湖州市五校中考数学模拟试卷及答案(word解析版)

浙江省湖州市五校中考数学模拟试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3分）（•湖州模拟）22的值为（ ） 0 4 A．﹣4 B． C． D．2

考点： 有理数的乘方．

分析： 根据有理数数的乘方的定义计算即可得解． 解答： 解：22=4．

故选C．

点评： 本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（•宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） 1 A．B． C． D．

考点： 概率公式．

分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发

生的概率．本题球的总数为1+2=3，白球的数目为2．

解答： 解：根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，

任意摸出1个，摸到白球的概率是：2÷3=．

故选A．

点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

种结果，那么事件A的概率P（A）=．

3．（3分）（•连云港）度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪录，其中数据“31 000 000”用科学记数法表示为（ ） A．B． C． D． 3.1×107 3.1×106 31×106 0.31×108

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将31 000 000用科学记数法表示为：3.1×107．

故选：A．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（•宁夏）把不等式组： A．

B．

的解集表示在数轴上，正确的是（ ）

C．

D．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析： 首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 解答： 解：由x﹣1≤0得x≤1

又﹣2x＜4得x＞﹣2

则不等式组的解集为1≥x＞﹣2 第二选项代表1≥x＞﹣2

第三选项代表x＞1或x＜﹣2 第四选项代表x＜﹣2且x＜1 故选A．

点评： 解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

5．（3分）（•湖州模拟）在巴金的海上日记中，有这样一段描写“果然过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸，红是真红，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现是直线与圆的哪一种位置关系（ ） A．相交 B． 相切 C． 相离 D． 外切

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 理解直线和圆的位置关系的概念：直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个

公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．

解答： 解：根据在那个地方出现了太阳的小半边脸，可知直线和圆此时是相交的位置关系．

故选A．

点评： 能够根据定义判断直线和圆的位置关系．

6．（3分）（•宁波）下列计算正确的是（ ） A．B． C． D． a6÷a2=a3 （a3）2=a5

考点： 立方根；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 专题： 计算题．

分析： 根据同底数幂的除法、幂的乘方、平方根、立方根的定答． 解答： 解：A、a6÷a2=a6﹣2=a4≠a3，故本选项错误；

B、（a3）2=a3×2=a6≠a5，故本选项错误； C、=5，表示25的算术平方根式5，≠±5，故本选项错误； D、，故本选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了立方根、算术平方根、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，是一道基础题．

7．（3分）（•余姚市模拟）已知实数x，y满足

，则x﹣y等于（ ）

30 1 A． B． C． D． ﹣1

考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 专题： 计算题．

分析： 原式左边后三项利用完全平方公式变形，利用两非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的

值，代入x﹣y即可求出值．

解答： 解：∵+y2﹣4y+4=+（y﹣2）2=0， ∴x﹣2=0，y﹣2=0，即x=y=2，

则x﹣y=2﹣2=0． 故选B

点评： 此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解本题的关

键．

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8．（3分）（•浙江）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ） 45 A．

5 B．

C．

D．

考点： 解直角三角形． 专题： 计算题．

分析： 根据正弦函数的定义求解． 解答： 解：∵sinA==，AB=15，

∴BC=5． 故选B．

点评： 此题考查三角函数的定义．

9．（3分）（•荆门）长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（ ）

A．C． D． 12cm 6cm2 4cm2

考点： 由三视图判断几何体． 专题： 压轴题．

分析： 主视图的矩形的两边长表示长方体的长为4，高为2；左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为

3，高为2；那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽，那么求面积即可．

解答： 解：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是4cm，宽是3cm，面积=4×3=12（cm2），故选

