高思奥数导引小学五年级含详解答案第10讲：几何计数

内容概述

合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题

兴趣篇

1.如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？

2.小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：

（1）一共有多少个巧克力棒？

（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有小箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

3.如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？

4.如图10-4和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

5.如图10-6，在一个44的方格表中，共有多少个正方形？

6.如图10-7，数一数图有多少线线段？多少个矩形？

7.如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

8.如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？

9如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？

10.如图10-11，在23的长方形中，每个小正方形的面积都1。请问：A、B、C、D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？

拓展篇

1.如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？

2.如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。

3.如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？

4.如图10-15，数一数，图有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

EDA

5.如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形。用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形。数一数，图有多少个菱形？

FCB

6.如图10-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形。请问： （1）从中可以数出多个长方形？

（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

7.如图10-18，数一数，图有多少个长方形？

8.如图10-19，数一数，图有多少个平行四边形？

CDEABF

9.如图10-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图有多少个梯形？

10.如图10-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？

11.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？

12.如图10-23，一个23的网格中，每个小正方形的面积都是1。以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？

超越篇

1.图10-24是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？

2.如图10-25，数一数，图有多少个三角形？

3.如图10-26，这是一个48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问： （1）包含有两个“★”的矩形共有多少个？ （2）至少包含一个“★”的矩形有多少个？

4.如图10-27，在图中的33正方形格子中，格线的交点称为格点。例如：A,B,C这3个点都是格点。那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

5.如图10-28，用12个点将圆周12等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？

6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？

7.如图10-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？

8.如图10-31，在33的方格表内，每个小正方形的面积为1。请问： (1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？ (2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？ (3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？

第10讲：几何计数

内容概述

合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题

兴趣篇

1.如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？

【详解】图中一共有C10条线段。长度之和为41322314360厘米。

252.小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：

（1）一共有多少个巧克力棒？

（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有小箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

【详解】（1）一共有30个巧克力棒；（2）由1个三角形组成的有16个三角形，由4个三角

形组成的有7个三角形，由9三角形组成的有3个三角形，由16个三角形组成的三角形有1个。所以总共有1673127个。（3）一共有5个三角形的边用到了这

根巧克力棒，所以剩下的图形中还有27522个三角形。

3.如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？

【详解】只观察包含“*”的各种大小的正三角形。由1个三角形组成的有1个，由4个三角形组成的有4个，由9个三角形组成的有1个。那么总共有1416个。

4.如图10-4和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

【详解】图10-4中不包含中间的线的有5个三角形，加上中间那条线多了7个三角形，所

以一共5712个。图10-5中先观察形如下图1的形状的三角形有5个，总共是再数该形状之间的交叉的三角形有4个，再数下图2的三角形有4个，5420个，

再数它们互相交叉的三角形有4个，所以总共有2044432个。

5.如图10-6，在一个44的方格表中，共有多少个正方形？

【详解】先数面积为1的有16个，再数面积为4的有9个，再数面积为9的有4个，再数面积为16的有1个，总共有1694130个。

6.如图10-7，数一数图有多少线线段？多少个矩形？

230条线段，总共有【详解】线段：水平方向有4C5240条线段，竖直方向有5C4403070条线段。矩形：水平方向选两条线，竖直方向选两条线即可以组成矩形

260个矩形。 共有C52C47.如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

22C560个，三角形的个数为4C5240个，它们的差为20个。 【详解】梯形的个数为C48.如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？

【详解】每条棱上都有两个小立方体共12条棱，一共有21224个，每一个面上除了棱

有4个小立方体，一共有4624个。总共有242448个。

9如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？

3220个，但是有3个点在同【详解】从12个钉子中选择3个钉子组成三角形，一共有C12312个，竖直方向有144个，一条直线上的情况，需要排除，水平方向共有3C4斜着有4个，这样的话总共有2201244200个。

10.如图10-11，在23的长方形中，每个小正方形的面积都1。请问：A、B、C、D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？

