2011数学建模竞赛C题论文

企业退休职工养老金制度的改革研究

摘要

近年来，随着我国快速进入老龄化社会，退休后的养老金问题已经成为了人们的焦点问题。本文基于山东省的一系列统计数据，对养老保险中的替代率及资金缺口问题进行了分析。

针对问题一，根据我国经济发展的实际情况并结合经济发展的中长期发展目标，我们认为工资增长率今后应该是逐年递减的，并在某个时间达到较稳定的状态，故我们采用了阻滞增长模型，利用MATLAB对问题所提供的山东省职工历年平均工资统计表中的数据进行拟合，预测出了2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

针对问题二，我们利用EXCEL这个工具来进行计算，对各年龄段工资进行分析统计，计算出了题目提出的各种情况下的替代率，分别是30岁到55岁为34%，到60岁为42%，到65岁为60%；40岁到55岁为21%，到60岁为29%，到65岁为39% ，并对结果进行分析，得出当开始缴费的年龄相同时缴费年限越高，替代率越高；当缴费年限相同时，开始缴费的年龄越晚，替代率越高。

针对问题三，根据该企业某职工不同的退休年龄的情况，同样利用EXCEL进行计算并得到结果，当他是55岁或60岁时退休，这两种情况就会存在缺口问题，当他是65岁退休时就不存在缺口问题，我们同时也计算出该职工若55岁退休，到69岁的时候，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，若是60岁退休则会推迟到73岁达到收支平衡。结合问题二，我们可知，当替代率越高，则缺口越小。

针对问题四，我们给出了替代率与工资增长率、资金收益率、缴费率及缴费年限等影响因素的函数表达式，由该函数很容易看出替代率是缴费年限及资金收益率的增函数，从而可以通过提高投资收益率或增加缴费年限的方式来达到预期目标。

关键词 养老金 替代率 阻滞增长模型 收支平衡

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一、问题重述

1.1养老金简介

养老金也成退休金，是一种根据劳动者对社会所贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式,即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按缴费指数，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金，即基础养老金，加上个人账户养老金，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。 1.2如何发放养老金

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期.老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率.率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

然后根据附件1，附件2和附件3建立数学模型，解决如下问题：

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险金，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

二、模型假设

1.每次缴养老金都是由每年的一月一号一次缴一年的；

2

2.企业职工退休后个人账户存储额不考虑银行的利息； 3.不考虑自然灾害、经济危机等外界因素的影响； 4.企业职工d的出生日期为每年1月1日；

5.职工的整个职业期间的工资增长是均衡稳定的，且等于当地职工的平均工资的增长率w。

6.退休以后在个人账户和社会统筹基金账户的增长率忽略加未退休前的增长率。

三、符号说明

an：各年龄段职工工资

A：2009年该企业总工资

An：各年龄段总工资（n=1、2、3…9） b：该企业平均工资

bn：企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（n=1、2…9） B：本人指数化月平均缴费工资 B1：本人平均缴费指数 c：该企业总人数 cj：各年龄段总人数

d：养老保险基金的缺口情况 D：个人账户缴费率

D1：社会统筹基金缴费率 E：计发月数

i：从1978年开始以后的年份（i1、2、3……） k：替代率 K：亏空项

L:余名（退休以后统计的可以获得平均寿命） m：缴费年限

mi：省每年在岗职工月平均工资（i1、2、3……） p：养老金

p1：基础养老金

p2：个人账户养老金

Q：起始交费时的工资 r：个人账户增长率

r1：社会统筹基金账户增长率

S：本人平均缴费指数工资

si：每年本人缴费工资（i1、2、3……） Si：个人账户总存储额（i1、2、3……）

t：养老保险基金与领取的养老金收支平衡时职工的岁数 Ti：社会统筹基金账户里的钱数 w：当地职工的平均工资的增长率 Ni：i年的平均工资

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Nm：在一定的自然环境条件下可以增长的最大年均工资

ri：阻滞增长模型中，年平均工资在i年的增长率

GT：个人账户的替代率

anj：各年龄段不同月收入范围人数（n为年龄段、j为不同月收入范围，n=1、2、

3…9,j=1、2…8）

四、问题的分析

养老金是现代社会一种最主要的养老保险待遇。国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，更具他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。对于中国养老保险的现状来说，自20世纪90年代以来，中国加快建立以社会统筹与个人账户相结合的城镇职工基本养老保险为主体的社会养老保障体系，覆盖范围不断扩大，社会保险基金和财政投入规模持续增长，社会化养老保障体系不断完善，但是，面对日益严重的老龄化问题，我国的社会养老保障体系还不健全，制度运行还需要进一步完善。在十七大报告中指出“保障人民基本生活，达到老有所养，老有所依”。

