高一数学测试题—平面向量的数量积及运算

一、选择题：

1、下列各式中正确的是

（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|=|a|·|b|,

（3）(a ·b)· c=a · (b ·c), （4）(a+b) · c= a·c+b·c A．（1）（3） 2、在ΔABC中,若( A．正三角形

B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对. +

) · (

－

)=0,则ΔABC为

（ ） （ ）

B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定

（ ）

3、若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为

A．30° B．60° C．150° D．120° 4、已知|a|=1,|b|=2 ,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为

A．60° B．30° C．135° D．45°

2

5、若· + = 0,则ΔABC为

A．直角三角形

B．钝角三角形

（ ）

（ ）

C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

（ ）

D．13

6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为60°, 则|a+b|等于

A．37 B．13 C．37

7、己知|a|=1,|b|=2, a与的夹角为60,c =3a+b, d = λa－b ,若c⊥d,则实数λ的值为（ ） A．

4 7B．

5 7C．

7 4D．

7 5（ ）

8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则

①(ab)c－(ca)b=0 ②|a| －|b|< |a－b| ③(bc)a－(ca)b不与c垂直 ④(3a+2b)(3a－2b)= 9|a|2－4|b|2 其中真命题是 A．①② 二、填空题：

- 1 -

（ ）

B．②③

C．③④

D．②④

9、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________. 10、设a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b), 则m=________. 11、|a|=5, |b|=3,|a－b|=7,则a、b的夹角为__________. 12、 a与d=b－三、解答题：

13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求：

① a b ② (2a－b) (a+3b)

14、四边形ABCD中,

= a,

= b, CD= c, DA= d,且a·b=b·c=c·d

a(ab)关系为________. 2|a| =d ·a, 判断四边形ABCD是什么图形？

15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka－b与

a+2b垂直？

16、己知向量a,b均为非零向量,当|a+tb|取最小值时, ①求t的值；

②求证：b与a+tb垂直.

- 2 -

高一数学测试题—参

平面向量的数量积及运算

一、CCADA CCD 二、（9）－18e （10）－2 （11）120° （12）a⊥b

222三、（13）解： ①|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a b+|b|2，ab|ab||a||b|

2=21162510. ②（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×

2（－10）－3×52=－93. 注a2仅仅是一种记号，并不表示平方. a2=a·a=|a|·|a|cosθ=|a|2，同理b2=|b|2. （14）分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d），两边平方后，用a·b=b·c=d·c代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2，∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……①同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD为平行四边形. 又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，∵b·（2a）=0 ∴a⊥b，∴四边形ABCD为矩形. （15）分析：利用两个向量垂直的充要条件是这两个数量积为0，解：(kab)(a2b)

(kab)(a2b)0,即ka2(2k1)ab2b20,k52(2k1)54cos602420，

k14.（16）分析：因为|a+tb|为实数，且|a+tb|2=（a+tb）2展开以后成为关于t的二次函152|b|2|b|2数. 解①|atb|2(atb)2|b|2t22(ab)ta2，∴当t2(ab)ab时，|a+tb|取得最小值. ②当tab时，b·（a+tb）b·a+tb·b=b·a+t|b|2=a·bab|b|20. ∴b⊥（a+tb）.

22|b||b|注：对|a+tb|变形，有两种基本的思考方法. 一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行数量积运算；二

是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的变形，请同学们试用后一种方法解答本例.

- 3 -