A．

点评： 解决本题的关键是根据所给视图得到俯视图的矩形的边长．

10．（3分）（•太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣

﹣BO的路径运动一

2

B． 8cm

2

周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）

A．

B． C． D．

考点： 函数的图象． 专题： 压轴题；动点型．

分析： 依题意，可以知道路程逐渐变大，然后从B到O中逐渐变小直至为0．则可以知道A，B，D不符

合题意．

解答： 解：本题考查函数图象变化关系，可以看出从O到A逐渐变大，而弧AB中的半径不变，从B到

O中OP逐渐减少直至为0． 故选C．

点评： 应抓住s随t变化的本质特征：从0开始增大，不变，减小到0．

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11．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（ ）

m+2n=1 A．B． m﹣2n=1 C． 2n﹣m=1 D． n﹣2m=1

考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高． 专题： 压轴题．

分析： 根据OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C，得出C点在∠BOA的角平分线上，进而得出C点横纵坐标相等，进而得出答案．

解答： 解：∵OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C，

∴C点在∠BOA的角平分线上，

∴C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m﹣1=2n， 即m﹣2n=1． 故选：B．

点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及坐标点的性质，利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题

关键．

12．（3分）（•湖州模拟）如图，若弧AB半径PA为18，圆心角为120°，半径为2的⊙O，从弧AB的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转的周数是（ ）

A．5周 B． 6周 C． 7周 D． 8周

考点： 弧长的计算．

分析： 先求出弧AB的长，再求出⊙O的周长，继而可得出⊙O自转的周数． 解答： 解：弧AB的长==12π，

⊙O的周长=2πr=2π×2=4π，

则⊙O滚动的长度为2×12π=24π， 滚动过程中自转周数=24π÷4π=6，

又⊙O在点B处由外侧转到内侧自转180°，在点A处由内侧转到外侧自转180°，正好等于1周， 6+1=7，

所以最后转回到初始位置，⊙O自转7周． 故选C．

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点评： 本题考查了弧长的计算，解答本题注意理解题意，内侧转到外侧、外侧转到内侧不要忘记算，难度

一般．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）（•湖州模拟）写出一个比﹣4小的无理数： ﹣ ．

考点： 估算无理数的大小． 专题： 开放型．

分析： 由于17＞16，则＞，于是﹣＜﹣4，所以﹣为满足条件的一个无理数． 解答： 解：∵17＞16，

∴＞， ∴﹣＜﹣4． 故答案为﹣．

点评： 本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

14．（3分）（•湖州模拟）计算

的结果是 ﹣2 ．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题．

分析： 本题涉及零指数幂、乘方、负指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法

则求得计算结果．

解答： 解：原式=1+2﹣5÷1

=﹣2．

故答案为﹣2．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指

数幂、乘方、负指数幂等考点的运算．

15．（3分）（•安徽）分解因式：x2y﹣y= y（x+1）（x﹣1） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继

续分解可得．

解答： 解：x2y﹣y，

=y（x2﹣1），

=y（x+1）（x﹣1）．

点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用

其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

16．（3分）（•湖州模拟）对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．根据图中信息，这些学生的平均分数是 2.95 分．

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考点： 加权平均数；扇形统计图；条形统计图．

分析： 首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后求平均分即可． 解答： 解：总人数为12÷30%=40（人），

则3分的有40×42.5%=17（人）， 2分的有40﹣17﹣12﹣3=8（人），

故平均分为：

=2.95（分）．

故答案为：2.95．

点评： 本题考查了加权平均数即统计图的知识，解题的关键是观察图形并求出各个小组的人数．

17．（3分）（•湖州模拟）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则其侧面积为 300π （结果用含π的式子表示）．

考点： 圆锥的计算．

分析： 根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线

长，进而求得侧面积．

解答： 解：由题意知；20π=

∴R=30，

∵2πr=20π， ∴r=10．

S圆锥侧=lR=×20π×30=300π．

故答案为：300π．

点评： 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据底面周长得到圆锥的底面半径和母线长．

18．（3分）（•湖州模拟）如图，点A，B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b （a＞0，b＞0）．设直线AB的解析式为y=kx+m，若是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 2 个．

