势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文

本科毕业论文(设计)

题 目 势阱中粒子运动的能级和波函数 院 系 物理与电子工程学院 专 业 物理学

一维势垒

——一维散射中的几率密度

摘 要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率

分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.

关键词:几率密度; 势垒 几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒;

几率密度; 阶梯势; 势垒

One-dimensional square potentials

— One-dimensional square potentials

Author’s Name: JianPing Gong Tutor:JianPing Gong ABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculation

of the stationary states of the particle. We limit ourselves to one-dimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential”whose rapid spatial variation for certain values of x introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step withEU0 and0EU0. We next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw  as a function of x by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics.

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2

KEYWORDS：Probability density;Potential steps;Potential barriers;

Classical mechanics; Quantum mechanics

“Keywords” 用小三号号“Times New Roman”加粗顶格,内容用四号“Times New Roman”，段前空0行,行距采用固定值22磅,采用悬挂缩进(约9.2字符)与上面的内容对齐.单词后加分号后打一个空格,然后再写下一个词,最后一个词不用分号 2 / 32

目录 引言1

1势垒模型与量子力学方程1

目录前空一行,三号、黑体、居中、1.25倍行距,目录两字间空四格、与正文空一行 1.1势垒模型1 引言总结第几章等一级标题用小1.1.1 势垒模型1距 ,章标号用阿拉伯数字, 数字用1.1.1.1 势垒模型1 题不加粗。 Times New Roman字体，二级标三号、宋体加粗、顶格、单倍行1.2量子力学方程与边界条件3 2 阶梯势垒散射4 2.1 模型与方程4 2.2 EU0的情况5 2.3 EU0的情况8 2.4U0的情况9 3 方形势垒散射10 3.1模型与方程10 3.2EU0情况11 3.3EU0情况14 3.4EU0情况15 总结16 致16

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注释16 参考文献16 附录17

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引 言 引言、每章题目、总结格式上面输入一空行,居一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题,:几乎所有的量子力学著中、三号黑体加粗,单倍[1-5]作中均作为主要容加以阐述. 对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子力行距与段后空0.5行.级别为标题1 学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征.但是大部分都是着重描述粒子在首行缩进两字符,小四号宋体.对只有单行公式势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数,而对于势垒存在时或无公式的段落如eikx,行距一般采用固定微观粒子的几率分布的情况却描述较少,由值22磅,此值为了页面美观可适当调整. 其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很少涉与.并且一些书中[1-2]给出粒子穿越势垒时的波动图像存在问题(如图0.1).因为对于引文文献号用上标非束缚定态问题粒子的波函数是复函数,一般情况下很难在二维图像中表示.如果说这加方括号标出 图0.1 粒子穿越势垒时的波动图像 里给出的是粒子的几率分布图像,那么由于穿过势垒后波函数一般形式是eikx,所以几率分布显然应该是一常数,并不存在任何的波动.为了能够对粒子在穿越势垒论文中的插图,除示意图可用Word软件时的几率分布有一个清晰的认识,我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不同中的绘图工具绘制外,函数图应用专门绘图软件绘制.所有插图要按章统一编情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像. 引言一般包括课题问题的提出、前号,并与文中对应.每幅图要有简要说明,人在该问题有关领域已经做过的工作本文讨论的阶梯势垒与方形势垒由于模型简单,数学计算相对容易而使得物理说明文字用五号字,行距采用最小值0和成果的概述、本课题的内容和采用的磅. 数字用Times New Roman字体、文图像清晰,对于深入理解粒子穿越势垒时的物理图像有一深刻正确的了解可以起到方法、本论文的结构说明等。 字用宋体,位于插图下方.图的大小一定的作用. 要适中,当图较小时一般置于版面右侧数字与标题间空一格, 数字用Times .注意与左侧空出0.5厘米. 插图中所插New Roman字体,文字用黑体加粗,字 字符应用公式编辑器编好后,转成图片号均为三号.居中. 格式,其字符大小为1 势垒模型与量子力学方程 10.5磅.在解释文字21.1 势垒模型 1.1.1势垒模型 1.1.1.1 势垒模型 每章后另起一页,用插入分页符的方法 中所用的数学字符也要用公式编辑插入,字号大小为10.5磅. 正文从引言开始起编页码,统一采用单如果空间中有两个区域, 并且在这两个区域粒子的势能都比它在这两个区域的分面打印,页码右对齐. 二级标题级别为标题2,格式左对齐首行缩进2界面上的势能小, 我们就说, 这两个区域是由一个势垒分隔开的. 字符(或1.7字符,与正文首行对齐即可, 数字用Times New Roman字体,文字用黑体加粗字号均为四号,数1 ,/ 32 字与文字空一格.单倍行距.如在章标题下或位于本页第一行,段前空0行,段后空0.5行,如在文中位置时采用段前空1行,段后空0.5行. 三级标题级别为标题3,格式左对齐首行缩进2

图1.1所示的一维势垒可以作为一维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能

U(x), 它是粒子的坐标x的函数. 在x0U(x)EUmEUmEUm点上势能具有极大值U0. 整个空间

x在这一点上分为两个区域:xx0和xx0, 在这两个区域

x1Ox0x2xUUm. 如果我们根据经典力学来考察

图1.1 一维势垒

粒子在场中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量E等于

p2EU(x)(1.1)

2式中p为粒子的动量,为它的质量. 从(1.1)解出动量. 我们得到

p(x)2[EU(x)](1.2) 上式中的符号应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量E大于势垒Um的“高度”, 则当粒子的初始动量p0时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量p0时,粒子通过势垒的方向正好相反.