【详解】有底为1，高为2的三角形有：

DEA,DEB,EFA,EFB,FGA,FGB;ABD,ABE,ABF,ABG

底为2，高为1的三角形有：DFC,EGC。此外还有BCF,ACG。一共14个。

拓展篇

1.如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？

【详解】先数由1个三角形组成的三角形一共25个，再数由4个三角形组成的大三角形一

共13个，再数由9个三角形组成的大三角形一共6个，再数由16个三角形组成的大三角形一共3个，再数由25个三角形组成的大三角形一共1个。所以一共有

251363148个三角形。

2.如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。

【详解】（1）图中有两个五边形，对于外围的五边形，三角形三个顶点全在外围五边形上的

310个。再看内部的五边形，组成的三角形中其中一个顶点在内部三角形一共有C5

五边形顶点上，另两个顶点在外围五边形上的三角形一共有4520个。还有5个三角形属于有两个顶点在内部五边形上，另一个顶点在外围五边形上。这样一共有（2）包含少的那一条线段的三角形的个数一共有6个，这样的话1020535个。

三角形的总数为35629个。（3）包含新加线段的三角形左边右边各6个，所以

一共有三角形352647个。

3.如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？

【详解】如上题，本题应该有35270个，但是内部五边形中每一条线又与外部五边形连

接着3个三角形，这样的话多出3515个三角形。一共701585个三角形。

4.如图10-15，数一数，图有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

【详解】 诸如像 和 的长方形一共有12个，再算上底下的长方形一共有15个

长方形，但是还有两个长方形如下图长方形ABCD和长方形ABFE。一共17个

EDAFCB

5.如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形。用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形。数一数，图有多少个菱形？

【详解】把这个图扶正了就相当于数一数有多少个正方形，先数一个小正方形组成的，共

16个，再数4个小正方形组成的，共9个，再数9个小正方形组成的，共4个，最后数16个小正方形组成的，共1个。加起来，一共30个。

6.如图10-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形。请问： （1）从中可以数出多个长方形？

（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

【详解】（1）两条水平线和两条竖直的线组成一个长方形，这样的话就从10条竖直的线中

2C52450个。取两条，从5条水平的线中取两条即可，即C10（2）同样的道理，两

条竖直的线应该为黑点左边一条，黑点右边一条；两条水平的线应该为黑点上边一

1111C4C2C3144个含黑点的长方形。 条，黑点下边一条，即C6

7.如图10-18，数一数，图有多少个长方形？

22C690个；右方的阴影中一共有长方形【详解】如图，下方阴影部分中一共有长方形C422C7C3263个。C3218其中右下方32长方形中的长方形被重复计算了，共有C4个。所以图中一共包含长方形906318135个。

8.如图10-19，数一数，图有多少个平行四边形？

【详解】首先，如下图，平行四边形ABCD、平行四边形ABDE、平行四边形AFBD是三个方

向上的平行四边形，又因为整个图形是一个等边三角形，由图形的对称性，知道三个方向上的平行四边形个数是相等的。

接下来，不妨取与平行四边形ABCD方向相同的所有平行四边形为研究对象，分别延长其四条边，观察到各边的延长线都与大等边三角形的底边交于一点。可以看出，底边上的4个点可以唯一地确定一个平行四边形。同时，当平行四边形最靠下的一个点落在等边三角形的底边上时，平行四边形四条边的延长线与三角形底边只有3个交点，也即底边上的3个点同样对应一个平行四边形。因此图中与ABCD方向相同的平行四边形总数为：

因此图中平行四边形总数为15×3=45（个） 另一方面，我们也可以这样考虑：

如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从5个变成6个。同时，所有与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于4个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形是一一对应的。因此图中与ABCD方向相同的平行四边形总数为：错误!未找到引用源。（个）

CDEABF（个）

9.如图10-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图有多少个梯形？

【详解】先把该图形分成左右两个完全一样的部分，任意拿出一部分数一数里面有多少个梯

形，我们发现是18个。总共有18236个。但是中间还有20个梯形同时覆盖了左右两个部分。这样的话总共有362056个。

10.如图10-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？

【详解】除了图中的9个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过尝试不难看出，斜

三角形只有下列四种形式：

容易数出，第一种有4个，第二种有2个，第三种有4个，第四种有2个。综上，总共9424221个。

11.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？

【详解】五角星把圆分成五段弧，所有的曲边形按照圆的段数分，一段弧组成的曲边形有

310个，5210个，两段弧组成的曲边形有C5210个，三段弧组成的曲边形有C5

四段弧组成的曲边形有C545个，五段弧组成的曲边形有1个（圆）。综上，总共

1035136个。

12.如图10-23，一个23的网格中，每个小正方形的面积都是1。以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？