考点： 待定系数法求一次函数解析式．

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专题： 数形结合．

分析： 先求出点A、B的坐标，再把点A、B的坐标代入函数解析式得到两个关于k、m的等式，整理得

到k的表达式，再根据是整数、k也是整数判断出1﹣的值，然后求出k值可以有两个．

解答： 解：当x=a时，y=a；

当x=b时，y=8b；

∴A、B两点的坐标为A（a，a）B（b，8b）， ∴直线AB的解析式为y=kx+m，

∴解得k=∵

， =

+1=

+1，

是整数，k也是整数，

∴1﹣=或，

解得b=2a，或b=8a， 此时k=15或k=9．

所以k值共有15或9两个． 故应填2．

点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式，解答本题的关键在于对、k是整数的理解．

三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19．（6分）（•湖州模拟）化简求值：

，其中

．

考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值．

分析： 先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形

式，最后把a的值代入计算．

解答：

解：原式=

===当原式=

=，

时， ．

点评： 此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．

20．（7分）（2001•苏州）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G．

（1）求证：△AFB≌△EFC；（2）若BD=12cm，求DG的长．

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考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定；平行线分线段成比例． 专题： 计算题．

分析： （1）根据平行四边形性质推出AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=∠FEC，根据

全等三角形的判定证出即可；

（2）求出

==

，把BD的长代入求出即可．

解答： （1）证明：在平行四边形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF， ∵AB=CD，CE=CD， ∴AB=CE，

在△AFB和△EFC中

，

∴△AFB≌△EFC．（2）解：∵ED=2CD=2AB， ∴∴

，

，

∵AB∥CD，

又∵BD=12， ∴DG=BD=8cm，

答：DG的长是8cm．

点评： 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知

识点，主要考查学生能否根据性质进行推理，题目比较典型，难度也适中．

21．（7分）（•湖州模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（﹣1，a）． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO的度数．

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考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 计算题．

分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB

的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；

（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数．

解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（0，2解得：

），B（2，0）代入得：，

，

故直线AB解析式为y=﹣x+2， 将D（﹣1，a）代入直线AB解析式得：a=则D（﹣1，3），

将D坐标代入y=中，得：m=﹣3

，

+2=3，

则反比例解析式为y=﹣；（2）联立两函数解析式得：，

解得：或，

则C坐标为（3，﹣）， 过点C作CH⊥x轴于点H，

在Rt△OHC中，CH=，OH=3， tan∠COH=

=

，

∠COH=30°，

在Rt△AOB中，tan∠ABO=

=

=

，

∠ABO=60°，

∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°．

点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次

函数与x轴的交点，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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22．（9分）（•湖州模拟）下面提供上海楼市近期的两幅业务图：图（甲）所示为6月至12月上海商品房平均成交价格的走势图（单位：万元/平方米）；图（乙）所示为12月上海商品房成交价格段比例分布图（其中a为每平方米商品房成交价格，单位：万元/平方米）．

（1）根据图（甲），写出6月至12月上海商品房平均成交价格的中位数； （2）根据图（乙），可知x= 6 ；

（3）12月从上海市的内环线以内、内中环之间、中外环之间和外环线以外等四个区域中的每个区域的在售楼盘中随机抽出两个进行分析：共有可售商品房2400套，其中成交200套．请估计12月份在全市所有的60000套可售商品房中已成交的并且每平方米价格低于2万元的商品房的套数．

