等比数列

1．(2008年高考全国卷Ⅰ)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)

A．　　　　　　　　　　B．81C．128 D．243

解析：选A.设首项为a1，公比为q，则⇒，

∴a7＝a1q6＝.

2．(2009年高考广东卷)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)

A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2

解析：选C.由题知an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，

log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.

3．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)

A．2n－1 B．2n＋1－2C．2－ D．2－

解析：选B.由点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上得，－＝0，即an＝2an－1.又a1＝2，所以当n≥2时，＝2，故数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以Sn＝＝2n＋1－2，故选B.

4．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝(　　)A．1 B．－3

C．1或－3 D．－1或3

解析：选A.由a2a6＝16，得a42＝16⇒a4＝±4，又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8.∵q4>0，∴a4＝4，∴q2＝1.

＝q10＝1.

5.(2009年高考宁夏海南卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝(　　)

A．7 B．8C．15 D．16

解析：选C.设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3.∴4a1q＝4a1＋a1q2.∴q2－4q＋4＝0.∴q＝2.∴S4＝＝15.

6．(2009年高考辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)

A．2 B.C. D．3

解析：选B.由题意知＝＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2.

∴＝＝＝＝＝.

7．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为(　　)

A．0 B．1C．－1 D．2

解析：选C.据题意知数列为等比数列，又当公比q≠1时，等比数列前n项和公式为Sn＝＝－qn，令＝a，则有Sn＝a－aqn，故若Sn＝k＋3n，则k＝－1，此外本题可由已知得数列前3项，利用3项为等比数列即可求得k值．

8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为，则该数列有(　　)

A．13项 B．12项C．11项 D．10项

解析：选B.设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，aqn－2，aqn－1.所以前三项之积a3q3＝2，后三项之积a3q3n

1111－6＝4.所以两式相乘，得a6q3(n－1)＝8，即a2qn－1＝2.又

11

a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝，a1nq＝，即(a12qn－1)n＝2，即2n＝2.所以n＝12.

9．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则(　　)

A．a6>b6 B．a6＝b6

C．a6b6或a6解析：选A.由q≠1可知{bn}为非常数数列．

由a1＝b1，a11＝b11，bi>0(i＝1,2，…，n)，可知ai>0.又∵a6＝，b6＝.

由均值不等式>(∵a1≠a11)知a6>b6.∴应选A.

10．已知{an}是公比为常数q的等比数列，若a4，a5＋a7，a6成等差数列，则q等于________．

解析：由题知a4＋a6＝2(a5＋a7)＝2(a4q＋a6q)＝2q(a4＋a6)，由a4＋a6≠0得q＝.答案：

11．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.

解析：根据a2＝2和a5＝16，可求得等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，而所求的和式可看成是数列bn＝anan＋1的前n项和，而bn＝anan＋1＝a12q2n－1＝(a12q)(q2)n－1，所以{bn}是首项为b1＝a12q＝2，公比为q2＝4的等比数列，故其前n项和为Sn＝＝(4n－1)．

答案：(4n－1)12．(2009年高考海南宁夏卷)等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.

解析：∵{an}是等比数列，∴an＋2＋an＋1＝6an可化为a1qn＋1＋a1qn＝6a1qn－1，∴q2＋q－6＝0.

∵q>0，∴q＝2.∴S4＝＝＝.

答案：

13．若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．若甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的________条件．

解析：数列{an}是等比数列，则＝q，可得＝q2，则{an}为“等方比数列”．当{an}为“等方比数列”时，则＝p(p为正常数，n∈N*)，当n≥1时＝±，所以此数列{an}并不一定是等比数列．

答案：必要不充分

14．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满足bn<的最小自然数n是________．

解析：{an}为等差数列，a1＝1，a7＝4,6d＝3，d＝.∴an＝，{bn}为等比数列，b2＝2，b3＝，q＝.∴bn＝6×()n－1，bn<＝，∴81<，即3n－2>81＝34.∴n>6，从而可得nmin＝7.答案：7

15．(2009年高考陕西卷)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列．(2)求{an}的通项公式．

解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1，

∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－)n－1，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋(－)＋…＋(－)n－2＝1＋＝1＋[1－(－)n－1]＝－(－)n－1

当n＝1时，－(－)1－1＝1＝a1，∴an＝－(－)n－1(n∈N*)．

16．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，

又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝.

(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.

17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

解：(1)依题意得解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)由已知得，bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)＝＋n＝2n＋2－4＋n.

18．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值．

解：(1)∵S1＝(a1－1)，∴a1＝a，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

＝a，即{an}是等比数列．∴an＝a·an－1＝an.(2)由(1)知，bn＝＋1＝，若{bn}为等比数列，

则有b22＝b1b3，而b1＝3，b2＝，故()2＝3·，解得a＝，

再将a＝代入得bn＝3n成立，所以a＝.

b3＝，