《数学之友》 ２０１６年第２４期 构造“辅助圆”解决几何问题 解题探索 冉彦 （江苏省南菁高级中学实验学校，２１４４００） 在初中数学“图形与几何”的学习中，圆是重要 的学习内容．纵观各地近年的中考试题，对圆的知识 量关系，设未知数，构造方程解决，但计算较为繁琐． 的考察，处处体现着“模型思想”、“应用意识”这些 进一步思考我们发现：ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，且这三条线段 共端点Ａ，这恰好符合圆的定义，我们构造以Ａ为圆 更高要求的核心概念又常常隐藏在一些表面看似与 圆无关的几何问题中．本文即为研究这一类问题，分 析题设条件，抓住问题本质，从圆的定义、动点对定 线段张开一个定角、特殊的四点共圆三个模型构造 “辅助圆”，化“无圆”为“有圆”，简洁而巧妙的解决 一些几何图形问题． １ 由“圆的定义＂构造“辅助圆＂ （１）圆的定义：把一条线段绕着它的一个端点在 平面内旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫做 圆．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合 分析圆的定义我们知道，定点即圆心确定了圆 的位置，定长即半径决定了圆的大小，所以只要有了 以上两个条件，就可以画出一个圆． （２）直接应用：如图１、图２，在ＲｔＡＡＢＣ与Ｒｔ ＡＡＢＤ中， Ｃ＝ＬＤ＝９０。，Ｏ为ＡＢ中点，试说明： Ａ、８、Ｃ、Ｄ四个点在以０为圆心的圆上． 图１ 图２ 解析：连接ＯＣ，ＯＤ，依据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半，即ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，所以 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个点在以０为圆心的圆上． 例１（２０１５山东威海）如图 ３，已知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ， ＣＢＤ＝２ ＬＢＤＣ，ＬＢＡＣ＝４４。，则 ＣＡＤ的 度数为（ ） （Ｄ）１１２。（Ａ）６８。 （Ｂ）８８。 （Ｃ）９０。 ｃ 图 解析：这是一个三角形中的角度计算问题，常规 方法是利用等腰三角形的性质以及题设中已知的数 心，ＡＢ长为半径的圆，则Ｂ、Ｃ、Ｄ三点共圆，再利用 同弧所对圆心角与圆周角的关系，得ＬＢＤＣ＝２２。， ＣＢＤ＝４４。． ＣＡＤ＝８８ Ｏ． 例２如图４在平面直角坐标系中，已知Ａ点 坐标是（２，一２），在Ｙ轴上确定点Ｐ，使ＺＸＡＯＰ为等 腰三角形，则符合条件的点Ｐ共有 个． ／。 ●－＿ ／。 ／ ０ ＼ ／ Ｊ ／ ＼ ４ ／。 、 ／ ～，～一 一－，， 幽４ 解析：这是一个典型的等腰三角形的分类讨论 问题，当等腰ＡＡＯＰ以ＯＡ为底边时，则点Ｐ在线段 ０Ａ的垂直平分线与Ｙ轴的交点处；当ＤＡ为等腰三 角形的腰时，分别以０、Ａ为顶点，ＯＡ长为半径画 圆，圆与Ｙ轴的交点即为点Ｐ． 小结：共端点的等线段，连接几个端点，常常会 以等腰三角形的形式出现，这时，我们可以考虑用圆 的定义构造“辅助圆”帮助思考，这个公共端点作为 圆心，这些线段的另外一个端点处在同一个圆上． 例３ （２０１５四川 自贡）ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ＝５，ｃ。ｓ ＬＡＢＣ＝ ３， 将ＺＸＡＢＣ绕点Ｃ顺时针Ｂ 旋转，得到△ＡｌＢｌ ｃ．如 图５ 图５，点Ｅ是ＢＣ的中点，点Ｆ为线段ＡＢ上的动点， 在ＺＸＡＢＣ绕点ｃ顺时针旋转过程中，点Ｆ的对应点 是 ，求线段Ｅ 长度的最大值与最小值的差． 