2021年青海省中考数学试卷和答案

2021年青海省中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．（3分）若a＝﹣2，则实数a在数轴上对应的点的位置是（ ） A．B．C．D．

2．（3分）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y（ ） A．x+y

B．10xy

C．10（x+y） D．10x+y

+（2a+3b

3．（3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ） A．8

B．6或8

C．7

D．7或8

4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BC＝5，对角线BD平分∠ABC（ ）

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A．8

B．7.5

C．15

D．无法确定

6．（3分）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分 7．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）

A．

πm2

B．

πm2

C．

πm2

D．

πm2

8．（3分）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，于是奋力直追，最后同

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时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

9．（2分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 ．

10．（2分）5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，我国人口10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示为 ． 11（．2分）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝ ． 12．（2分）已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 ．

13．（2分）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 ．

14．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥DB，∠1＝50°，则∠2的度数是 ．

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15．（2分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．

16．（2分）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm ．

17．（2分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，若△DEF的周长为10 ．

18．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，垂足为E，且AE＝3cm，则AD与BC之间的距离为 ．

19．（2分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM

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＝2，则DN+MN的最小值是 ．

20．（2分）观察下列各等式： ①②③…

根据以上规律，请写出第5个等式： ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

21．（7分）先化简，再求值：（a﹣）÷22．（10分）如图，DB是▱ABCD的对角线．

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DC分别于E，O，F，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）． （2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．

，其中a＝

； ； ；

23．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N （1）求证：△BGD∽△DMA；

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（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

24．（10分）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD）1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）（参．考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，

≈1.4）

25．（12分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均

3

4

5

6

7

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用水量（吨） 频数（户数） 频率

0.08

0.40

b

c

0.14

4

a

9

10

7

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．

（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．

（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

（4）市决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率

26．（10分）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，30°，15°等大小的角 操作感知：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF（如图1 ）．

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到线段BN （如图2）．

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猜想论证：

（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状

拓展探究：

（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）

27．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，点A在x轴上，点B在y轴上（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C． （1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集； （3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝

时

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参

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．解析：先把化成假分数，根据a的值即可判断a在数轴上的位置． 参：∵a＝﹣2＝﹣2+（﹣）， ∴只有A选项符合， 故选：A．

2．解析：它的十位数字是x，它表示是10个x，个位数是y，表示y个一，这个两位数是10x+y．

参：一个两位数，它的十位数字是x，这个两位数10x+y． 故选：D． 3．解析：首先根据

+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的

性质列方程组求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 参：∵∴解得：

， ，

+（2a+3b﹣13）2＝0，

当b为底时，三角形的三边长为2，6，3； 当a为底时，三角形的三边长为2，8，3， ∴等腰三角形的周长为7或5． 故选：D．

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4．解析：从左面看该几何体，能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出相应的图形即可． 参：该几何体的左视图如图所示：

故选：C．

5．解析：过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算． 参：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴DE＝DA＝3，

∴△BCD的面积＝×5×3＝3.5． 故选：B．

6．解析：连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．

参：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，如图所示： ∵AB＝16厘米，

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∴AD＝AB＝5（厘米）， ∵OA＝10厘米， ∴OD＝

＝

＝6（厘米），

∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+4＝16（厘米）， ∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， ∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒）， 故选：A．

7．解析：小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 参：大扇形的圆心角是90度，半径是5， 所以面积＝

＝

π（m2）；

小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m， 则面积＝

＝

（m2），

π+

＝

2

则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝故选：B．

）．

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8．解析：乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点的时间相同．

参：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点； B．此函数图象中，S2第5段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，于是奋力直追”不符； C．此函数图象中，符合题意；

D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点． 故选：C．

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 9．解析：将x＝m代入原方程即可求m2+m的值． 参：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝8， 得m2+m﹣6＝7， 即m2+m＝6， 故答案为：3．

10．解析：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，n的值等于原来数的整数位数减1，1亿＝1×108． 参：14.1178亿 ＝14.1178×108 ＝1.41178×106，

故答案为：1.41178×109．

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11．解析：根据同类项的定义，列出关于m，n的方程组，解出m，n，再求和即可．