第一问：1先要查阅相关资料，对中国的经济发展的工资增长形势作出合理的假设；2对题目给的山东省职工历年平均工资统计表利用MATLAB进行数据拟合，得到职工平均工资与年份的函数关系式，然后对2011年至2035年的山东省职工的年均工资进行预测。

第二问：1对附件2中的每个月收入范围段取平均值，对小数点后的数采用逢五进一的方法进行处理，得到每个年龄段职工工资和该企业平均工资，再求它们的比值；

2由题目知企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），得到6种情况（30岁到55岁、30到60岁、30岁到65岁、40岁到50岁、40岁到60岁、40岁到65岁），再分别求出6种情况下的养老金替代率。

第三问： 1根据题目意思可得，从开始交养老保险一直到退休，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡，有3种情况，在这个问题中，我们认为该职工退休后个人账户中的资金不考虑银行利息，分别计算每种情况下的养老保险基金的缺口情况； 2要使缴存的养老保险基金与其领取的养老金至间达到收支平衡，既养保险基金的收入近似的等于养老金的发放，养老基金的收入来自该职工每年缴到社会统筹基金账户中的钱数和缴到个人账户中存到银行的本金和利息，养老金是该职工退休后直至死亡的过程中发给职工的钱数，当收支平衡时，可以算出该职工领取养老金到多少岁？

第四问：职工养老金的替代率分为两个部分，由于两个部分的计算公式得两个部分的替代率由于不同因素共同影响所以进行分开考虑。

一个为个人账户养老金的替代率，由个人账户替代率公式得知影响其替代率有三个因素分别为缴费年限、个人帐户缴费率和不可控因素职工工资平均增长率。

第二个部分为社会统筹养老金替代率，由社会统筹养老金替代率公式得知其替代率由缴费年限影响。

满足了替代率的要有可能造成社会代价太大造成大规模的亏空。所以还要对支出和收入进行分析高替代率可能造成的支出远远大于收入，本题要求最好支出等于收入，所

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以替代率和收支差存在矛盾，建立模型找出满足收支差和替代率最佳方案。

五、模型建立与求解

1、问题一：

未来中国经济发展形势会越来越好，逐渐趋于平缓； 未来中国的工资增长形势会越来越小，逐渐趋于平缓。

先画出散点图分析其散点图，如图1的光华程度判断建立模型拟合。

从图像可看出2000年以前的数据分布不规则且波动性较大， 可以从图中看出94年到97年的增长率发生突变。

图1散点图

年份 增长率(%) 年份 增长率(%) 年份 增长率(%) 1979 11.6 1990 11.9 2001 14.1 表1 每年的工资增长率如下 1980 1981 1982 1983 1984 1985 17.8 1.3 1.8 2.6 24.8 12.6 1991 1992 1993 1994 1995 1996 6.6 13.4 21.1 37.7 18.6 12.9 2002 2003 2004 2005 2006 2007 13.6 10.4 14.0 15.9 15.7 18.8 1986 18.2 1997 7.44 2008 15.8 1987 8.7 1998 9.82 2009 12.4 1988 24.7 1999 11.7 2010 18.0 19 7.7 2000 14.6 通过对图1、表1的分析，我们很容易发现2000年之前的增长率波动大、不规则，从百分之几到百分之二十几都有，但从2000年开始年增长率基本维持在13%左右。同时因为改革开放的原因造成近30年来我国经济发展迅速，工资增长率直线上升；而发达国家因为经济发展趋于稳定，所以造成工资增长率比较低。并且我国经济发展的战略目标表示，要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。因此职工的工资不可能出现无限增长，同时也会受到社会财富的，所以我们采取了阻滞模型。具体分析如下：

最大职工平均工资应该是个常数，记为Nm。当N(i)达到最大平均职工工资Nm时，职工平均工资几乎不会增长，即Nm=0；当平均职工工资超过Nm时，应发生负增长。因此，一个国家的发达程度越高，它的平均职工工资提升空间就会越小。若将增长率r表示为N的函数，则它应为N的减函数。为此，可以假设rN是N的线形函数，即

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rNrsNi,r0,s0.