考点： 折线统计图；扇形统计图；中位数．

分析： （1）根据图（甲），得出6月至12月上海商品房平均成交价格，再把这些数从小到大排列起来，

找出处于中间位置的数即可；

（2）根据图（乙）用1减去其他部分所占的百分比，即可求出x的值；

（3）先设出12月份全市共成交商品房x套，根据题意列出方程，求出x的值，最后列出算式进行计算即可．

解答： 解：（1）根据图（甲），得出6月至12月上海商品房平均成交价格分别为2.68，、2.68、2.70、

2.69、2.61、2.56、2.43，

把这些数从小到大排列为：2.43、2.56、2.61、2.68、2.68、2.69、2.70， 处于中间位置的数是：2.68，

所以中位数是2.68；（2）根据图（乙）可知x%=1﹣55%﹣17%﹣22%=6%， x=6；（3）设12月份全市共成交商品房x套，根据题意得：

，

x=5000，

5000×（6%+17%）=1150（套）， 经检验，x=5000是原分式方程的解．

∴估计12月份在全市所有的60000套可售商品房中已成交的并且每平方米价格低于2万元的商品房的成交套数为1150套．故答案为：6．

点评： 此题考查了折线统计图，关键是能够根据折线统计图和扇形统计图获取有关信息，列出算式，求出

答案，是常考题型．

23．（9分）（•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

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考点： 垂径定理的应用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的应用．

分析： 连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB

于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）即可得出结论．

解答： 解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于

点M，交AB于点F．则OF⊥AB．

∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半径，OM⊥AB，

∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF=

=0.8=sin53°，

∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°， ∵OF==3（m），由题意得：MN=1m， ∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE． 在Rt△ADE中，tan56°=∴DE=2m，DC=12m．

∴S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（答：U型槽的横截面积约为20m2．

π×52﹣×8×3）≈20（m2）．

=，

点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，

再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．

24．（12分）（•湖州模拟）某航空公司经营A、B、C、D四个城市之间的客运业务．若机票价格y（元）是两城市间的距离x（千米）的一次函数．今年“五一”期间部分机票价格如下表所示： 起点 终点 距离x（千价格y

米） （元）

A B 1000 2050 A C 800 1650 A D 2550 B C 600 C D 950

（1）求该公司机票价格y（元）与距离x（千米）的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式将表格填完整；

（3）判断A、B、C、D这四个城市中，哪三个城市在同一条直线上？请说明理由；

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（4）若航空公司准备从旅游旺季的7月开始增开从B市直接飞到D市的旅游专线，且按以上规律给机票定价，那么机票定价应是多少元？

考点： 一次函数的应用． 专题： 压轴题；图表型．

分析： （1）可根据图中的信息运用待定系数法来确定y与x的关系式．

（2）根据（1）中得到的函数式，求解即可．

（3）分别计算出各地的距离，然后再判断出哪些城市在同一直线上

（4）先要计算出BD之间的距离，再根据（1）中的关系式得出机票价格

解答： 解：（1）设y=kx+b，由题意得

，解得

．

∴y=2x+50（x＞0）（2）当y=2550时，x=1250， ∴AD=1250千米，

当x=600时，y=1250元，

∴B到C的价格为1250元，（3）∵AC+CD=800+450=1250=AD，AB+BC=1000+600≠AC ∴A，C，D三个城市在同一条直线上．（4）如图， ∵AC2+BC2=8002+6002=10002=AB2 ∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90° ∴BD===750 当x=750时，y=2×750+50=1550

答：从B市直接飞到D市的机票价格应定为1550元．

点评： 本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学

模型，是中考的常见题型．

25．（12分）（•湖州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图1，将若干个边长为 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA、OC分别落在y轴的正半轴和x轴的负半轴上，将这些正方形顺时针绕点O旋转135°得到相应矩形OA′B′C′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′．

（1）如图2，当正方形个数为1时，填空：点B′坐标为 （2，0） ，点C′坐标为 （1，1） ，二次函数的关系式为 y=﹣x2+2x ，此时抛物线的对称轴方程为 直线x=1 ； （2）如图3，当正方形个数为2时，求y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴； （3）当正方形个数为时，求y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴；

（4）当正方形个数为n个时，请直接写出：用含n的代数式来表示y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴．

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数几何综合题；规律型．

分析： （1）根据正方形的性质求出对角线的长，然后根据旋转角是135°可知点C′在x轴上，从而求出点

B′、C′的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴公式求解；

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（2）先求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答； （3）求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答； （4）根据（2）与（3）的规律，求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答即可．