假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E小于Um. 于是在某一点x1, 势能

U(x1)E,P(x1)0, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:x1是反转点. 因此, 当EUm时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域(xx0), 因而便不能进入第二个区域xx0去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且EUm, 则它便不能进入第二个反转点x2后面的区域去, 因为在x2点上U(x2)E (参阅图1.1). 因此对于所有能量小于Um的粒子来说,势垒都是一个“不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于Um的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也就说明了“势垒”这个名称的来源. 为了进一步理解势垒这个概念, 我们想象一个质量为, 在图1.2所表示的那种力函数作用下的粒子. 为了页面统一,所有正文内容(U文字图表均就在此线0, x(l), (x)0, x框内,最上(下)面的线与左右线与页面标志对齐.注(x)xl 意要使内容与横线的内侧线对齐,如果首行为多行公式,应在公式前插入一空行,此空行的行距为固定UUUmUm(xl), ,要行 值5磅.当下端内容与下面的内侧线有空白时2x2当调整本面中的行距使之对齐.(另起一页时除外) lx, UUm, UU0, x2 / 32

在横坐标为l和(x)的两个点之间, 粒子受到一个力F的作用, 此力的指向与Ox轴的单位矢量ex相反

UFmex

2在这个区域之外, 势能U(x)Um或U(x)0为一常数, 而力等于零.

U(x)Um(l)llxOex图1.2 一维势垒粒子受力分析 在t0时刻,以速度v0, 在横论文中的公式统一用Word软件中的公式编辑器书写.主坐标为(x)的点处接近这一区域的粒子由于F的作用而减速,由此得运动方程 要公式要按章统一进行编号并与论文中的叙述一致,编号Um2xttv0tt0(l), 数字用Times New Roman字体,右对齐未编号的公式要居0.4中.如单行公式行距采用固定值22磅,多行公式行距采用只有当方程 磅. 最小值0U2lmtt0v0tt0(l), 4具有实根时,粒子才能到达横坐标为(l)的点, 这就要求 12v0Um, 2如果不是这样, 粒子的能量E小于Um 二级标题级别为标题2,格式左对齐首行缩进212Ev0Um(1.3) 字符(或1.8字符,与正方首行对齐即可), 数字用2Times New Roman字体,文字用黑体加粗,字号均这个粒子就不可能到达势能变化区的端点. 因而粒子要被反射回来, 并重新向反向运为四号,数字与文字空一格.单倍行距.如在章标动. 使趋于零,而保持值不变, 力就变的无限大, 作用区变得无限薄题下或位于本页第一行,段前空0行,段后空0.5. 方程(1.3)所表,如在文中位置时采用段前空1行,段后空0.5示的结果依旧成立, 行因为它与宽度无关. 行. 1.2量子力学方程与边界条件 如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E大于势垒高度Um的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于Um的粒子也有一部分会穿过势垒.

在量子力学里, 必须知道波函数, 因此必须要解薛定谔方程

22iU(x)(1.4)

t2x2一维散射问题是一个非束缚态问题(U(x)与时间无关, 而E是正的).因此令

Eit(x,t)(x)e由此得到

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(1.5)

d2U(x)E(1.6) 2dx2按照势能U(x)的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式

d22k0(1.7) 2dx22k122E,k2k12n2(x)2[EU(x)](1.8)

2为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把U(x)和n(x)看作是x的缓变函数, 在图1.2中为方便取l0, 于是,在x0点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到

d2dxk2dx0 2dx即

d222dxkn(x)dx0 12dx由此得

()()k当取极限0时, 我们得到一个边界条件

212n(x)dx(1.9)

(0)(0)(1.10)

其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:

(0)(0)(1.11)

因为在x0点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.

2 阶梯势垒散射

2.1 模型与方程

本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.

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考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域0x等于常量

U0U00,而在x0区域等于零,即

UxU0,0xUx0,x0 (2.1)

我们称这种势为阶梯势垒图2.1. 具有一定能量E的粒子由势垒左方x0向右方运动.

在经典力学中,只有能量E大于U0的粒子才能越过势垒运动到x0的区域;能量E小于U0的粒子运动到势垒左方边缘(x0处)时被反射回去,不能透过势垒.

在量子力学中,情况却不是这样.能量E大于U0的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E小于U0的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x0的区域中去.

粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是

2U(x)U0Ox图2.1 一维阶梯势垒

d2E,2dx2x0(2.2)

和

d2U0E,22dx2x0(2.3)

或改写成

d222E0,dx2x0(2.4)

和

d222EU00,dx2x0(2.5)

下面我们分两种情况分别进行讨论.

2.2EU0的情况

现在令

k1222E,2k222EU0(2.6) x0(2.7)

则得

d2k120,2dx和

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d22k20,2dxx0(2.8)

容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为

1AeikxAeikx,(x0)(2.9)

112BeikxBeikx,(x0)(2.10)

22由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数1、2乘上时间因子eEit后,1、2中

的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在x0处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当x为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿x轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是

2Beikx,(x0)(2.11)

2即取b0. 由x0处的边界条件:

1x02x0, (2.12)

d1d2(2.13) dxx0dxx0我们有

AAB,k1Ak1Ak2B,(x0)(2.14) (x0)(2.15)

(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下:

Ak1k2(2.16) Ak1k22k1B(2.17) Ak1k2由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.