r。则职工平均工资增长率为： NmN(i) rNmr1，

NmN(i)其中因子1体现了对职工平均工资的阻滞作用，上式表明，增长率rN与职工平

NmN(i)均工资尚未实现的部分的比例1成正比，比例系数为固有增长率r。

Nm可以列出下面等式：

dNN(i)r1dtNm N(i0)N0分离变量，得

Nm N(i)

N0r(ii0)11eNm由rNm=0，得s以2000年为起始点所以N0=8772，i0=2000。

带入MATLAB进行拟合得到Nm3.4557105，r=0.1397. 源程序见附录1

图2阻滞拟合比较图

从图2上可以看出其拟合效果比较好最小二乘法算的数值也在有效拟合范围内。 1.0e+005

根据表2很容易的可以看出随着时间的推移职工平均工资的增长率逐渐下降,最终会无限趋进于Nm。

对山东省职工从1978年至2010年的历年平均工资统计表（见附录3）进行分析并进行处理得到

对以上表格的数据输入MATLAB得到散点图1对散点图进行拟合，得到山东省职工历年平均工资与i的关系表达式，如下：

fi=345570 /(1+345570 /8772-1)exp(-0.1397(i-2000)))

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对2011至2035年的年平均工资进行预测，实际就是将i为2011至2035代入函数yi得到如下表

表2 2011年至2035年的山东省职工的年平均工资如下表： 年份 年平均工资 年份 年平均工资 年份 年平均工资 2011 37320 2020 103160 2029 207120 2012 42230 2021 113540 2030 218530 2013 47680 2022 124430 2031 229530 2014 53720 2023 135760 2032 240040 2015 60370 2024 147430 2033 249990 2016 67650 2025 159340 2034 259340 2017 75570 2026 171380 2035 268060 2018 84140 2027 183430 2019 93340 2028 195380 2、问题二：

1：根据附件二，对附件二中的数据进行处理，得到下表：

表4 月平均收入 月收入范围 月平均收入 月收入范围 月平均收入 月收入范围 月平均收入 1000-1499 1250 2500-2999 2750 4000-4999 4500 1500-1999 1750 3000-3499 3250 5000-8000 6500 2000-2499 2250 3500-3999 3750 各年龄段总工资： Ai1250ai11750ai22250ai32750ai43250ai53750ai64500ai76500ai8

由上述公式可以算出各年龄段的总工资如下表5： 2009该企业总工资表达式为：AAi得A=4293500。

i18由附件二得：各年龄段总人数为：cja11a12...a1j（j=1、2…8） 得到数据如下表5：

该企业的总人数为： ca11a12a13....a8816

工资得各年龄段职工平均工资如下表5： 人数A42935002580.23 该企业平均工资为：bc16a由式bni得到企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比如下表5：

b

由平均工资= 7

表5 企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比

年 龄 段 人 数 总 工 资 平 均 工 资 bn

20-24 282 487000 25-29 263 546250 30-34 242 613500 35-39 226 622000 40-44 221 668750 45-49 194 634000 50-54 135 421000 55-59 101 301000 1276.95 2077.00 2535.12 2752.12 3026．02 3268.04 3118.52 2580.23 1.16 0.67 0.80 0.98 1.07 1.17 1.27 1.21 2 ①第一种情况：从30岁到55岁

根据附件3中的养老金计算方法得到下面表达式：

养老金：pp1p2

S个人账户养老金：p1iE(i=1、2、3……)

(mS)基础养老奖金：p20.01ii（i=1、2、3……)

2本人指数化月平均缴费工资：S替代率：kp mimibni1i（i=1、2、3……，n=1、2…9)

运用Excel对数据进行计算和数据的分析，可以得到每种情况下替代率

给职工自2000年30岁一直缴到55岁时，该职工2024年底退休，他的详细工资情况见职工平均工资表（见附录3）从2000年到2024年的部分得到该职工的退休前平均月工资为：m25=12285.83。

用上面的公式进行求解得到数据如下表6：

表6 30岁到55岁计算表 个人账户总存储额 142069.22 个人账户养老金 835.70 基础养老金 3286.50 养老金 4122.20 替代率 0.34

从40岁到55；从30岁到60岁；从40岁到60岁这三中情况的解法以第一种情况的解法相同，因此根据第一种情况可以的到其他三种情况的结果。

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②第二种情况：从40岁到55岁得到的结果如下表7：

表7 40岁到55岁计算表 个人账户总存储额 36702.95 个人账户养老金 217.90 基础养老金 742.74 养老金 958. 退休前平均月工资 4476.67 替代率 0.21