解析：ＡＡＢＣ绕点ｃ旋转的过程中，点Ｆ的位 置决定了点Ｆ 的位置，点Ｆ可以看做是在以点ｃ ・７５・ 《数学之友》 ２０１６年第２４期 为圆心，ＣＦ长为半径的一组同心圆上，其最大半径 求的点，所以一共有８个点Ｃ． 例５ （２０１５湖北咸宁）如图８，已知正方形 ＡＢＣＤ的边长为２，Ｅ是边ＢＣ上的动点，ＢＦｊ－ＡＥ交 ＣＤ于点 ，垂足为Ｇ，连结ＣＧ．下列说法： 为ＣＢ＝６，最小半径为ＡＡＢＣ中ＡＢ边上的高ＣＨ， 计算可知ＣＨ＝４．８，ＣＥ＝３，由点与圆的位置关系可 知，当点Ｆ 运动到ＢＣ所在直线上时（如图６所 示），ＥＦ 取得最值，．・．ＥＦ 的最小值为４．８～３＝ １．８；ＥＦ 的最大值为３＋６＝９，．・．ＥＦ 长度的最大值 ①ＡＧ＞ＧＥ；②ＡＥ＝ＢＦ；③点Ｇ运动的路径长为 叮ｒ；＠ｃＧ的最小值为√ｓ一１． 与最小值的差为９—１．８＝７．２． 只． 图６ 小结：在图形的三大变换之一的旋转问题中，“辅助 圆”常常可以作为解决问题的利器，研究动点的运动问 题，必先了解了其运动的轨迹，只有抓住问题的本质，才 能合理有效的解决问题，化无序的点为有序的路径 ２ 由“动点对定线段张开一个定角”构造 “辅助圆” （１）直角与直径：“直径所对的圆周角是直角”， “９Ｏ。的圆周角所对的弦是直径”． 例４如图７在平面直角坐标系中，点Ａ的坐 标为（１，１），点 的坐标为（７，１），点Ｃ到直线ＡＢ 的距离为２，且ＡＡＢＣ是直角三角形，则满足条件的 点Ｃ有 个． ｙ －（ （ ～－～ 一 ・ ．’～～ ．： ，， －●－ ’～： －－ ●， －‘‘ －－，’、－ Ｉ＾ －’～－ ・ｉ Ｄ ｛ ．‘～Ｉ （ （ ７ 解析：直角三角形的分类讨论问题，由题意Ｈ丁 知，点Ｃ在直线Ｙ＝３或者，，＝一１上，当直角顶点为 点Ａ或点Ｂ时，ＡＢ为直角边，得到４个点Ｃ；当点ｃ 为直角顶点时，ＡＢ为斜边，动点Ｃ对一条定直线ＡＢ 张开定角９０。，则以ＡＢ为直径的圆，把所有的点Ｃ “一圆打尽”，圆与直线Ｙ＝３，Ｙ＝一ｌ的交点即为所 ・７６・ 其中说法正确的是 ．（把你认为正确的 说法的序号都填＿卜） ８ 解析：我们重点分析③、④两个结论，Ｅ点运动，点 Ｇ随之运动，￣ＡＧＢ始终等于９ｏ。，线段ＡＢ长度不变， 点Ｇ的运动路径随之变得清晰，点Ｇ在以ＡＢ为直径 的半圆周上运动，其路径长为仃，圆外一定点与圆上各 点所连线段中，线段所在直线经过圆心时最短，所以， ｃＧ的最小值等于ＣＭ的长减去半径，即 一１． （２）非直角与弦：利用“同弧或等弧所对的圆周 角相等或其与圆心角的关系”构造辅助圆． 例６如图９，已知抛物线Ｙ＝础 ＋ ＋ｃ（０≠ ０）与 轴交于Ａ（１，０）、Ｂ（４，０）两点，与Ｙ轴交于Ｃ （０，２），连结ＡＣ、ＢＣ． ｆ ～ Ｃ／ ｊ，二． Ｄ ／Ｂ ， Ａ 刃日 。丫 ， …． ， ● ｔ图９ （１）求抛物线解析式； （２）ＢＣ的垂直平分线交抛物线于Ｄ、Ｅ两点，求 直线ＤＥ的解析式； （３）若点Ｐ在抛物线的对称轴上，且 ＣＰＢ＝ ／ＣＡＢ，求出所有满足条件的Ｐ点坐标． 解析：我们重点分析第（３）问，／ＣＰＢ＝／ＣＡＢ， 其中 ＣＡ 为一个定角，线段ＢＣ为定线段，Ｐ为动 点，Ｐ点对定线段ＢＣ所张的角为定角，联系圆的相 关性质，我们构造一个过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆，则在劣 弧ＢＣ』二，找到圆与对称轴的交点，根据同弧所对的 《数学之友》 ２０１６年第２４期 圆周角相等，这个交点即为点Ｐ．这个圆的圆心为线 段ＢＣ与ＡＢ的垂直平分线的交点，即（２）中ＤＥ与 抛物线对称轴的交点 ，半径为２．５．