将入射波Aeik1x、透射波Beik1x和反射波Aeik1x依次代换下式

iJ** 2中的,得入射波的几率流密度为

iik1xd*ik1xk12ik1x*ik1xdJAeAeAeAeA 2dxdx透射波的几率流密度为

JDk22B

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反射波的几率流密度为

JRk1A

2透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以D表示.这个比值也就是贯穿到x0区域的粒子在单位时间流过垂直于x方向的单位面积的数目,与入射粒子(在x0区域)单位时间流过垂直于x方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有

JkB4k1k2DD2(2.18) 2Jk1Ak1k22反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以R表示.由上面结果,有

AJ4k1k2RR211D(2.19) 2JAk1k22由上两式可见,D和R都小于1,D和R之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒

x0区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的

振幅A1,得到

1eikx1k1k2ik1xe,k1k2(x0)(2.20)

22k1ik2xe,k1k2(x0)(2.21)

粒子的几率密度分布如图2.2所示.要注意当k1k2, 即U00时,势垒消失,因此反射为零,透射系数D1.此时只有入射波而没有反射波,在x0、x0的区域粒子分布的几率密度一样,如图2.3所示.

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图2.2 设k12,k21, 粒子几率密度图. 图2.3 设k12,k22, 粒子几率密度图. 2.3EU0的情况 对于两个图并排情况,注意两图要对齐,说明文字也要对齐,图的版式采用上下型. 此时我们只要令k2 i2, k222EU0i2222U0E(2.22)

则我们得到:

1AeikxAeikx,(x0)(2.23)

112BexBex,22(x0)(2.24)

由于当x时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的B0.因此有

Ak1i2(2.25) Ak1i22k1B(2.26) Ak1i2此时反射系数为:

Jki2RR211(2.27)

JkiA12A22透射系数为:

BJDD21R0(2.27)

JA2与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在x0区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取A1,则可将波函数写作:

1eikx1k1i2ik1xe,k1i2(x0)(2.28)

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22k1e2x,k1i2(x0)(2.29)

从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅一样,反射系数为1,但由于A/A为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了x0区域延误所致.

由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在x0和x0区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在x0找到粒子的几率随着x的增加而指数衰减,在

x1/2的区域,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅一样,所以入射波与反射波在x0的区域中发生干涉,使得一些点

20,这是干涉相消的结果.这与EU0时的情况不同,因为在EU0时入射波的强

度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使x0的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当k20时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.

图2.4设k12,21, 粒子几率密度图.

图2.5设k12,20.5, 粒子几率密度图.

2.4 U0的情况

当势垒高度趋于无穷大时,即U0时的解,可以由EU0的情况中令

2得到:

ki2Alim11(2.30) A2k1i22k1Blim0(2.31) A2k1i2此时反射系数为:

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Rlim2JRki21Jk1i221(2.32)

透射系数为:

Dlim2JD1R0(2.33) J1如果我们令A1,则可将波函数写成如下形式:

1eikxeikx,(x0)(2.34) 20,(x0)(2.35)

1值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数1和2,在x0点处波函数连续,

但波函数的导数并不连续.这是因为在U0时,在(1.9)式中

()()k21n(x)dx

2右端的积分在0时,由于n(x)并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.

我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数1和2,绘出在x0和x0区域找到粒子的几率曲线图2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差,显然在

x0区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.

实际上U0时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在EU0时2的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取2为2、10和1000画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当210时与图2.6已经很接近,而当2取1000时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓U0的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.

3 方形势垒散射

3.1 模型与方程

考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域等于常量U0U00,而在这个区域外等于零,0xa图

图2.9当EU2.8当U,取k2,10

0120U(x)即

2 图2.6当U0,取k12,. 时的粒子的几率密度图

时的粒子几率密度图.

,取kU02,21000 1时的粒子几率密度图2,22 图2.7当EU0,取k1. 时的粒子几率密度图. 10 / 32

Oax图3.1 一维方势垒

UxU0,0xaUx0我们称这种势为方势垒动.

粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程是

图3.1

x0,xa (3.1)

.具有一定能量E的粒子由势垒左方x0向右方运

d222E0,x0,xa(3.2) 2dx和

d222EU00,0xa(3.3) dx2同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.

3.2 EU0情况

与(2.6)式一样我们定义k1和k2将方程(3.2)和(3.3)改写为

d2k120,x0,xa(3.4) 2dx和

d22k20,0xa(3.5) 2dx此处k1,k2都是大于零的实数.

在x0区域,波函数

1AeikxAeikx(3.6)

11是方程(3.4)的解.

