不等式的微分法和积分法的证明

不等式的微分法和积分法的证明

作 者：徐 辉

指导教师：廖 冬

摘要：不等式是数学的重要类容之一，求解不等式的方法众多，利用微积分理论和方法，可使不等式证法思路变的简单，本文归纳和总结了一些证明不等式的方法和技巧，突出了微积分在不等式证明中的重要作用.

关键词：不等式、 证明、 微积分、 应用

不等式是数学的重要类容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用.在不等式的许多解法中，往往需要较高的技巧.利用高等数

[1]学中微积分思想可以使不等式的证法思路变的简单.本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理等众多方法解不等式的证明问题.

1. 微分法

1.1利用微分中值定理证明不等式

[2]微分中值定理：如果函数yf(x)满足下列条件

(1).在区间[a,b]上连续，

1

(2).在区间(a,b)内可导，

则在区间(a,b)内至少存在一点，使

f(b)f(a)baf().

拉格朗日中值定理适合证明函数f(x)与其导函数之间的不等式，若观查不等式出现

f(x)在区间上的函数值之差及f(x)的表达式，则拉格朗日中值定理是我们自然的选择，应

用中值定理证明不等式的关键是构造适当的函数f(x)和闭区间[a,b]，使f(x)在[a,b]上满足条件.

hIn(1h)h,1h例1.证明其中h0.

证明：设f(x)In(1x)， 则

11x

f(x)考虑在[0,h]上，f(x)连续且在(0,h)可导，由中值定理得

f(h)f(0)In(1h)In1In(1h)f()h,

In(1h)f()h,其中(0,h)

2

11f(x)1,1h1又因

1In(1h)f()hh,1h其中h0

原式得证，即

1In(1h)h.1h

1.2利用函数的单调性证明不等式

函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内递增（递减）的充要条件是：f(x)0（或f(x)0）.可利用此定理证明不等式.

[3]例2.证明：当x0时，

x13xsinxx. 6证明：先证sinxx,

令f(x)sinxx, 则f(0)0,f(x)cosx10.

由此可知当x0时，f(x)是递减的，

当x0时，有f(x)f(0)0, 即sinxx

再证左边不等式，令

F(x)sinxx13x6，则F(0)0

3

且

F(x)cosx112x2（当看不清F(x)的正负号时重复上述思路），F(x)sinxx,由

于sinxx,可知F(x)0,所以当x0时，有

F(x)F(0)0, 故x0时，F(x)0, 即

x13xsinx.6

13xsinxx.6

所以当x0时，

x1.3用极值的方法证明不等式

在不等式的证明中，我们常常构造函数f(x)，f(x)构造好后，如果无法得到f(x)0或

f(x)0，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值的方法证明.

2x例3.a为常数，且aIn21,试证明x2ax1e，其中x0.

x2f(x)e(x2ax1). 证明：设

f(x)ex2x2a.

(x)ex2f则， 令f(x)0xIn2.

当xIn2时，有f(x)0,当xIn2时，有f(x)0. 所以函数f(x)在xIn2处具有极小值.

4

In2f(In2)e2In22a2(1In2)2a0. 又因为

故f(x)f(In2)0

f(x)严格单调递减，（x0）.

f(x)f(0)0， 即原命题得证.

1.4利用函数的凹凸性证明不等式

利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系，构造一个凸函数或凹函数来证明，由定义及判别法有：f(x)在某区间上（二阶可导）为凸（凹）函数f(x)0(f(x)0).则有下列不等式成立.

x1xnxxn11)[f(x1xn]f(1)[f(x1)f(xn)],nnnn ,（） 由此可证明一

[4]f(些不等式，特别是含有两个或两个以上变元的.

例4.证明不等式(abc)abc3aabbcc, 其中a,b,c均为正数.

证明：设f(x)xInx,x0, 则

f(x)Inx1,

f(x)1,x 可知f(x)0成立.

5

所以f(x)xInx在x0时为严格凸函数， 则有

abc1)(f(a)f(b)f(c)),33 从而

f(abc1(f(a)f(b)f(c)),33 即

(abcabc)aabbcc.3

abc,3所以

3有因

abc

(abc)abc3(abcabc)aabbcc.3

(abc)abc3aabbcc.