参：根据同类项的定义得：∴

，

，

∴m+n＝2+8＝3， 故答案为：3．

12．解析：根据第四象限点的特点，2m﹣5＞0，6﹣2m＜0，可得答案．

参：∵A（2m﹣5，4﹣2m）在第四象限， ∴

，

解得m＞3， 故答案为：m＞2．

13．解析：根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．

参：∵反比例函数y＝中，k＝6＞5， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵点A（﹣1，y1）和点B（﹣5，y2）在反比例函数y＝的图象上， ∴y8＜y2， 故答案为y1＜y5．

14．解析：由EF⊥BD，∠1＝50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．

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参：在△DEF中，∠1＝50°， ∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝40°． ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠D＝40°． 故答案为：40°．

15．解析：由于∠AOB为120°，由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一．

参：∵三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合， 而∠AOB为120°，

∴图中阴影部分的面积之和＝（6+4+4）＝5（cm2）． 故答案为4．

16．解析：点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离． 参：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，

∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝3cm， ∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，

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∴半径r＝6.5cm； ②当点在圆外时，如图2，

∵点到圆上的最小距离PB＝7cm，最大距离PA＝9cm， ∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm， ∴半径r＝2.7cm；

故答案为：6.5cm或2.5cm．

17．解析：先根据三角形中位线的性质得：AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，根据周长得：EF+DE+DF＝10，所以2EF+2DE+2DF＝20，即AB+BC+AC＝20．

参：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，CA边的中点， ∴EF、DE，

∴EF＝ABBCAC， ∴AB＝2EF，BC＝2DF， ∵△DEF的周长为10， ∴EF+DE+DF＝10， ∴6EF+2DE+2DF＝20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴△ABC的周长为20． 故答案为：20．

18．解析：设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长．

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参：

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 在△ABD和△BCD中

∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∵AE⊥BD，AE＝3cm， ∴S△ABD＝BD•AE＝

5

），

∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2， 设AD与BC之间的距离为h， ∵BC＝8cm，

∴S四边形ABCD＝BC•h＝4h， ∴4h＝24， 解得h＝4cm， 故答案为：6cm．

19．解析：要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解． 参：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点， ∴连接BN， ∴BN＝ND，

∴DN+MN＝BN+MN，

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连接BM交AC于点P， ∵点 N为AC上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MN＝BP+PM＝BM， BN+MN的最小值为BM的长度， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6， ∴BM＝

＝10，

∴DN+MN的最小值是10． 故答案为：10．

20．解析：观察第一个等式，等号左边根号外面是2，被开方数的分子也是2，分母是22﹣1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；观察第二个等式，等号左边根号外面是3，被开方数的分子也是3，分母是32﹣1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；根据规律写出第5个等式即可．

参：第5个等式，等号左边根号外面是6，分母是42﹣1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根， 故答案为：6

＝

．

三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出必要的文字说明

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证明过程或演算步骤）

21．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，代入a的值，即可求出结果． 参：原式＝＝∵a＝∴

+4，

＝

＝1+

．

＝

，

22．解析：（1）利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，再证明△ODF≌△OBE得到DF＝BE，所以DE＝EB＝BF＝DF，于是可判断四边形DEBF为菱形． 参：（1）如图，DE；

（2）四边形DEBF为菱形． 理由如下：如图， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED，FB＝FD，

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∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠FDB＝∠EBD， 在△ODF和△OBE中，

，

∴△ODF≌△OBE（ASA）， ∴DF＝BE，

∴DE＝EB＝BF＝DF， ∴四边形DEBF为菱形．

23．解析：（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBG＝∠ADM，根据两角相等的两个三角形相似证明；

（2）证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥MN，根据切线的判定定理证明． 【解答】证明：（1）∵MN⊥AC，BG⊥MN， ∴∠BGD＝∠DMA＝90°，

∵以AB为直径的⊙O交BC于点D， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴∠ADM+∠CDM＝90°，

∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG， ∴∠DBG＝∠ADM， ∴△BGD∽△DMA； （2）连接OD．

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∴BO＝OA，BD＝DC， ∵OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 又∵MN⊥AC， ∴OD⊥MN，

