结：四点共圆的方法：
角: / A= / D 或/ B= / C 1. ______________________________________________________ 2.
_______________________________________________________
3. _______________________________________________________ 4. _______________________________________________________
例4.求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中
AB • CD + BC • AD=AC • BD .
练习1.在△ ABC中，BA BC , BAC , M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段 PA绕点P顺时针 旋转2得到线段PQ .
(1) 若 60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线 BM于点D，请补全图形，并写出/ CDB 的度数； (2) 在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线 BM交于点D，猜想/ CDB的大小(用含 的 代数式表示)，并加以证明； (3) 对于适当大小的 ，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点 B, M重合)时，能使得线段 CQ的延长 线与射线BM交于点D的范围. ，且PQ = QD，请直接写出
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练习2.在△ ABC中，/ A=30°, AB=2j?，将△ ABC绕点B顺时针旋转
(0° < <90°),得到△ DBE，其中
点A的对应点是点 D，点C的对应点是点 E, AC、DE相交于点F，连接BF.
(1) 如图1,若 =60°，线段BA绕点B旋转 得到线段BD.请补全△ DBE，并直接写出/ AFB的度数； (2) 如图2,若 =90°，求/ AFB的度数和BF的长； (3)
<90 °),请直接写出/ AFB的度数及BF的长(用含
如图3,若旋转 (0 ° < 的代数式表示)•
图1
练习3 .已知，点P是/ MON的平分线上的一动点，射线 射线 ON 于点 B，且使/ APB+ / MON=180° . (1) 利用图1，求证：PA=PB ;
PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交
(2) 如图2,若点C是AB与OP的交点，当SAPOB=3SAPCB时，求PB与PC的比值；
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(3) 若/ MON=60° , OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且/ PBD = Z ABO，请借助图3补全图形，并求 OP长. 练习4 .已知，在△ABC中，AB=AC .过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点 A按顺时针方向旋转角 0, 直线a交BC边于点P (点P不与点B、点C重合)，ARMN的边MN始终在直线 a上(点M在点N的上方)， 且BM = BN，连接CN .
(1) 当/ BAC=Z MBN=90° 时， ① 如图a，当0=45°时，/ ANC的度数为 __________ ;
② 如图b，当0工45时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
(2) 如图C,当/ BAC= / MBN丰90时，请直接写出/ ANC与/ BAC之间的数量关系，不必证明.
练习 5.已知：RtA A'BC'和 RtAABC 重合， A'C'B = / ACB=90° , BA'C' = / BAC=30° ,现将 RtA A'BC'绕
点B按逆时针方向旋转角 a (60°w a 90°)，设旋转过程中射线 C'C'和线段AA'相交于点D,连接BD . (1) 当a=60°时，A'B过点C,如图1所示，判断BD和AA'之间的位置关系，不必证明； (2) 当a=90。时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1)中的结论是否仍然成立，不必证明；
(3) 如图3,对旋转角a (60°v av90° )，猜想(1)中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不 成立，请说明理
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由.
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图1 图2 图3
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练习6 .在等边厶ABC外侧作直线 AP,点B关于直线AP的对称点为D，连接AD, BD, CD，其中CD交直线AP 于点 E.设/ PAB = ，/ ACE = ，/ AEC =. (1)依题意补全图1 ;
(2)若 =15°，直接写出 和 的度数；
， 的数量关系并加以证明；
⑶ 如图2,若60° < <120。，①判断
②请写出求大小的思路.(可以不写出计算结果)
练习7.阅读下面材料:
小红遇到这样一个问题，如图 1:在厶 ABC 中，AD 丄 BC, BD=4 , DC=6，且/ BAC=45 °，求线段 AD 的长.
A
图
1
图
2
小红是这样想的：作厶ABC的外接圆O 0,如图2:利用同弧所对圆周角和圆心角的关系， 可以知道/ BOC=90° , 然后过0点作0E丄BC于E,作0F丄AD于F，在RtA BOC中可以求出O 0半径及0E，在RtAAOF中可以求出 AF，最后利用 AD=AF + DF得以解决此题.
请你回答图2中线段AD的长 ______________ .
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此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如图3:在厶ABC中，AD丄BC, BD=4, DC=6,且/ BAC=30 °，则线段 AD的长 ________________
练习& 已知：A、B、C三点不在同一直线上. (1)若点A、B、C均在半径为R的O O上，
(i) 如图①，当/ A=45° , R=1时，求/ BOC的度数和BC的长；
BC
(ii) 如图②，当/ A为锐角时，求证：sinA= ----------- ;
2R
⑵若定长线段BC的两个端点分别在/ MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图③，当/ MAN=60 ° BC=2时，分别作 BP丄AM , CP丄AN,交点为P,试探索在整个滑动过程中， 请说明理由.
P、A两点间的距离是否保持不变？
圍②
圉③
练习 9 .在四边形 ABCD 中，AB // DC , AB > CD , K, M 分别在 AD, BC 上，/ DAM = / CBK. 求证：/ DMA = / CKB .
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分析：连 KM，由/ DAM =Z CBK，得到 A, B, M , K 四点共圆，则/ DAB = / CMK，/ AKB = / AMB，而/ DAB + / ADC=180°，得到/ CMK + Z KDC=180° ,因此 C, D , K , M 四点共圆，所以/ CMD = / DKC，即可得到/ DMA = / CKB . 解答：解：连KM ,
•••/ DAM = / CBK,
••• A , B , M , K四点共圆，
•••/ DAB = / CMK , / AKB = Z AMB ,
又••• AB// DC, •••/ DAB + / ADC=180° ,
•••/ CMK+ / KDC=180° .
•C , D , K , M四点共圆，
•••/ CMD = / DKC, •••180°/ DKC-Z AKB=180° -Z CMD-/ AMB , •••/ DMA = / CKB .
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