1.5利用泰勒公式证明不等式

当涉及到二阶或更高阶导数的命题时，可考虑用泰勒公式证明不等式.其关键是选择在恰当的特殊点（一阶导数值的点、区间端点，最值点、中间点、平均值点）展开.

[5]minf(x)1,f(x)f(0)f(1)0[0,1]例5.设在上二阶可导，,0x1求证：

maxf(x)8.0x1

6

证明：设f(x)在xa(0a1)处取得最小值，所以f(a)1, 由费马定理可知a为极值点，f(a)0.

f()2由泰勒公式

f(x)f(a)f(a)(xa)2 =

1f()2(xa)2,

其中位于a与x之间，

f(0)f(1)0, 所以有

01f(1)22a,1(0,a),

01f(2)2(1a)2,2(a,1)

令

f(1)c1,f(2)c2, 则由上可知

01c122a, 01c22(1a)2,

c12a2,c22(1a)2.

(xa)

7

（1）

1a,2则c18 若

maxf(x)f(1)c180x1

11a,1a,2则2则c28. （2），若

由（1），（2）可知

maxf(x)8.0x1

2．积分法

2.1利用积分性质证明不等式

若f(x),g(x)在区间[a,b]上可积,

f(x)g(x)f(t)dtg(t)dtaaxx，其中x[a,b].

x3x3x5xsinxx.x066120例1.证明当时，有

证明：当x0时，有

sinxx.

xx1cosxsintdttdt0012x2

8

cosx112x2

xx11sinxcostdt1t2dtxx3,0026

即

sinxx13x.6

xx1111cosxsintdt(tt3)dtx2x4.006224

cosx11214xx.224

11costdt(1t2t4)dt.00224

xx即

sinxx1315xx.6120

由上可知 当x0时有

13115xsinxxx3x.66120

x

2.2利用分部积分法来证明不等式

若u(x),v(x)为[a,b]上的连续函数，则有定积分分部积分公式：

9

bbbau(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx.[6]aa

例2.设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续，且f(0)f(1)0,求证：

1maxf(x).40x1

11f(x)dxf(x)d(x)02

10f(x)dx证明：

101111f(x)(x)(x)f(x)dx.2002

1111f(1)f(0)(x)f(x)dx.022 2

由于f(1)f(0)0, 故由上式可知

11f(x)dx(x)f(x)dx.02

110则

01111f(x)dx(x)f(x)dxxf(x)dx.0022

令

Mmaxf(x)0x1，则

10111xf(x)dxMxdx.022



1011111xdx1(x)dx2(x)dx02222

10

1. 4

111f(x)dxMmaxf(x)2440x1

f(x)dxx0011即

10f(x)dx1maxf(x).40x1

2.3利用积分中值定理证明不等式

积分第一中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]， 使的

baf(x)dxf()(ba)

积分第二中值定理推论：设函数f(x)在[a,b]上可积，若g(x)为单调函数，则存在

[a,b]，使的

baf(x)g(x)dxg(a)f(x)dxg(b)f(x)dx.ab[7]

f(x)dx 积分中值定理多应用于涉及f(x)与abf(x)dx或ab时使用.

[8]例3.1设f(x)为[0,1]上的非负单调减的连续函数，利用积分中值定理证明：对于

01,有下面不等式

0f(x)dxf(x)dx.成立.

[9]证明:由题设知f(x)满足第一积分中值定理的条件，

11



f(x)dxf()(),.

f()()f()(),从而

11f(x)dx.

0f(x)dxf()(1)f(x)dxf(x)dx.0因此可得

(1)f(x)dx0

f(x)dx.

又因01.

1,故有

10f(x)dxf(x)dx 成立.

例3.2. 设f(x)为[a,b]上的连续递增函数，则成立不等式

abbxf(x)dxf(x)dx.2a

ba证明：要证上述不等式成立，只要证

ab)f(x)dx02成立即可.