在0xa区域,方程(3.5)的解是

2BeikxBeikx, (3.7)

22在xa区域,方程(3.4)的解是

11

3CeikxCeikx(3.8)

按照公式(1.5)

x,txeiEt

iEt定态波函数是1,2,3再分别乘上一个含时间因子e. 由此看出(3.6)—(3.8)

三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在xa11 / 32

区域,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令

C0(3.9)

在x0和xa均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由1x02x0,我们有

AABB

dd2由1有

dxdxx0x0由2xa3xa,有

k1Ak1Ak2Bk2B

Beik2aBeik2aCeik1a

d3d2由有 dxxadxx0k2Beik2ak2Beik2ak1Ceik1a

解这一组方程组,可以得出C,A和A的关系是

C4k1k2eik1ak1k22eik2aA22ik12k2sinak22k1k2e22ik2aA(3.10)

A(3.11)

k1k2eik2ak1k2eik2a(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:

2JDC4k12k2(3.12) D2222222JAk1k2sinak24k1k22反射系数为:

RJR21D(3.13)

222222JAk1k2sinak24k1k2A2k12k22sin2ak22由上两式可见,D和R都小于1,D和R之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒

xa区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当ak2n,n0,1,2,零,透射系数D1,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.

从系数方程解得:

时,反射为

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BB2k1(k1k2)Aei2ak2(k1k2)2(k1k2)2i2ak22ek1(k1k2)Aei2ak2(k1k2)2(k1k2)2

令A1,我们得到波函数的形式为:

1eik1x22ik12k2sinak2k1k22eik2ak1k2eik2a2eik1x(3.14)

2k1(k1k2)2ei2ak2k1(k1k2)ik2xik2x(3.15) 2i2ak2eei2ak22222e(k1k2)(k1k2)e(k1k2)(k1k2)34k1k2eik1ak1k22eik2ak1k2eik2a2eik1x(3.16)

设k12,k21,势垒宽度a分别为1、2、3和分别画出粒子分布的几率密度图

图3.2 取k12,k21,a1时粒子几率密度分布. 图3.3 取k12,k21,a2时的粒子几率密度分布.

图3.4 取k12,k21,a3时的粒子几率密度分布. 图3.5 取k12,k21,a时的粒子几率密度分布.

3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.

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如果我取a1.5、k12而分别令k2为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图

图3.6取k12,k21,a1.5时的粒子几率密度分布.

图3..7取k12,k20.1,a1.5时的粒子几率密度分布.

中可以看出当,当k2减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在x0的区域入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.

3.3 EU0情况

这时k2是虚数,令

k2i2

则2是实数:

22U0E(3.17) 212把k2换成i2,前面的计算仍然成立.经过简单计算后(3.10)式可改写为

C透射系数D的公式可改写为

2ik12eik1ak21222sh2a2ik12ch2aA(3.18)

D24k122k21222sh2a4k22122(3.19)

在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令a0.5,k12,20.2和

a2,k12,21可画出在EU0时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与EU0的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在x0的区域中入射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零.

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图3.8 取k12,20.2,a0.5时的粒子几率密度分布.

图3.9 取k12,21,a2时的粒子几率密度分布.

3.4 EU0情况

对于EU0情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足U0a2/2E2UEk1220

U012121228,此时有

2EU02U0Ek21 2U20121212由(3.19)式可以给出DC/A12和E/U0的关系图3.10,当EU02mU0a22时,D1,当所选参数满足U0a/22E/U01时,D0.2.

8时,D0.2,在图3.10中当

图3.10 透射系数D与E/U0关系曲线图

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总 结

我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.

在存在阶梯势垒的情况,如果EU0,在x0的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随x的变化而波动,而在x0的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果EU0,透射系数为零,在x0的区域由于入射波与反射波振幅一样,干涉相消使得一些x点几率密度为零,而在x0的区域由于透射波随着x的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.

在方形势垒情况,如果U0a有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在

x0的区域只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在x0的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随x不同而波

动.并且值得注意的是在方形势垒区域,几率密度值也并非总是单调地减小,特别是发

致谢部分顶格, 致谢二字四号黑体,感谢生共振透射时,在势垒中存在一明显的几率密度峰. 部分小四号宋体;段前空二行.固定行间距22磅. 致 :在此真诚的感…. 注 释:

[1] 文中长度单位取2/U0为单位长度.

21/21/2[2] 文中波矢单位取U0/

为单位波矢. 参考文献四字顶格,四号黑体,单倍行距. 参考文献:

[1] 周世勋. 量子力学教程[M]. : 高等教育. 1979. 48～48 [2] 曾谨言. 量子力学[M]. 3. : 科学. 1999. 108～108 ,编[3]J.Salmon. A. Gervat. [美] 参考文献内容空两格顾世杰译. 量子力学[M]. : 科学. 1981. 165～号和XX空一格小四号宋166

体,固定行间距22磅. 16 / 32

[4]E.H. Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. : 科学. 1978. 347～

348

[5]Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977.

67～68

[1]王传昌．高分子化工的研究对象[J]．大学学报，1997，53（3）：1~7

:

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附录

为了加强我院本科生毕业论文（设计）的管理与指导，切实提高毕业论文（设计）的水平与质量，根据《中华人学位条例暂行实施办法》特制定本《工作规定》。 一、毕业论文（设计）的目的

本科生毕业论文（设计）是大学教学计划中的一个重要组成部分，是实现本科培养目标、培养实践能力和创新精神的一个极其重要的教学环节，是大学生学习深化和提高的重要过程；是培养学生探求真理的科学精神、科学方法和优良的思想品德等综合素质的重要途径。 毕业论文(设计)工作的具体任务是：

（一）培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合能力； （二）深化所学知识，发展学生的想象力和创造力；