③第三种情况从30岁到60岁的结果如下表8：

表8 30岁到60岁计算表 个人账户总存储额 2445.93 个人账户养老金 1759. 基础养老金 5546.79 养老金 7306.43 退休前平均月工资 17260 替代率 0.42

④第四种情况从40岁到60岁结果如下表9：

表9 40岁到60岁计算表 个人账户总存储额 75677.40 个人账户养老金 544.44 基础养老金 1710.12 养老金 2254.56 退休前平均月工资 7778.83 替代率 0.29 有两种情况要一直缴费到65岁，而该企业的年龄到59岁，所以要对60到65岁的缴费指数经行预测，对缴费指数和各年龄段利用MATLAB进行数据拟合，得到散点图和拟合的曲线图（见附录2）进行比较，去掉离曲线较远的点，得到曲线的函数表达式为:bn0.000001075n40.002355n30.01284n20.1247n0.5328(n=1、2、3…9) 年龄段为60岁至65岁的缴费指数，即当n=9时得到bn=0.99.

替代率求解出来后，从30岁到65岁，从40岁到65岁的解法与第一种情况相同，即根据第一问的解法可以解出两种情况的数据如下：

⑤从30岁到65岁的结果如下表10：

表10 30岁到65岁计算表 个人账户总存储额 503783.20 个人账户养老金 4987.95 基础养老金 8002.50 养老金 12990.45 退休前平均月工资 21611.67 替代率 0.60

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⑥从40岁到65岁的结果如下表11：

表11 40岁到65岁计算表 个人账户总存储额 152747.91 个人账户养老金 1512.36 基础养老金 3303.43 养老金 4815.78 退休前平均月工资 12285.83 替代率 0.39

对六种情况的数据整理如下表12：

表12 两种情况的替代率比较表 从30岁开始缴费 从40岁开始缴费 缴到55岁结束 0.34 0.21 缴到60岁结束 0.42 0.29 缴到65岁结束 0.60 0.39 根据上面的数据分析如下：固定开始缴费的岁数，随着退休年龄的延长，养老金的替代率逐渐增大，表明缴费年限越长，得到的养老金越多，并且与国家的目标替代率比较接近；数据中从30到55岁与从40岁到65岁的缴费年限是相同的，但是从40岁到65岁的替代率大，由前面的计算可以看出，从40岁到65岁的比从30岁到55岁的收入高，因此缴费年限相同的情况下，收入高的比收入低的替代率高。

从上述分析可以看出，推迟退休年龄可以减轻老年人口养老压力.在人口预期寿命增加，而退休年龄仍维持不变的情况下，意味着老年人口被赡养时间延长，劳动力人口的负担会增大.推迟退休年龄可以是劳动者的平均工作年限延长，被赡养的相对时间缩短，劳动力人口的负担相对减轻。

3、问题三：

由于给的数据中只有该企业2009年的年龄分布,没有其他年份的年龄分布情况，不好求出本人平均缴费指数，因此每年各个年龄段的缴费指数都根据2009的计算。

cccx11x21xm1c1c2cm根据公式S计算本人指数化月平均缴费工资。

n由于职工一直到75岁死亡，所以还要对2036年到2045年的山东省职工的年平均工资进行预测，预测结果见附录。

① 从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁

对某职工而言，要到收支平衡，就是他缴的养老保险基金近似的等于他后来领取养老金的总和运用Excel对数据进行分析并计算，得出结果如下表13：

表13：30岁到55岁缴费表 个人账户养老金 835.70 本人指数化月平均缴费 14005.85 养老保险基金总和 837191.22 领取的养老金总和 1234746.31 养老保险基金的缺口：d=849685.44-142069.2=397655.09 要使养老保险基金与领取的养老金收支平衡，即养老保险基金领取的养老金

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ft1978837191.22128.52(t55)14005.852251%12t

12解得 t69.17（tN）

即职工55岁退休，退休后领取养老金到69岁达到其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

② 从30岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁

与第一种情况类似，算法相同，因此运用Excel进行计算，得出结果如下表14：

表14 30岁到60岁缴费表 个人账户养老金 1759. 本人指数化月平均缴费 19676.40 养老保险基金总和 821313.43 领取的养老金总和 925114.17 养老保险基金缺口：d925114.17821313.43103800.73 要使养老保险基金与领取的养老金收支平衡，得

ft1978821313.43121759.(t60)19676.402301%12t

12解得 t73.42（tN）

即职工60岁退休，退休后领取养老金到73岁达到其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

③ 从30岁开始缴养老保险，一直缴到65岁

与第一种情况类似,算法相同，因此运用Excel进行计算，得出结果如下表15;

