二项期权定价模型

摘要：

在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型，以单一时期内买权定价为例进行了。

一样来说，二项期权定价模型（binomal option price model， BOPM）的差不多假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说能够使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，假如存在套利机会，投资者则能够买两种产品种价格廉价者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，因此这种套利机会只会在极短的时刻里存在。这一证券组合的要紧功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。

一、对股票价格和期权价格变化的描述

假设股票当期（t＝0）的价格S为100元，时期末（t＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS；若下降，则为90元，记做dS。执行价格为110元。相对应地来看，期权价格则分别记做C0、Cup、Cdown，则在t＝1时，Cup、

Cdown分别等于max（120－110，0）、max（90－110，0），即10元和0。现在的

状态能够用下图描述：

uS＝120 股价上升时

S＝100

dS＝90 股价下降时

Cup＝10 max（120－110，0）

C0＝？

Cdown＝0 max（90－110，0）

二、构建投资组合求解买权 （一）构建投资组合

在上图中，唯独需要求解的是C0。为求解C0，也即给t＝0时的买权定价，能够证明C0的价格能够通过建立期权和相关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，确实是考虑一个包括股票和无风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格，因此能够用来模拟买权的价格。

我们能够考虑如此一个投资组合：

（1） 以价格C0卖出一份看涨期权； （2） 以价格100买入0.333股股票； （3） 以无风险利率8％借入27.78元。 （二）投资组合的净现金流分析

依照上述投资组合，能够得到t＝0时期的净现金流为：C0－（0.333×100+27.78）。依照前述对股票和期权价格变化的描述，在到期日时会显现两种可能的结果，这两种结果在到期日时的现金流能够描述如下：

买进一份看涨期权 股票变现 偿付贷款 净现金流 股价上升时的现金流 股价下跌时的现金流 －10（由max【120－110】0（由max【90－110】得到） 得到） 40（由0.333×120得到） 30（由0.333×90得到） －30（由－27.78×1.08得－30（由－27.78×1.08得到） 到） 0 0 这说明，不管相关资产的价格是上升依旧下降，那个投资组合的最终结果都一样，其净现金流均为零，该投资组合被称为零风险套头交易。假如该组合的最终结果为零，那么开始获得此组合的适当价格也应为零，也即C0－（0.333×

100+27.78）＝0，由此能够解出：C0＝5.55。

三、对t＝0时期买权价格变化的动态分析

如前所述，投资组合的最终净现金流为零，并由此得到了期权的最初价格。那么，假如期权的最初价格高于或低于那个价格时会显现什么情形呢？

第一，假设买权的价格高于5.55元，为10元，则投资者以10元的价格卖空买权，并同时构建前述投资组合，在t＝0时期，投资者的净现金流入或净盈利为10－（0.333×100－27.78）＝4.45元。到期以后，投资者的净现金流为零，也确实是说投资者在初期能够获得4.45元的无风险利润。假如市场上存在大量的套利者，这中非均衡状态是不可能持久的，买权价格最终将会调整到均衡状态。

其次，假如买权的价格低于5.55元，比如为3元，这时投资者将购买一份买权，同时卖空0.333股股票，以及在8％的利率水平上投资27.78元。在t＝0时，投资者的净现金流量为：－3＋（0.333×100－27.78）＝2.55元。而在年底，入下表所示，其净现金流仍旧为零。这说明，投资者在构建如此一个零风险套头交易以后，只要市场上买权的价格低于均衡价格，投资者就能够在初期猎取无风险收益，而在到期日时不管股价如何变化，都可不能产生缺失。因此，与前述情形一样，这种状态可不能持久，最终将会调整到均衡状态。 卖出进一份看涨期权 偿付卖空股票 收回投资 净现金流 股价上升时的现金流 股价下跌时的现金流 10（由max【120－110】得0（由max【90－110】得到） 到） －40（由－0.333×120得－30（由－0.333×90得到） 到） 30（由－27.78×1.08得到） 30（由27.78×1.08得到） 0 0

四、单一时期内买权定价的一样推导

抛开专门例子，考虑一个一样性的证券组合： （1） 以价格C0卖出一份看涨期权； （2） 以价格S买入N股股票； （3） 投资B0在无风险债券上。

那个地点的参数N和B0的取值均为满足零风险套头交易的特定取值，不管相关资产价格在到期日时是上升依旧下降。无风险利率为R。因为初始现金流为零，则有：

C0－（N×S+B0）＝0 （1）

假设在到期日时股票价格只有上升和下降两种可能的情形，那么能够设立方程组：

Cup－（N×uS－B0R）＝0 （2）

Cdown－（N×dS－B0R）＝0 （3）

能够解出：

N＝

(CupCdown)S(ud)

B0＝

(dCupuCdown)R(ud)

将N、B0带入（1）能够解出：

C0＝

{(Rd)Cup(uR)Cdown}R(ud)

其中，假如假设：p＝

(Rd)，则：

(ud)C0＝

pCup(1p)CdownR

p为股票价格变化的概率，即股票价格以概率p上升到uS，而股票价格下降为dS的概率则为1－p。