（三）培养学生正确的思维方法，严谨的学习态度和实事的学风； （四）对学生进行科学研究、技术实验的学术道德教育和学术教育。 二、毕业论文(设计)的步骤 （一）选题； （二）开题论证； （三）搜集资料； （四）提出写作提纲； （五）论文实践与写作； （六）答辩。

三、毕业论文(设计)工作的组织管理

毕业论文指导工作在学院教务处的统一领导下，由各教学学院具体组织实施。各教学学院院长和分管教学工作的副院长全面负责本院毕业论文(设计)的指导教师配备、选题调整、时间安排、进度检查、答辩组织、成绩评定、优秀毕业论文(设计)推荐等工作，要加强管理，精心组织，严格要求，经常了解毕业论文(设计)的进展情况，确保毕业论文(设计)的教学质量和学术水平。

（一）专业教研室按照选题原则确定题目（学生也可自己提出有创意的题目报教研室）和指导教师，经分管教学工作的副院长或院长认可，然后将课题向学生公布。同时各教学学院要制定和填写毕业设计（论文）指导教师情况统计表、毕业设计（论文）选题情况统计表，以备随机抽查。

（二）学生在教师指导下，根据个人能力等情况自选题目，但各教学学院需调整解决一题多人争选或有的题目无人选的情况。

（三）学生在教师指导下，认真填写《晋中学院本科毕业论文（设计）开题报告与任务书》

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（见附件1）。指导教师根据学生课题进展情况与时将有关审核意见填入《晋中学院本科毕业论文（设计）进度表》（见附件2）。教务处对《开题报告》与《进度表》进行随机抽查。要求填写的表格一律用蓝、黑笔填写。

（四）专业教研室要进行中期检查，听取每个学生关于课题进展的口头汇报与问题解答，对达不到教学要求的学生应给予警告和具体帮助，对优秀学生应予以更细致的指导。各教学学院检查日期要报知教务处，教务处随机抽查。

（五）评审与答辩，由各教学学院具体组织实施，并认真填写《晋中学院本科毕业论文(设计)评审答辩表》（见附件3），此表作为答辩小组评定学生毕业论文（设计）等级的成绩记录并装订入学生论文(设计）中；答辩结束后，各教学学院要认真填写《晋中学院本科毕业生论文(设计) 成绩表》（见附件4），此表一式三份，一份留存本教学学院，一份记入学生学业档案，一份报教务处。

（六）毕业论文(设计)成绩评定完成之后，必须认真填写《晋中学院本科生院级优秀毕业论文(设计)推荐表》(见附件5)和《晋中学院本科生毕业论文(设计)统计表》(见附件6)。 四、毕业论文(设计) 的指导教师

（一）指导教师应当具有讲师以上(含讲师，包括有经验的实验室工程师)职称、具有丰富的教学经验和较高的科研水平。

（二）指导教师要对学生的开题报告、文献查阅、实验操作(工艺制作)、提纲拟订、论文(设计)的撰写与其格式等与时进行指导、帮助和检查，每指导一个学生的工作量不少于10课时。指导教师必须严谨认真，为人师表，尽心尽责；要严格把关，杜绝学生的抄袭、剽窃行为。 （三）每位指导教师指导的学生人数应适当，原则上人文社科、外语、教育、经济、管理等学科应控制在3～8人为宜，理工学科应不超过6人。

（四）分管教学的各教学学院领导要审核《晋中学院本科毕业论文(设计)开题报告与任务书》和《晋中学院本科毕业论文(设计)进度表》，并对毕业论文（设计）的有关情况进行督促检查，保证课题的进度和质量。

（五）各教学学院要按照学院的要求，为指导教师的论文(设计) 指导工作和答辩小组成员的答辩工作计相应的教学工作量和发放相应津贴。 五、毕业论文(设计)的时间安排

（一）第七学期第八周各教学学院组织学生选报论文（设计）题目，在第七学期结束前，确定每个学生的论文（设计）题目，完成开题报告工作，并将学生选题汇总后报教务处教务科。 （二）毕业论文(设计)的时间，文科学生不得少于8周，理科学生不得少于10周。 （三）每年6月30日前，各教学学院从优秀毕业论文（设计）中选送5%的论文（打印件和

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软盘）报送教务处教务科，经审核后编印《优秀论文（设计）选编》。 六、毕业论文（设计）的选题

（一）毕业论文（设计）的选题必须符合本科教学培养目标要求，体现本专业基本训练容，同时要体现本专业科学研究和科学实践的基本特点，有益于学生综合运用多学科的知识与技能，以培养锻炼学生的综合能力和钻研精神。

（二）选题应具有学术价值和现实意义。选取的课题既要以本学科的基本畴和基本理论为研究容，有利于学科的丰富和发展，具有一定的学术价值，又要紧密结合当前实践中直接提出来的理论问题和实际问题，可以直接为现实服务，具有一定的现实意义。

（三）选题应具有多样性和适当性。根据学生对基本知识和技能掌握的情况，针对学生不同的研究能力、特长、兴趣和可投入时间的多少，一方面选题可以多样化，体现不同方面不同类型的科学实践的特点和要求。另一方面，选题的份量和难易程度要适当，在保证达到教学基本要求的前提下，使学生能够在导师的指导下在规定的时间完成。