解答： 解：（1）∵正方形的边长为，

∴对角线为×=2， ∵旋转角为135°， ∴点B′在x轴上， ∴点B′（2，0），

根据正方形的性质，点C′（1，1），

∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′，

∴解得

， ，

∴二次函数关系式为y=﹣x2+2x， 对称轴为直线x=﹣

=1，

即直线x=1；

故答案为：（2，0）；（1，1）；y=﹣x2+2x；直线x=1．（2）正方形个数为2时，B′（3，1），C′（2，2）， ∴

，

整理得，7a=﹣2b， ∴

=﹣，

=﹣×（﹣）=；（3）正方形个数为时，B′（，），C′（，），

抛物线对称轴为直线x=﹣

∴

整理得，6034a=﹣2b， ∴

=﹣3017，

，

对称轴为直线x=﹣（n，n）， ∴

=﹣×（﹣3017）=；（4）正方形个数为n个时，B′（n+1，n﹣1），C′

，

整理得，（3n+1）a=﹣2b， ∴

=﹣

，

=﹣×（﹣

）=

．

对称轴为直线x=﹣

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，待定系数法的思想以及待定系

数法求二次函数解析式，根据规律确定出点B′、C′的坐标是解题的关键，也是本题的难点．

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26．（14分）（•湖州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（0，4）

和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D． （1）求b，c的值．

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．

（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出b，c的值；

（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明△AOP∽△PEB，再根据相似三角形对应边的比相等得到

=

=2，则PE=2，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的

解析式，即可求出t的值；

（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似时，又分两种情况：

△POA∽△ADB与△POA∽△BDA，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可； （4）设BP的中点为N，由P（t，0），B（t+2，），根据中点坐标公式得出N（t+1，），由勾股定理求出AP=

．过点N作FN∥AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H．运用待

定系数法求出AC的解析式为y=﹣x+4，根据解析式平移的规律设FN的解析式为y=﹣x+m，将N（t+1，）代入，得出m=FH=2×2×

=

+．由△AFH∽△ACO，根据相似三角形对应边的比相等得出

，又当以PB为直径的圆与直线AC相切时，FH=BP=AP，列出方程

，解方程即可求出t的值．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），

∴

，

解得．

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故所求b，c的值分别为，4；（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO， ∴△AOP∽△PEB且相似比为∵AO=4，

∴PE=2，OE=OP+PE=t+2， 又∵DE=OA=4，

∴点D的坐标为（t+2，4），

∴点D落在抛物线上时，有﹣（t+2）2+（t+2）+4=4，

解得t=3或t=﹣2， ∵t＞0， ∴t=3．

故当t为3时，点D落在抛物线上；（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：

①当0＜t＜8时，如图1．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD， 即t：（t+2）=4：（4﹣t），

整理，得t2+16=0， ∴t无解；

若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2（负值舍去）； ②当t＞8时，如图3．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD， 即t：（t+2）=4：（t﹣4），

解得t=8±4（负值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t无解；

综上可知，当t=﹣2+2或8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似；（4）如图2．∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC的解析式为y=﹣x+4．

设BP的中点为N，由P（t，0），B（t+2，），可得N（t+1，），AP=过点N作FN∥AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H， 设直线FN的解析式为y=﹣x+m，将N（t+1，）代入， 可得﹣（t+1）+m=，即m=由△AFH∽△ACO，可得∵AF=4﹣m， ∴

=

， ，

=

+． ，

．

=

=2，

∴FH=2×

当以PB为直径的圆与直线AC相切时，FH=BP=AP， ∴2×将m=

=

，

+代入，整理得：31t2﹣336t+704=0，

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解得：t=8，t=．

．

故以PB为直径的圆与直线AC相切时，t的值为8或

点评： 本题考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转

的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的

关键；根据切线及旋转的性质得出FH=BP=AP解决（4）小题的关键．

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