与三角形外心、心里、重心有关的关系和定理
三角形外心、心里、重心有关的关系和定理
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外心即外接圆的圆心，此时三角形三个极点在圆上，圆心到三个极点的距离相等，即外心到三角形三个极点距离相等，因别的心是三角形三条边的中垂线的交点。
心里即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即心里到三角形三个极点距离相等，所以心里是三角形三个角的角均分线交点。
重心即三条中线的交点，分别经过三个极点与对边中点相连，中线的交点
即是重心，重心把三条中线分红 1:2，即重心与中点的距离与重心与极点的距离
比为 1:2。
垂心即三条高的交点，分别经过三个极点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。
重心的性质：
1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1。
2、重心和三角形随意两个极点构成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形三个极点距离的平方和最小。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直均分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ABC的外心，则 ∠BOC=2∠A（∠ A 为锐角或直角）或
∠ BOC=360-2°∠A（∠A 为钝角） .
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与三角形外心、心里、重心有关的关系和定理
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形
时，外心在三角形外面；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三极点的距离相等
心里的性质：
1、三角形的三条内角均分线交于一点。该点即为三角形的心里。
2 直角三角形的心里到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之
一。
3、O 为三角形的心里， A、B、C分别为三角形的三个极点，延伸 AO 交 BC 边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4（内角均分线分三边长度关系） △ABC中， 0 为心里， ∠A、∠B、∠C的内角均分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R，则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c,
BR/RA=a/b.
5、心里到三角形三边距离相等。
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