（四）毕业论文(设计)选题遵循命题和自选相结合的原则。教研室按照选题原则确定题目，供学生选择，学生也可提出有创意的题目。命题和自选题目皆由教学学院备案。题目一经选定，一般不得随意更改。有特殊理由者，须经指导教师所在的教研室研究决定，并报主管教学工作的副院长或院长主任批准，方可更改题目。

（五）毕业论文(设计)选题原则上为一人一题，即每个学生完成一个题目。需要几位学生共同参加的项目，每个学生应有完整的完成的部分，以保证每位学生都能受到全面的训练，不能把几人合作的课题写成一篇论文(设计)而同时作为几位学生的毕业论文(设计)。对综合训练不够的课题，指导教师应做适当的增补，使其满足教学要求。 七、毕业论文(设计)的开题

（一）学生选定题目后，必须通过开题论证。开题论证工作由各教学学院院长或分管教学的副院长负责，由专业教研室具体组织实施。

（二）学生开题时必须向开题论证小组阐明选题的目的和意义、该选题的研究现状与发展趋势、主要研究容、实验设计、完成论文的条件、方法与措施。并填写《晋中学院毕业论文（设计）开题报告与任务书》。

（三）开题论证小组必须对学生选题进行认真考察和论证，以鉴定学生是否具备完成该选题的能力。不具备完成该选题能力者，建议其另选题目。连续三次开题未获通过者，推迟一年毕业。 八、毕业论文(设计)的撰写 （一）毕业论文(设计)的结构

毕业论文(设计)的结构一般由以下几部分组成：

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1.标题。标题应鲜明、准确、精练地直接概括所进行的研究实践的主要容和结果，正标题一般不超过20个字，如需有副标题，副标题一般不超过28个字。

2.容提要。在主体容前用200-500字扼要介绍论文的主要容、采用的方法和得出的主要结论。

3.关键词。按照与论文容紧密程度，另行依次列出3-5个关键词。

4.英文翻译容。中文的标题、作者、指导教师、容提要、关键词应翻译成英文。 5.主体容。正文是科学实践工作和成果的系统总结报道，是论文的主体部分。要做到思路清晰、概念清楚、论点明确、结构合理、资料翔实并与论点想结合，同时要做到文字通顺、引文规；以实验为主的论文要验方法科学，分析归纳合理，图表应用得当，结果有应用价值。论文（设计）字数，文科不得少于6000字，理工科不得少于5000字。

以实验为主的工程技术类课题，论文中应有实验数据、测试结果、数据处理分析意见与结论；以产品开发为主的课题应有实物成果与实物的性能报告；软件工程类课题应包括有效程序软盘和源程序清单、软件设计与使用说明书、软件测试分析报告、项目总结。

6.注释：论文中凡属引用（包括直接引用和间接引用）他人的观点、结论、数据等，须加注释。注释应为尾注，放在正文之后、参考文献之前，按照行文中的顺序排列，例如①②…。每条注释的书写格式参见参考文献。

7.参考文献。科学实践中参考了前人的研究工作和成果，在毕业论文中应反映出来，在论文中按行文涉与的先后排列参考文献。主体容或附录中以上标形式列出参考文献的序号，主体部分或附录后按序号列出参考文献。参考文献一般来自正式出版的学术期刊、学术会议论文集、图书、报纸与已完成的学位论文等。 （1）参考文献类型与其标识:

以单字母方式标识以下各种参考文献类型：

参考文 报专 论文纸 著 集 期刊 学 报位 告 准 利 标专献 类型 文献类型 M 标识 C 文章 文章 论文 N J D R S P 对于专著、论文集中的析出文献，其文献类型标识建议采用单字母“A”；对于其他未说明的文献类型，建议采用单字母“Z”。

对于数据库(database)、计算机程序(computer program)与电子公告(electronic bulletin board)等电子文献类型的参考文献，建议以下列双字母作为标识：

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电子参考文献类型 数据库 计算机程序 电子公告 CP EB 电子文献类型标识 DB 电子文献的载体类型与其标识。

对于非纸型载体的电子文献，当被引用为参考文献时需在参考文献类型标识中同时标明其载体类型。建议采用双字母表示电子文献载体类型：磁带——MT，磁盘——DK，光盘——CD，联机网络——OL，并以下列格式表示包括了文献载体类型的参考文献类型标识： ［文献类型标识/载体类型标识］ 如：[DB/OL]——联机网上数据库 [DB/MT]——磁带数据库 [M/CD]——光盘图书 [CP/DK]——磁盘软件 [J/OL]—— 网上期刊 [EB/OL]——网上电子公告

以纸为载体的传统文献在引作参考文献时不必注明其载体类型。 （2）参考文献的注释格式为： ①文献为期刊时，书写格式为：

[序号]作者.文章题目[J].期刊名,出版年份,卷号,期数：起止页码.

如：[1]盛标 许康.工程畴演变考略[J].自然辨证法研究，2000（1）：35～38. 如果作者的人数多于3人时，只写第一位作者的，其后面加“等”即可。

如：[2]何祚庥等.宇宙射线站奇特事例的再分析.中国科学[J]，1995（A25）：596～565. ②文献为专著、学位论文、报告时，书写格式为：

[序号]作者.书名.版次.出版地：出版单位,出版年份，起止页码.如： [1] 国钧等.图书馆目录［M］.第一版.：高等教育，1957.15-18.

[2] 筑生.微分半动力系统的不变集［D］.：大学数学系数学研究所，1983.

