优化模型数学建模实验报告

科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 优化模型 专业班级 11数学与应用数学（师范） 姓 名 学 号 一、问题提出 问题一、 某厂根据产品成本和销售情况，在产销平衡条件下（产品的产量等于市场的销售量），如何确定商品的最优价格，使获得利润最大。根据PPT课件中的假设条件等说明，请同学们建立模型并求解。 二、问题分析 三、模型假设 1）产量等于销量（产销平衡），记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数。 5)进一步设 x(p)abp,a,b0 四、模型建立 利润是销售收入与生产支出之差，设每件产品售价为P，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为 IpxCqx(1) (2) 在市场竞争的情况下售量x依赖于价格p，记作 xf(p)(3) f称需求函数，是p的减函数。于是不论成本q是否与x相关，收入I和支出C都是价格p的函数。 模型建立 利润U可以表示为U(p)I(p)C(p)(4) 五、模型求解 要使利润U（p）达到最大的最优价格p*可以由 得到，即有： dU|pp*0 dpdIdC|pp*|pp*dpdp(5) 再由 f(p)abp,a,b0(6) 并且每件产品的成本q与产量x无关，将（1）~（3）公式代入（4）式可得 U(p)(pq)(abp)(7) 最后用微分法容易求出使 U(P) 最大的最优价格p*为 p*qa22b(8) 一、 问题提出 问题二、 某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌，试讨论产销平衡下，如何确定各自的产量，从而获得最大利润。 利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格p1固然会随其销量x1的增长而降低；同时乙品牌销量x2的增长也会使甲的价格有稍微下降，根据该厂的实际情况进行大量调查，价格与销量呈现线性关系，即 p1＝300－2.35x1－0.09x2 乙的价格p2遵循同样的规律，有 p2＝480－0.14x1－2.98x2 甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有 q1＝38e q2＝94e0.023x1＋116 ＋145 乙品牌的成本q2遵循同样的规律，有 0.018x2试确定甲、乙两种品牌的产量，使公司获得的总利润最大。 二、问题分析 三、模型假设 1．价格与销量成线性关系 利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本.按照市场规律， 甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也 会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系， 即： p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ，b1，a11，a12 > 0，且a11 > a12； 同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 > 0，且a22 > a21 . 2．成本与产量成负指数关系 甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为 负指数关系,即: q1r1e同理， 1x1c1,r1,1,c10 r2,2,c20 q2r2e2x2c2, 四、模型建立 由题设可知，甲品牌产品单件获利为p1－q1，乙品牌产品单件获利为p2－q2，由产销平衡原理，所有产品的销量即为产量，则甲、乙两种产品总获利为 z(x1,x2)＝（p1－q1）x1＋（p2－q2）x2 五、模型求解 容易看出，原问题实际上转化为求二元函数z(x1,x2)的极大值，为用MATLAB优化工具箱中的fminunc求解，需将其转化为求函数y(x1,x2)＝－z(x1,x2)的最小值。 为确定初始值，先忽略成本，并令p1价格中x2项的较小系数0.09和p2中x1项较小的系数0.14等于零（因为它们对价格的作用比较微弱，暂时可忽略不计），则确定初值问题转化为求 z(x1,x2)＝（300－2.35x1）x1＋（480－2.98x2）x2 的极值，很容易可以求得x1＝300480＝63.83，x2＝＝80.54，我们用它作为原问题22.3522.98的初始解。 首先建立M–文件，文件名取函数名fun1.m function y = fun1( x ) p1 = 300 - 2.35 * x( 1 ) - 0.09 * x( 2 ); q1 = 38 * exp( - 0.023 * x( 1 ) ) + 116; p2 = 480 - 0.14 * x( 1 ) - 2.98 * x( 2 ); q2 = 94 * exp( - 0.018 * x( 2 ) )+145; y = - ( p1 - q1 ) * x( 1 ) - ( p2 - q2 ) * x( 2 ) 输入命令： >> x0=[63.83; 80.54]; >> [x, fval]=fminunc( ' fun1 ', x0); 可得到结果： x = 35.8482 54.7380 fval = -1.0015e+004 截图显示为: 所以 甲种品牌产量为35.8482，乙种品牌产量为54.7380，最大利润和为1.0015e+004.