表15 30岁到65岁缴费表 个人账户养老金 3842.09 本人指数化月平均缴费 24205.07 养老保险基金总和 12132.33 领取的养老金总和 1209579.33

对数据分析知：养老保险基金总和大于领取的养老金总和，即职工60岁退休，退休后可以一直领取养老金到75岁仍有剩余。

根据计算结果分析如下：结合第二问的自2000年起从30岁开始一只缴费到退休（55岁，60岁，65岁）三种情况下的替代率与本问题中的对应情况的缺口进行比较，得替代率越大，缺口越小。 4、问题四：

职工的养老金基础养老金J和个人账户养老金G组成：pp1p2 职工的基础养老金：p1(BB1B)/2m1%

个人账户养老金由个人账户储存额和计发月数计算得到：

E由此可以推倒出个人账户的替代率为： P2DQ1r1rmm11w1wmm

GT

D1r1r1wE1wmmm1w11

GTD1r1r1wE1wmmm1wmGTD1r1rF1w1wmm1用GT算出个人账户的替代率：

再根据个人账户替代率和收益率的关系，收益率是替代率的增函数,其他条件不变时收益率越大其个人账户的替代率越来越大。

职工工资平均增长率是替代率的减函数,其他条不变时职工工资平均增长率越大其个人账户的替代率越小。

由基础养老金替代概率公式可知全省上年度在岗位品平均工资和本人指数化月平均缴费工资对基础养老金替代率只产生了固定系数性影响所以只对缴费年限进行分析基础养老金替代率和缴费年限呈现线性关系起系数为1.078。

根据给定的数据可以分析中国职工平均增长率在6%~18%之 间，故只对职工工资平均增长率6%~18%分析。

1r可以对不同的职工增长速度w和不同的投资增长速度r进行分析()的值在不同

1w1r的缴费年限m进行控制变量分析找找最符合条件的()数值。

1w表16 m25年时的养老金替代率 实际收益率（%） 2.5 工资增个人基础长率养老金 （%） 账户 9 7.62 26.75 12 6.07 26.75 14 5.34 26.75 16 4.75 26.75 18 4.28 26.75 3.5 基础养老金 26.75 26.75 26.75 26.75 26.75 4.5 基础养老金 26.75 26.75 26.75 26.75 26.75 1

合计 34.37 32.82 32.09 31.50 31.03 个人账户 8.41 6.63 5.78 5.11 4.91 合计 35.16 33.38 32.53 31.86 31.33 个人账户 9.31 7.25 6.28 5.51 4.91 合计 36.06 34.00 33.03 32.26 31.66 表17 m30年是的养老金替代率 实际收益率（%） 2.5 工资增个人基础长率养老金 （%） 账户 9 10 32.14 12 7.8 32.14 14 6.7 32.14 16 5.9 32.14 18 5.3 32.14 3.5 基础养老金 32.14 32.14 32.14 32.14 32.14 4.5 个人基础账户 养老金 12.55 32.14 9.43 32.14 8.02 32.14 6.92 32.14 6.14 32.14 合计 42.14 39.9 38.87 38.07 37.54 个人账户 11.2 8.54 7.33 6.42 5.7 合计 43.31 40.68 39.47 38.56 37.84 合计 44.69 41.57 40.16 39.06 38.28 可以从附录的表和图中看出当缴费年限每增加1年基础养老金替代率增加1。078%，基础养老金替代率只和缴费年限有关且呈现线性关系如果想要改变提高基础养老金只能提升缴费年限。

个人养老金替代率由函数分析表中数据和图3看出其和收益增长率呈现非线性加速递增关系，和缴费年限也呈现非线性加速递增关系，对缴费率的提升也可以增加个人养老金的收益增长率.想要提升个人账户替代概率可以增加年限和对基金进行投资提升收益增长率。

缴费年限一定时个人增产率一定时缴费以后投资的增长率不断增大总能找到一个

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界限使得个人养老金的替代率达到要求。

图3 收益增长率曲线图

社会统筹基金账户总收入：

TmDQ1r11r1

mm11w1wmDQ((1r)n0mmn(1m)n)

从函数分析可以看出社会统筹基金的总金额随着社会统筹基金增长率的增长加速增长。

表19不同年限对统筹总收入影响表 25限年 统筹总收30年限 统筹总收35年限 统筹总收增长率（%） 入 增长率（%） 入 增长率（%） 入 9 245805.40 9 408103.7 9 662582.4 12 374113.00 12 691005.5 12 1254526 14 500386.42 14 996391.2 14 1956653 16 673822.53 16 1449494 16 3084121 18 912171.43 18 2122410 18 46807 可以得出社会统筹基金账户总收入随着职工增长率的增长加速增长且和社会统筹基金增长率属于同速增长。

从表格中和函数可以看出年限是总收入的增函数,其他条件不变缴费年限越大统筹总收入越大.职工增长率是统筹基金增函数,其他条件不变职工增长率越大统筹总收入越大.