[3] 西桥.核反应堆压力管道与压力容器的LBB分析［R］.：清华大学核能技术设计研究院，1997.

③文献为论文集时，书写格式为:

[序号]作者.论文题目[A].编者.学术会议文集名称[C].出版地：出版者，出版年份，页次.

如：[4]瞿秋白.现代文明的问题与社会主义[A].罗荣渠.从西化到现代化[C].：大学，1990，121～133.

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④文献为报纸文章时，书写格式为： [序号]作者.篇名.报纸名称，日期，版次.

如：[5]希德.创造学习的新思路［N］.人民日报，1998-12－25(10). ⑤文献为专利时，书写格式为：

[序号]专利所有者.专利题名[P].专利国别：专利号，出版日期.

如：[6]锡洲.一种温热外敷药制备方案［P］.中国专利：881056073，19-07-26. ⑥文献为电子文献时，书写格式为：

[序号]主要责任者.电子文献题名[电子文献与载体类型标识].电子文献的出处或可获得地址，发表或更新日期/引用日期(任选).

如：[7] 王明亮.关于中国学术期刊标准化数据库系统工程的进展［EB/OL］. .cajcd.edu.cn/pub/wml.txt/980810-2.html, 1998-08-16/1998-10-04.

⑦文献为各种未定义类型时，书写格式为：

[序号]主要责任者.文献题名[Z].出版地：出版者，出版年. 如：[10]永禄.唐代长安词典[Z].：人民，1980.

8.附录。对某些需要在毕业论文中反映出来，但又不宜于在论文主体中详述的容，可以放在附录中讲述。在论文主体中谈到有关容时注明参看附录。附录的容要有的完整性。毕业论文可以有多个附录，按顺序予以编号，每个附录分别有各自的题目。

9.图表和度量单位。凡用图和表格说明问题的，一定要在行文中对图（包括曲线图、照片）或表给予解释，图或表在文中分别统一编号，图或表应与正文相对应，排于相应地方。若同类图或表数量多，也可作为附录列于论文后。

根据国家规定，论文中出现的度量单位都应采用国际单位制，在引文中出现非国际单位制时应予以换算后加注。

（二）排版顺序和排版要求

1.论文封面：包括论文封皮和封面。论文封皮要求使用“晋中学院本科毕业论文（设计）”专用封皮，以学院为单位按时间要求统一到教务处教务科领取。

2.文章标题：文章标题为二号黑体，居中，标题之前空一行；副标题用三号宋体；学生、指导教师用三号宋体，与摘要之间空一行； 3.中文摘要

（1）“摘要”二字（四号黑体），两字间空一格（注：“一格”的标准为一个汉字，以下同），其后为摘要容（小四号宋体）。

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（2）“关键词”三字（四号黑体），其后为关键词（小四号宋体），关键词之间空两格。 4.英文摘要

“ABSTRACT(小三号Times New Roman加粗)”其后为英文摘要容(四号Times New Roman)，“KEYWORDS(小三号Times New Roman加粗) ”，其后关键词小写，(四号Times New Roman) ，关键词之间空两格。

中文摘要和英文摘要分别成页。每页要求有论文题目、作者、指导教师。参见《晋中学院本科毕业论文（设计）模板》 5.论文目录

目录作为论文（设计）提纲，是论文（设计）各组成部分的小标题，文字应简明扼要。目录按论文顺序分二级层次标识，要标明页数，以便阅读，目录中的标题应与正文中的标题一致。 6.正文

①正文层次标题：文科论文正文的层次标题序号依次为“一、”、“（一）”、“1.”、“（1）”等，一律空两格，后空一格写标题。其中一级标题也可居中。

理科论文正文的层次标题序号依次为“1”、“1.1”、“1.1.1”、“1.1.1.1”，一律空两格，后空一格写标题。

②普通专业：论文正文和参考文献为宋体小四号字；一级标题为三号黑体;二级标题为四号黑体；三级标题为小四号黑体,四级标题小四号加粗。

③外文专业：论文正文和参考文献为小四号Times New Roman；一级标题为三号Times New Roman加粗；二级标题为四号Times New Roman加粗；三级标题为小四号Times New Roman加粗。

7.注释：“注释”二字（四号黑体），两字间空一格，左对齐。与正文之间空两行。注释容字体同正文字体。

8.参考文献：“参考文献”四字（四号黑体），左对齐。与注释空一行。参考文献容字体同正文字体。

（三）打印与装订

1.一律用A4纸打印，如果毕业论文因专业特殊，无法打印的部分可以手写或手绘，但需保持页面整洁，布局合理。

2.页面设置：页边距上下各2.75cm，左2.8 cm，右2.5cm，页眉1.9cm,页脚2.2cm，行间距固定值22磅。

3.从正文开始标页码，页码位置放置在页面右下角（全部单面打印时），偶数页放置在页面左下角（双面打印时）。

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4.装订次序：①封皮；②封面；③《晋中学院毕业论文（设计）开题报告与任务书》；④《晋中学院毕业论文（设计）进度表》；⑤《晋中学院本科毕业论文（设计）评审答辩表》；⑥中英文摘要；⑦目录；⑧论文正文包括附录、注释和参考文献。 5.装订：由各教学学院负责统一装订，装订线在左侧。