【详解】如下第一个图，水平方向底为2，竖直方向高为1的三角形一共有4832个；如

下第二个图，水平方向高为1，竖直方向底为2的三角形一共有3618个；我们还漏了几个，如下第三个图水平方向底为1，竖直方向高为2而且两条边不在格点图上的三角形有2612个；如下第四个图竖直方向底为1，水平方向高为2而且两条边不在格点图上的三角形有248个。总共321812870个。

超越篇

1.图10-24是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？

【详解】先计算腰的长为1的等腰三角形，一个菱形中有4个，一共有9个菱形，但是重复

计算了9个，一共49927个。再计算腰长为菱形长对角线的等腰三角形，如下图1，一共有5个；再计算腰长为2的等腰三角形，一共有3个，再计算腰长为3

的等腰三角形，一共有1个。我们还漏了三个，如下图2。总共27531339个。

2.如图10-25，数一数，图有多少个三角形？

【详解】如下图1，先数出一共有21个三角形；如下图2，再加1条线，多增加21个三角

形；如下图3，再加1条线，多增加12个三角形；最后再把最后一条线加上，又多了13个三角形。则总共2121121367个三角形。

3.如图10-26，这是一个48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问： （1）包含有两个“★”的矩形共有多少个？ （2）至少包含一个“★”的矩形有多少个？

1111C5C2C130个。 【详解】（1）按照长方形四条边的选取来计算有C3

1111C6C4C172个，包含右边的★的长方形有 （2）包含左边的★的长方形有C31111C4C5C2C3120个。所以至少包含一个“★”的矩形有1207230162个。

4.如图10-27，在图中的33正方形格子中，格线的交点称为格点。例如：A,B,C这3个点

都是格点。那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

【详解】能覆盖阴影部分三角形的有三种：

共有4个 共有8个 共有4个

共有48416个。

5.如图10-28，用12个点将圆周12等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？ 【详解】分两类考虑，首先，如下左图，连接相邻两点作为最短线段作出平行线。

这样的话共有6条平行线，从中选2条就可以组成梯形，但是其中有3个矩形。这样作为一组的话一个圆上共有12个点，每两个相邻点就组成一组这样的平行线，

2共有6组（对称的不算），这样的话，共有C63672个；

其次，如上右图，两点相连（中间隔1点）作为最短线段作出平行线。

2跟上一类同样的接法，共有C52648个。而如果两点相连（中间隔2）作为

最短线段作出平行线就与第一类情况相同。同样的道理，隔3个点，隔4个点也是重复情况。

综上，总共有7248120个。

6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？

【详解】（1）包含90°的弧的有：

，，，，，，

，

（2）包含180°的弧的有：

各有4个，总共4832个。

，，，

各4个，共16个

，

（3）包含270°的弧的有：

，各2个，共6个。

，

（4）包含360°的弧的有1个。 所以一共321668163个。

各4个，共8个。

7.如图10-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？ 【详解】

如左图，这样的等腰三角形有9436个；

如左图，这样的等腰三角形有24个；

如左图，这样的等腰三角形有16个；

如左图，这样的等腰三角形有8个；

如左图，这样的等腰三角形有16个；

如左图，这样的等腰三角形有4个；

如左图，这样的等腰三角形有16个；

如左图，这样的等腰三角形有16个；

如左图，这样的等腰三角形有4个；

如左图，这样的等腰三角形有4个；

如左图，这样的等腰三角形有4个；

这样的话，总共有36241681641616444148个。

8.如图10-31，在33的方格表内，每个小正方形的面积为1。请问： (1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？ (2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？ (3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？

【详解】（1）如下图，诸如此类的直角三角形共有4个

（2）底为2（水平），高为3（竖直）的三角形16个； 底为3（水平），高为2（竖直）的三角形16个； 底为2（竖直），高为3（水平）的三角形16个； 底为3（竖直），高为2（水平）的三角形16个； 重复计算16个，所以总共48个。

（3）有至少一条边在表格上：

底为3（水平），高为1（竖直）的三角形24个；

底为1（水平），高为3（竖直）的三角形24个； 底为3（竖直），高为1（水平）的三角形24个； 底为1（竖直），高为3（水平）的三角形24个； 重复计算24个，所以总共72个。

如图，三条边都不在表格上：

每个22正方形中有4个这样的三角形，共有16个。 或者如图还有一种情况：

这样的情况一共有4个三角形。

所以总共7216492个。