Ｐ 点坐标为 １、 例７ 如图ｌＯ，已知边长 为０的正方形ＡＢＣＤ，两顶点Ａ、 分别在平面直角坐标系的 轴 轴的正半轴上滑动，点ｃ 日 ， ｆ÷，一÷１、二 厶， ．但是特别要注意，在这个问题里，等弧 所对的圆周角也相等，所以还需要寻找一个与ＢＣ 共弦的等圆，最直接的方法即为，求点ＭＧ关于ＢＣ 的对称点，在这个问题里恰为直线ＤＥ与 轴的交 － ｔ ● ’、 点Ｄ在第一象限，点Ｅ为正方 形ＡＢＣＤ自 中心，连结ＯＥ， ． 则ＯＥ的长的最大值是 Ｄ 、…－ 解析：正方形对角线垂直，所以ＡＡＯＢ，ＡＡＢＥ 为共斜边的直角三角形，以ＡＢ为直径构造“辅助 圆”，在同圆中，最长的弦为直径，所以ＯＥ的最大值 为正方形边长０． 点Ⅳ，然后以Ｊ７、ｒ为圆心，ＢＮ长为半径画圆，求得点 Ｐ２，其坐标为ｆ、 妻， １， ． 小结：直角与非直角、直径与弦，这之间本质上 是一致的，特别要注意的是，在定角为非直角时，要 考虑圆的对称性，常常会因为共弦的等圆的出现而 “辅助圆”是灵活运用知识，构建一类模型解决几 何问题的思想方法，在一些运动问题中合理的选用这 种辅助线，能起到“出奇制胜”的效果，当然，辅助线的 添加并不是万能的，只有结合题设条件，联系模型的基 存在多个解． ３ 由“特殊的四点共圆”构造“辅助圆＂ 确定圆的条件为：“不在同一直线上的三个点 确定一个圆”，如果再有一个点，它与已知的三个点 有特殊的位置关系时，经过这四个点画一个圆往往 本要素，正确的运用模型，才不至于走人误区，才能化 动为静，化繁为简，化无形为有形，化无序为有序． 参考文献： ［１］周建勋．道是“无圆”却“有圆”［Ｊ］．中学数 学教学参考，２０１６（１）：５５—５７． ［２］金明明．辅助圆在初中数学解题中的运用 能达到“出奇制胜”的效果．最常见的模型即为图 （１）图（２）中，共斜边的两个不重合的直角三角形， 其四点在同一个圆上． ≯ 、 ｐ ［Ｊ］．中学生数理化・教与学，２０１５（１１）． ≯ ； 、 ； （上接第７４页） （３）解决问题方法的统一性 中学数学的学习离不开数学解题，数学解题当 中经常会遇到各种各样的解题方式，常用的那些方 式都是属于通性通法．通性通法对数学学习与数学 解题非常重要，在数学解题中，引导学生整体把握好 （４）已知点Ｆ是椭圆Ｓ －＋ ＝１的右焦点，过点 叶 ｊ Ｆ的直线与椭圆交于Ａ，日两点，且满足ＡＦ＝２ＦＢ， 求直线方程． 本题组以直线与椭圆的位置关系为背景，研究交 点问题、弦长问题、中点弦问题，在题组的设计上强调 了方程思想，“设而不求”这一通性通法的运用，可以引 通性通法，理解通性通法的本质，可以使学生形成良 好的思维定势，使学生“有法可依”． 习题设计案例９： ，导学生总结这一方法，使之今后能类比运用到双曲线、 抛物线等图形上，达到“以不变应万变”的效果，进而使 ２ 学生在解这类问题上树立了较强的信心． （１）讨论直线Ｙ＝ ＋ｍ与椭圆 ＋Ｙ ＝１的位 叶 总之，高中的数学习题的能效性如何直接决定了 学生对数学的掌握情况，而学生对习题的情感参与决 定的习题能效陛的大小．所以如何在数学习题中进行 情感渗透，使习题被学生乐于接受，从而提高学生的学 习质量，拓展数学视野，将是每一个数学教师必须面Ｉ临 的挑战我们应该注意结合学生的心理发展特点和教 学实际，认真探索，不断积累经验，运用各种合理的方法 和手段，激活教学课堂，激发习题能效，促进师生交流，使 置关系； ２ （２）已知直线Ｚ经过点Ｐ（一１，０），且与椭圆７ －＋ 叶 ｙ２＝１交于两点Ａ，曰，若ｌＡＢｌ＝２，求直线ｚ的方程； ２ ．（３）过 Ｍ（一２，０）的直线ｍ与椭圆 ＋ｙ２＝１交 二 于Ｐ ，Ｐ２，线段Ｐ Ｐ２的中点为Ｐ，设直线ｍ的斜率为 （ ，５０），直线ＯＰ的斜率为 ：，则求 。 ：的值； 每—个学生都能从学数学中获得知识与情感的提升 ・７７．