6.理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面（装入小袋，封口）不要单独保存，以防丢失。

九、毕业论文(设计)的评阅

（一）学生完成毕业论文(设计)后，必须在规定的时间送交指导教师进行评阅，逾期未送者，不予评定毕业论文(设计)成绩。

（二）指导教师必须认真评阅学生毕业论文(设计)，客观、公正评定毕业论文(设计)成绩，并在规定时间完成。

十、毕业论文(设计)的答辩与成绩评定 （一）毕业论文(设计)的答辩

1.凡本院应届本科毕业生，必须进行毕业论文(设计)答辩；不进行答辩者，不予评定论文(设计)成绩。

2.根据专业设置和学生选题情况，各教学学院要以专业教研室为单位分别成立3人或5人组成的答辩小组，小组成员必须具有讲师以上职称，小组组长必须具有副教授以上职称，答辩小组设秘书一名。

3.各教学学院必须提前两周将学生答辩的分组情况通知学生；学生必须提前一周将毕业论文(设计)送达本人所属答辩小组的所有成员。

4.学生答辩容包括选题目的、意义、资料使用(实验、工艺制作)情况、论文(设计)的主要观点与主要创新点，以与对答辩教师所提问题的回答等。

5.答辩小组要认真负责，仔细听取学生的汇报和答辩，对其研究容要进行提问和质疑。 6.答辩小组成员要对学生的答辩情况进行评议，并投票表决该论文(设计)是否通过答辩。

7.投票表决完成后，由答辩小组组长或秘书根据记录和表决情况起草答辩评语，并向小组成员宣读，经答辩小组认可后认真填写《晋中学院本科毕业论文(设计)评审答辩表》。 8.各教学学院要合理安排《答辩日程》(包括答辩学生人数、答辩小组成员的组成、答辩时间、地点的安排等)，切忌使答辩流于形式。《答辩日程》要提前一周报送教务处教务科，教务处将根据各教学学院日程安排进行随机抽查。 （二）评分标准

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毕业论文（设计）的成绩评定原则上要从以下几个方面把握： 1.选题是否符合标准。

2.是否按期完成《任务书》中规定的项目。

3.综合运用知识的能力，基本概念与基本技能掌握情况如何，能否将所学理论和专业知识与技能正确运用于毕业论文（设计）中。 4.立论是否正确，结论是否科学合理。

5.实验是否正确、严谨，计算、分析能力是否符合专业要求，理论依据与数据处理方法和结果是否正确。

6.工作能力、科学态度和工作作风如何。 7.毕业论文（设计）有无独到之处。

8.文字材料是否条理清楚、通顺，论文是否充分，是否符合科学技术用语的规要求，符号统一，编号齐全，书写工整。相关图纸完备、整洁、正确。

9.答辩时的思路是否清晰，论点是否正确，回答问题的基本概念是否清楚，对主要问题回答的正确情况和深入程度。

10.运用外文阅读、翻译规定的本专业的外文资料的能力；应用外语检索国外有关资料能力；毕业论文（设计）中外文使用情况。

各教学学院答辩委员会要结合专业特点制定评审与答辩项目的分值。 （三）毕业论文(设计)的记分办法

1.毕业论文(设计)成绩实行百分制和优、良、中、差四级制双轨记分法。其中85分（含85分）以上为优，76--84为良，60--75为中，59分（含59分）以下为差。成绩的评定必须公正客观，呈正态分布，其中优秀毕业论文(设计)的比例不超过20%，不合格率原则上要控制在2％左右。获得优秀毕业论文（设计）的学生，原则上其学习成绩和综合考评成绩均应在班级的前50％。 2.优秀毕业论文（设计）由指导教师推荐，专业教研室集体研究，提交到各教学学院答辩委员会答辩。答辩评审通过者方为优秀。

3.毕业论文(设计)成绩评定审核完成后，各教学学院要认真填写《晋中学院本科生毕业论文(设计)统计表》和《晋中学院院级优秀毕业论文（设计）推荐表》。

（四）音乐、美术、体育学院毕业生除毕业论文(设计)外，还须进行专业或专项综合性测试、毕业创作等，论文文章量可适当减少，但不得低于5000字。具体执行办法由相关教学学院自行制定并报教务处备案。

十一、毕业论文(设计) 的保管

毕业论文（设计）要装订成册。各教学学院要做好毕业论文(设计)的收集、编目、归档、

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保管和利用工作。毕业论文(设计)的保管期限为五年。 十二、毕业论文(设计) 的物质条件保证

（一）图书馆、资料室、实验室等要为学生撰写毕业论文(设计)提供必要的资料、实验条件支持与各种便利。

（二）学院鼓励指导教师积极推荐优秀毕业论文(设计)在公开出版的学术刊物上发表，凡公开发表的论文(设计)学院给予必要的奖励；并在我院主办的学术刊物上对优秀毕业论文(设计)进行刊登或摘要。 十三、其他

（一）本规定自公布之日起执行。

（二）凡与本规定不相符的，一律以本规定为准。 （三）本规定由教务处负责解释。 附件：

1.《晋中学院毕业论文（设计）开题报告与任务书》 2.《晋中学院毕业论文（设计）进度表》 3.《晋中学院本科毕业论文（设计）评审答辩表》 4.《晋中学院毕业论文（设计）成绩表》 5.《晋中学院院级优秀毕业论文（设计）推荐表》 6.《晋中学院毕业论文（设计）统计表》

二○○六年六月八日

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