12



ba(x

由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理，则存在[a,b],使

bababab)f(x)dxf(a)(x)dxf(b)(x)dx.a222

ba(x

f(a)(xabbabab)dx(f(b)f(a))(x)dx22

b22ab(f(b)f(a))[(b)].22

b[f(b)f(a)]b(a)0.2

故

axf(x)dxabbf(x)dxa2成立.

2.4二重积分性质法证明不等式

解题思路：当命题涉及积分abf(x)dx,g(x)dx,f(x)g(x)dx,aabb

且f(x)与g(x)均单调增（减）时，可利用二重积分的保序性解题.

例4.设f(x),g(x)均为[a,b]上的单调增的连续函数，证明：

(ba)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.aaabbb

分析：命题符合上述特征，可利用二重积分的保序性，且

13

bbaf(x)dxf(y)dy,a

bbaf(x)dxg(y)dyababaf(x)g(y)dxdy.

证明：由于f(x),g(x),同为单调增函数，令

F(x,y)[f(x)f(y)][g(x)g(y)].

且总有[f(x)f(y)][g(x)g(y)]0,

由二重积分保序性有

abba(f(x)g(x)f(y)g(x)f(x)g(y)f(y)g(y))dxdy0,，

即2aabbf(x)g(y)dxdybabaf(x)g(y)dxdybabaf(y)g(x)dxdy.

于是有

(ba)f(x)g(x)dxf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx.aaaaabbbbb

成立.

3．微分法和积分法的结合

在许多实际问题上，不等式证明的问题都涉及微分和积分的结合

[10]

.

例. 设a0, 函数f(x)在[0,a]上连续可微，证明：

14

a1af(0)f(x)dxf(x)dx.0a0

(ax)f(x)dxf(x)[0,a]0证明：在上连续可微， 所以积分存在，且

aa0(ax)f(x)dx(ax)d[f(x)]0a

(ax)f(x)f(x)d(ax)00aa

af(0)f(x)dx.0a

aaf(0)(ax)f(x)dxf(x)dx,00a

af(0)a0(ax)f(x)dxa0f(x)dx

a0(ax)f(x)dxf(x)dx.0a

af(x)dxf(x)dx.00aa

f(0)a1af(x)dxf(x)dx.00a

微积分在实际运用中具有较高的价值.用微积分方法证明不等式是一种有效的证明方法，上面的几种方法是在证明不等式中常用的高等数学方法.

参 考 文 献

15

[1].同济大学数学教研室主编.《高等数学（上册）（第五版）》[M].北京：北京高教出版社.2005.

[2].刘玉琏，刘伟主编《.数学分析讲义练习题选讲》[M].北京：北京高教出版社. 2002.

[3].费定晖，周学全主编.《数学分析习题集解集》（第一册）[M].济南：山东科学技术出版社.2001.

[4].天津市数学会.不等式的证明及应用[J].天津：天津科学技术出版社，1992：43-66.

[5].李世金，陈广义.数学分析（上册）[M].沈阳：辽宁人民教育出版社，1984：312.

[6].唐钰其.高等数学习题课指导书[M].重庆：重庆大学出版社，1988：57.

[7].何水明.高等数学（上册）[M].武汉：中国地质大学出版社，2003：106.

[8].盛祥耀.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003：75-76.

[9].华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].上海：高等教育出版社，2001.

[10].王春喜.数学教学研究[J].不等式证明常用的技巧，1995（2）.

Differential Inequalities and integral method of proof

Xu Hui

16

Abstract: Inequality is an important aspect of math, one of many methods for solving inequalities, using theories and methods of calculus can Inequality Proof simple ideas changed, this article summed up and techniques inequality, highlighting the micro-At inequalities points to the important role of proof.

Key words: inequality, prove that calculus, applications.

目录

摘要﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒0 引言﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1微分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1.1利用微分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1.2利用函数单调性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1.3用极值的方法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1.4利用函数的凹凸性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1.5利用泰勒公式证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2积分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒

17

(1)

(1)

(1)

(5)

(1)

(2)

(3)

(3)

(4)

2.1利用积分性质证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (5)

2.2利用分部积分法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (6)

2.3利用积分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (7)

2.4二重积分性质法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (9)

3微分法和积分法的结合﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (10)

4 总结﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (11)

参考文献﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (11)

Abstract﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ (11)

18