微分学的基本定理及其应用

第五章 微分学的基本定理及其应用

§1. 中值定理

1. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

（1）sinxsinyxy,x,y(,);

（2）

xtanx,x(,),22等号成立当且仅当x0；

xe（3）1x,x0;

yxyyxln,0xy;xx（4）y

xarctanxx,x0.2（5）1x

mmnf(x)x(1x),m,n为正整数，x[0,1]，则存在(0,1)，使n1. 2. 设

3. 设函数在点a具有连续的二阶导数，证明

f(ah)f(ah)2f(a)f''(a).2h

limh04. 函数f(x)在[a,b]可导，其中a0，证明：存在(a,b)，使得

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2[f(b)f(a)](b2a2)f'().

35. 证明：（1）方程x3xc0（c是常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；

nx（2）方程pxq0（n为正整数，p,q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当

n为奇数时至多有三个实根.

'6. 设f(x)可导，求证：f(x)在两零点之间一定有f(x)f(x)的零点.

''''f(a)f(b)f(a)ff(x)[a,b]k7. 若在可导，且，为介于和(b)之间的任一实数，则至少'存在一点(a,b)，使f()k.

8. 若函数f(x)，g(x)和h(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，证明存在(a,b)，使得

f(a)f(b)g(a)g(b)h(a)h(b)0f'()g'()h'().

''f(x)ff(x)(a,b)9. 设函数在内可导，且单调，证明(x)在(a,b)连续.

10.

limf(x)limf(x)Af(x)(a,)xxa设在上可导，且。求证：存在(a,)，使

f'()0。

11. 求证：

arcsinxarccosx2 (x1).

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12. 设xlimf'(x)a，求证：任意T0，有

xlim[f(xT)f(x)]Ta.

13.

limf(x)Bf(x)[a,b)xb设在连续，.

（1）若存在x1[a,b)，使f(x1)B，则f(x)在[a,b)上达到最大值；

（2）如果存在x1[a,b)，使f(x1)B，能否断言f(x)在[a,b)上达到最大值？

14. 值.

limf(x)f(x)(,)x设在连续，且，证明：f(x)在(,)上取到它的最小

15. 设f(x)在[a,)有界，f(x)存在，且x'limf'(x)b.求证b0.

16. 对函数f(x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理有

f(x)f(0)f'(x)x,(0,1).

试证对下列函数有x0lim12：

（1）f(x)ln(1x);

xf(x)e. （2）

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§2. 泰勒公式

1. 写出下列函数在x0的带佩亚诺余项的泰勒展开式：

2x(1) e；

2(2) cosx；

(3) ln(1x)；

12(1x)(4) ；

x32x1(5) x1；

3(6) sinx；

x2(7) 2xx1；

(8)

ln1x12x；

2. 求下列函数在x1的泰勒展开式：

(1) lnx；

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x(2) a；

32P(x)x2x3x5； (3)

3. 利用泰勒公式求极限：

11limxxsinx； (1)

ex1x3limxsin62x； (2)

311limnln1n2n； (3)

1cos(sinx)x2ln(1x2)(4) ；

lim(5)

lim(3x33xx22x)x；

4. 设f(x)在原点的邻域二次可导，且

sin3xf(x)lim320xxx

(1) f(0),f'(0),f''(0)；

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f(x)1lim22x0xx； (2)

5. 确定常数a，b，使x0时，

(1) f(x)(abcosx)sinxx为x的5阶无穷小；

1ax1bx为x的3阶无穷小；

(2)

f(x)ex6. 写出下列函数在x0的泰勒公式至所指的阶数：

sinx3e,(x)； (1)

6lncosx,(x)； (2)

x,(x4)(3) sinx；

x22(4) 1xx,(x4)；

7. 求证：

1e112!(1)

1e(01)n!(n1)!；

(2) e是无理数；

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8. 设f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f'(a)f'(b)0，则存在c(a,b)，使

4f(b)f(a)2(ba)

f''(c)9. 设f(x)在a点附近二次可导，且f''(a)0，由微分中值定理：

f(ah)f(a)f'(ah)h,01

求证：h0lim12

10.

2F(x)f(x)，求证： f(x)设在实轴上任意次可导，令

F(2n1)F(2n)(0)f(n)(0)(0)0,(2n)!n!.

11. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上恒有f''(x)0，则在[a,b]内任意两点x1,x2，都有

f(x1)f(x2)xxf(12)22.

12. 设P(x)为一n次多项式，

(1) P(a),P'(a),,P(n)(a)皆为正数，证明P(x)在(a,)上无根；

(2) P(a),P'(a),,P(n)(a)正负号相间，证明P(x)在(,a)上无根.

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3. 函数的升降、凸性与极值

1. 确定下列函数的单调区间：

（1）

yx36x; （2）

y2xx2; （3）

y2x2lnx; x21（4）yx;

（5）

y2x2sinx; （6）

yxnex (n0,x0). 2. 求下列函数的极值：

（1）yxln(1x);

（2）

yx1x; 3x（3）

y145x2;

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(lnx)2y;x（4）

34y2xx; （5）

1yarctanxln(1x2).2（6）

f'(x0)0,f'_(x0)0x0f(x)3. 证明：若函数在点处有，则x0为f的极大值点.

