高一数学 平面向量 测试卷 第1页 共8页
平面向量测试卷
一、选择题 号 姓名
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则 A．AB与AC共线 B．DE与CB共线 C．AD与AE相等 2．下列命题正确的是
A．向量AB与BA是两平行向量
D．AD与BD相等
(第1题)
B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA＋OB，其中 ，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为 A．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0
B．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．x＋2y－5＝0
4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(a－2b)⊥a，则a与b的夹角是
A．
6 B．
3 C．
2 3 D．
5 65．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP＝ A．λ(AB＋AD)，λ∈(0，1) C．λ(AB－AD)，λ∈(0，1)
B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，D．λ(AB－BC)，λ∈(0，
2) 22) 26．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝ A．EF＋ED
B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF
7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的
模为 A．2
B．4
C．6
D．12
高一数学 平面向量 测试卷 第2页 共8页
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的
A．三个内角的角平分线的交点 C．三条中线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为 A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是
A．AD与BC C．AC与BD
B．OA与OB D．EO与OF
(第10题)
二、填空题
11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，
则k ＝ ．
12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝ 13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，
则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于 ．
14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，
则实数m等于 ．
15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，
则O是△ABC的 ．
16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，
若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是 ．
高一数学 平面向量 测试卷 第3页 共8页
三、解答题
17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求 λ
为何值时，点P在第三象限内？
18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC
的中点，且MN与AD交于F，求DF．
高一数学 平面向量 测试卷 第4页 共8页
19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，用向量证明：AF⊥DE．
20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．
高一数学 平面向量 测试卷 第5页 共8页
参
一、选择题
1．B；
解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行， AD与BD共线反向．
(第1题)
2．A；
解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若AB＝DC，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对． 3．D；
解析：提示：设OC＝(x，y)，OA＝(3，1)，OB＝(－1，3)，OA＝(3，)，
OB＝(－，3)，又OA＋OB＝(3－，＋3)，
∴ (x，y)＝(3－，＋3)，∴x＝3－ ，又＋＝1，由此得到答案为D．
y＝＋34．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝∴ a与b的夹角是5．A
解析：由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)． 6．D
解析：如图，∵AF＝DE， ∴ DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72． 而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6． 8．D
1． 2π． 3高一数学 平面向量 测试卷 第6页 共8页
解析：由 OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA, 即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB， ∴ O是△ABC的三条高的交点． 9．C
解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，∴AD∥BC且|AD|≠|BC|． ∴ 四边形ABCD为梯形． 10．D
解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－
2． 3解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，
AB＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，
BC＝OC－OB＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，
又 A，B，C三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－12．－1．
2． 3解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)，∴ MN＝(2，0)，又a＝MN，
x＋3＝2x＝－1∴ 2 解得，∴ x＝－1．
x＝－1或x＝4x－3x－4＝013．－25．
解法1：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5，
∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB·BC＝0， ∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB
＝BC·CA＋CA·AB＝CA·(BC＋AB)＝－(CA)2＝－CA＝－25． 解法2：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，
2高一数学 平面向量 测试卷 第7页 共8页
BC34∴ cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．
55CACAAB根据数积定义，结合图(右图)知AB·BC＝0， BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×(－
4)＝－16， 53)＝－9． 5
(第13题)
CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×(－
∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25． 14．
23． 3解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)． ∵ (a＋mb)⊥(a－b)，
∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝
23． 315．答案：重心．
解析：如图，以OA，OC为邻边作□AOCF交 AC于点E，则OF＝OA＋OC， 又 OA＋OC＝－OB，
∴ OF＝2OE＝－OB．O是△ABC的重心． 16．答：平行四边形．
解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴BA＝CD． ∴ 四边形ABCD为平行四边形．
(第15题)
三、解答题
17．λ＜－1．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)． AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．
高一数学 平面向量 测试卷 第8页 共8页
∵ AP＝AB＋λAC，∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． x235x55∴ 即
y317y47550要使点P在第三象限内，只需 解得 λ＜－1．
47018．DF＝(
7，2)． 4解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．
又 D是BC的中点， ∴ AD＝
＝
11(AB＋AC)＝(－4－3，－3－5) 2217(－7，－8)＝(－，－4)． 22又 M，N分别是AB，AC的中点， ∴ F是AD的中点， ∴ DF＝－FD＝－
(第18题)
1177AD＝－(－，－4)＝(，2)． 222411b，ED＝b－a． 2219．证明：设AB＝a，AD＝b，则AF＝a＋
∴ AF·ED＝(a＋
11113b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b． 22224(第19题)
又AB⊥AD，且AB＝AD，∴ a2＝b2，a·b＝0． ∴ AF·ED＝0，∴AF⊥ED． 20．
解法1：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，
∴ |2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos
πππ－cos θsin)＝8sin(θ－)，最大值为8， 333∴ |2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．
解法2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距
离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．