∴直线MN是⊙O的切线．

24．解析：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解． 参：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，使得BE＝CM，

∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2， ∴AB＝CD＝1，

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在Rt△ABE中，∠A＝35°， ∴BE＝AB•sin∠A＝7×sin35°≈0.6， ∴AE＝AB•cos∠A＝3×cos35°≈0.8， 在Rt△CDF中，∠D＝45°， ∴CF＝CD•sin∠D＝7×sin45°≈0.7， ∴DF＝CD•cos∠D＝2×cos45°≈0.7， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CM， 又∵BE＝CM，

∴四边形BEMC是平行四边形， ∴BC＝EM，

在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝2.3， ∴EM＝

＝

≈1.5，

答：B与C之间的距离约为1.4米．

25．解析：（1）求出抽查的户数，即可解决问题； （2）由平均数、众数、中位数的定义求解即可；

（3）由总户数乘以月平均用水量不超过5吨的户数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可． 参：（1）抽查的户数为：4÷0.08＝50（户）， ∴a＝50×5.40＝20，b＝9÷50＝0.18，

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故答案为：20，3.18；

（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数＝

＝3.92（吨），

众数是4吨，中位数为故答案为：4.92，6，5； （3）∵4+20+2＝33（户），

∴估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：200×

＝132（户）；

，

（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选到甲， ∴恰好选到甲、丙两户的概率为

＝，乙），丙），丁），甲），丙），

丁），甲），乙），丁），甲），乙），丙）．

26．解析：（1）由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，可求∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，可得∠BMN＝∠BPM＝60°，可得结论； （2）由锐角三角函数可求BP＝BM＝即可求解．

参：（1）△BMP是等边三角形， 理由如下：如图3，连接AN，

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a，由题意可得BC≥BP，

由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，∠ABM＝∠NBM， ∴AN＝BN， ∴AN＝BN＝AB， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠ABN＝60°，

∴∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN， ∴∠BMN＝∠BPM＝60°， ∴△BMP是等边三角形； （2）∵AB＝a，∠ABM＝30°， ∴BM＝

＝

a，

∵△BMP是等边三角形， ∴BP＝BM＝

a，

∵在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP， ∴BC≥BP， ∴b≥

a．

27．解析：（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；

（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；

（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位

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置分三种情况分别计算出P点的坐标即可． 参：（1）当x＝0，y＝0+3＝2， 当y＝0时，x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣4，0），2），

把A（﹣6，0），0），7）代入抛物线解析式， 得解得

， ，

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x6﹣x+2； （2）方法一：ax2+（b﹣7 ）x+c＞2， 即﹣x2﹣7x+2＞2，

当函数y＝﹣x3﹣2x+2＝3时， 解得x＝0或x＝﹣2，

由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，

∴不等式ax4+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣4＜x＜0； 方法二：ax2+（b﹣7 ）x+c＞2， 即﹣x2﹣x+4＞x+2，

观察函数图象可知当﹣2＜x＜6时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+3的函数值，

∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞5的解集为：﹣2＜x＜0； （3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，

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①如图8，当P在AB上方时， 在Rt△OAB中， ∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°，

∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，

在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ＝∴PD＝

， ＝3，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x， ∴PD＝﹣x7﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x7﹣2x， 即﹣x2﹣5x＝1， 解得x＝﹣1，

∴此时P点的坐标为（﹣3，2）， ②如图2，当P点在A点左侧时， 同理①可得PD＝7，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x， ∴PD＝（x+8）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x5+2x， 即x2+3x＝1， 解得x＝±

﹣8，

由图象知此时P点在第三象限， ∴x＝﹣

﹣1，

﹣1，﹣

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∴此时P点的坐标为（﹣），

③如图6，当P点在B点右侧时， 在Rt△OAB中， ∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°，

∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，

在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ＝∴PD＝

， ＝2，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x， ∴PD＝（x+4）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x8+2x， 即x2+6x＝1， 解得x＝±

﹣3，

由图象知此时P点在第一象限， ∴x＝

﹣1，

﹣1，

），

﹣1，

）．

∴此时P点的坐标为（

综上，P点的坐标为（﹣4﹣1，﹣

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第27页（共27页）