设f(x)，g(x)在实轴上连续可微，且

f(x)'g(x)'f(x)g(x)0.

求证：f(x)0的两实根之间一定有g(x)0的根.

4. 应用函数的单调性证明下列不等式：

2xsinxx,x(0,);2 （1）

x3xsinxx,x0;6（2）

x2xln(1x)x,x0;2（3）

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x3tanxx,x(0,);32 （4）

12x3,x1.x（5）

5. 确定下列函数的凸性区间与拐点：

23y3xx; （1）

1yx2;x （2）

2yln(1x); （3）

2y1x. （4）

421xsin, x0,f(x)2 0 , x0. 6. 设

（1）证明：x0是函数的极小值点；

（2）说明在f的极小值点x0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.

27. 设f(x)alnxbxx在x11,x22处都取的极值，试定出a和b的值；并问这时f在

x1和x2是取得极大值还是极小值；

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(1) 求函数f(x)axlnx在x0上的极值；

(2) 求方程axlnx有两个正实根的条件.

32yaxbx(1,3)ab8. 问，为何值时，点为曲线的拐点？

9. 证明曲线

yx1x21有位于同一直线上的三个拐点.

10. .设f(x)为区间I上严格上凸函数，证明：若x0I为f(x)的极小值点，则x0为f(x)在I上唯一的极小值点.

11. 作出下列函数的图形：

3（1）yx6x;

（2）ye(x1)2;

（3）

y1;2x1

（4）

yln1x;1x

（5）yyx2arctanx;

xyxe; （6）

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x22x3y;2x1（7）

(x1)3y;3(x1) （8）

x4y3(1x)（9）.

12. 证明：

(1) 若f(x)为下凸函数，为非负实数，则f(x)为下凸函数；

(2) 若f(x)、g(x)均为下凸函数，则f(x)g(x)为下凸函数；

(3) 若f(x)为区间I上的下凸函数，g(x)为J上的下凸递增函数， f(I)J，则gf(x)为

I上的下凸函数.

13. 给定长为l的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.

14. 如何选择参数h0，方能使曲线

hyehx22

在x（0为给定的常数）处有拐点.

15. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值

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543yx5x5x1, [1,2]; （1）

y2tanxtan2x, [0,);2 （2）

（3）yxlnx,(0,);

（4）

yx23x2, [-10,10];

（5）y=ex-3, [-5,5].

16.

2yM(p,p)点到抛物线2px最短距离.

17. 设炮口的仰角为，炮弹的初速为v0m/s，炮口取作原点，发炮时间取作t0，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：

xtv0cos12ytvsingt02

若初速v0不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远.

§4. 平面曲线的曲率

1. 求下列曲线的曲率与曲率半径：

2y(1) 抛物线2px(p0);

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x2y221;2(2) 双曲线ab

(3) 星形线xya;

2323232. 求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线 ra(1cos)(a0);

22r2acos2(a0); (2) 双纽线

rae(0). (3) 对数螺线

3. 设曲线是用极坐标方程rr()给出，且二阶可导，证明它在点处曲率为

K|r22r'2rr''|(r2r')322.

4. 求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：

(1) xy4在点(2，2)；

(2) ylnx在点(1，0)．

2yaxbxc在顶点处的曲率半径为最小． 5. 证明抛物线

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2y2(x1)6. 求曲线的最小曲率半径．

7. 求曲线ye上曲率最大的点．

x8. 求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径：

(1) 旋轮线xa(tsint),ya(1cost)(a0);

(2) 椭圆xacost,ybsint(a,b0);

(3) 圆的渐开线xa(costtsint),ya(sinttcost).

§5. 待定型

1. 求下列待定型的极限：

tanax;x0sinbx（1）

lim1cosx2lim3;x0xsinx（2）

ln(1x)x;x0cosx1（3）

limtanxx;x0xsinx（4）

lim第 15 页 共 18 页

（5）limx01x1ex1; lncosax（6）limx0lncosbx;

limtanx6（7）

x2secx5;

（8）limx11lnx1x1; （9）lim(xx)tanx2; 1（10）

lim1xx1x;

xb（11）xlimeax (a,b0);

arctanxxlim2;（12）sin1x

（13）xlimlncxxb (b,c>0);

（14）limbcx0xlnx (b,c>0);

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lim（15）

12sinx;cos3xx6

（16）x0limlnx;cotx

(1x)e;x0x（17）

lim1x（18）x0sinxlimx;

1limln;x0x （19）

xtanxx2lim;x0x （20）111lim22x0xsin（21）;x

（22）

x0limsinxlnx.

2. 下列函数不能用洛必达法则求极限：

12;x2sin（1）x0sinxlim

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xsinx;xxcosx（2）

lim2xsin2x;x(2xsinx)esinx（3）

lim(x21)sinxlim.x1ln1sinx2 （4）

§6. 方程的近似解

31. 求方程xx40的正根，使误差不超过0.0001.

322. 求x5x6x10在0,1中的根，使误差不超过0.0001.

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