养老金的收入和支出差：

Kp2ETiLp2p1L

表20 不同年限实际工资缺口情况表 25年 工资增长个人账户收益率（%） 率（%） 2.5 3.5 4.5 5.5 9 缺口情况 -257025.16 -235976.67 -211880.08 -184226.72 30年 工资增长个人账户收益率（%） 率（%） 2.5 3.5 4.5 5.5 9 缺口情况 -143315.6 -102183.9 -53972.56 2757.37

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对收支差函数进行分析:

从表中可很容易看出个人账户收益率是收支差的增函数,其他条件不变的情况下个人账户收益率越大收支逆差也越小.

从表中可很容易的看出个缴费年限是收支差的增函数,其他条件不变的情况下缴费年限越大收支逆差越小.

综合考虑养老金的替代率和收支差平衡采用控制变量法，固定几个变量，使其中一个变量或者两变量带入函数进行计算。

在附录中的图表格和函数的分析可以得知个人账户养老金的积累主要取决于职工工资增长率、基金收益率和缴费年限的增加。个人账户养老金的替代率是基金收益率是基金替代率的增函数，在职工工资增长率相同时基金收益率越高，个人账户养老金替代率就越高，从而替代率越高。个人账户养老金的替代率是工资增长率的减函数，在基金收益相同的时实际工资增长率越高，个人账户养老金的替代率越低，从而总的替代率就越低。当国家经济飞速发展，职工平均工资增长较快时，个人获得的养老金替代率就相对较低，为了维持退休人员的养老金水平，这时候就要提高基金的收益率或通过商业保险等形式提高退休人员的养老金替代率相对较低，为了维持退休人员的养老金水平，这时候就要靠提高基金的收益率或通过企业年金以及商业保险的形式提高退休人员的养老替代率水平。

收支差主要取决于职工工资增长率、基金收益、收缴年限有关。收支差和基金收益呈现减函数，在收缴年限和职工增长率相同的情况下基金收益越高收支差亏空就越大。收支差是收缴年限的增函数，当基金增长率和职工增长率相同的情况下，收缴年限越大收支的逆差越小。

当国家经济飞速发展，职工平均增长越高，收支逆差就越大。

综合上述考虑可以适当的增加收缴年限可以增加养老金的替代率和减小收支逆差，适当的投资可以增加养老金的替代率，但是会增加收支逆差。随着经济的发展职工平均工资的增长率越来越小养老金的替代率会变大收支逆差越来越小甚至变成顺差。

六、模型的评价

1. 优点：

1）模型一比较好的对职工平均工资进行预测,考虑到职工工资不会无的增长,比较满足现实的实际情况.

2）问题二三中的模型运用Excel公式计算可以方便的变更数据求出想要的数值.

3）问题四中的模型可以直观的从表格中各种因素对养老金的替代率和收支平衡的影响也可以根据公式对各种影响进行量化分析.模型四对各种因素理论的计算得出理论数值但是在实际操作中不可能一下增加所以提出逐步逐年的增加缴费年限等因素. 2.缺点：

模型一虽然建立了阻滞模型但是随着社会的发展职工平均最大值也会产生变化当时间跨度较大的时候模型一所预测的职工平均工资会于实际工资产生偏差.模型中没有考虑到通货膨胀对工资的影响.所以预测职工平均工资有可能略小于实际工资.

七、参考文献

[1] 赵静、但琦 ，数学建模与数学实验（第3版），北京：高等教育出版社 ，2006年。 [2] 飞思科技产品研发中心，MATLAB 6.5 辅助优化计算与设计，北京：电子工业出版社，2003年。

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[3] 邱东、李东阳、张向达，《养老金替代率及其影响的研究》，《财经研究》1999年1期

[4] 张现同、郝勇、王珊珊，新制度下基本养老保险养老金替代率测算模型，统计与决策2010年第5期 。

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