专题复习：与线段的中点有关的几何探究性问题下载地址

1.如图，DE是ABC和的中位线,F是DE的中点.CF的延长线交AB于G,求AG：GD的值

A

G

DE F

CB

2.如图,AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EG.求证:AC=BG.

A

EG

DCB

3.如图,点A是ABC和ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180,AB=kAE,AC=kAD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N,探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明.

A

D M

NCB E

4.如图①,P为RtABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB=90,M为AB的中点,操作:以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.探究：(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;

(2)请你利用图②图③选择不同位置的点P按上述方法操作；

1

（3）经历②之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图②或图③加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例予以说明也得分） CCC

P DBBMMAA

BMA E

5.如图1.在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE（不需证明）. (温馨提示:连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF)

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论。

问题二:如图3，在ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60,连接GD,判断AGF的形状并证明.

M

A

N GCAF ODAF

EMNF DB 图1图2

(提示：连接BD取中点为H，构建中位线定理基本图形)

2

ECDBB图3EC6.（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图, ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,再连接BE(或将△ABC绕点D旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求的正的结论集中到同一个三角形中。

（2）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图在△ABC中D是BC边的中点，DE⊥DF ,DE交AB于点E,DF交AC于F,连接EF.

①求证;BE+CF>EF ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的关系,并加以证明。

（3）问题拓展：

如图，在四边形ABDC中∠B+∠C=180°，DB=DC,∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。

ABDCEAEFBDCAEFBCD 3

7．已知:如图1所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接BE,CD,M、N分别是BE、CD的中点,

（1）求证：①BE=CD ②△AMN是等腰三角形。

（2）在图1的基础上，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图

形，请直接写出（1）中点结论是否仍然成立.

C(3)什么条件下△AMN为等边三角形？（直接写出结论）

C

N

N E

D MBAD

BA M图1 E 图2

8.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在的直线交AC所在直线于点F. (1)求证:AF+EF=DF;

(2)若将图1中的△DEB绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的 结论是否仍然成立；

（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图3.你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明此时它们满足的关系，并说明理由.

DBE拖DBBFCAEECFACFAD

4

09山东

9. 如图,已知正方形ABCD中，E是对角线BD的中点，过点E作EF⊥BD,交BC于点F,连接DF,G为DF的中点，连接EG,CG,. （1） 求证：EG=CG.

（2） 将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG,CG.（1）中的结

论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

（3） 将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段。（1）中的结论是否仍然

成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不需要证明）

ADAGDADFEEB图1

GCEBFC图2BC

F图324．（本题满分10分）

解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．„„„„„„1分 同理，在Rt△DEF中， EG= FD． „„„„„„2分 ∴ CG=EG．„„„„„„„3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．„„„„„„„„„„4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．„„„„„„„„„5分 在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN． „„„„„6分

5

在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG．

∴ EG=CG． „„„„„„„„„„„8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， „„„„„„„„4分 在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．„„„„„„„„„5分 ∴ ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴△MFE ≌△CBE．

∴ ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG= MC．

∴ ．„„„„„„„„„„„„8分 （3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．„„10分

6

7分

„„„„10.如图1已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE,垂足为M，AM交BD于点F. （1）求证：OE=OF;

（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE,交EB的延长线于点M，交DB延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”；还成立吗？如果成立，请证明;如果不成立，请说明了理由.

ADADOFBM图1 11

OECFMB图2CE

2009年河北中考图形与变换在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）FGNFHGNHAABMCDEBMCDE

7

12.(10分)在图1，图2中，ABC和DEC都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=900，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点.

(1)如图1，点D,E分别在AC,BC的延长线上，求证：FGH是等腰直角三角形. (2)将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，FGH还是等腰直角三角形吗？若是,给出证明;若不是请说明理由. EFEDF

D

CC HHG G

BABA图2图1

13．［归纳与猜想］ （1）（10分）如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将兰角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． ①如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

⑦若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时。线段FE的延长线与．AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． F N D D（F） C D C C

F N O O O · · · E G

M M A B A B A（G） B（E）

G E

图（1） 图（2） 图（3）

8

14．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60. （1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.

MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改①当点N在线段AD上时（如图2），△P变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

N

A A A D D D E B

图1 A E B

F C

B

E P F C B

E P N F

C

M D F C

图4（备用）

图2

图5（备用）

D

E M

图3

（第25题） A

F C

B

9

14．解:（1）如图1，过点E作EGBC于点G． ··················· 1分

∵E为AB的中点，

A D ∴BE12AB2．

在Rt△EBG中，∠B60，∴∠BEG30． ·············· 2分

E F ∴BG12BE1，EG22123．

B

G

C

即点E到BC的距离为3． ··············································· 3分

图1

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PMEF，EGEF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EPGM，PMEG3．

同理MNAB4． ······································································································· 4分 如图2，过点P作PHMN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC∠B60，∠PMH30． A N

D ∴PH12PM32． E P F H ∴MHPMcos3032．

B

G M C

则NHMNMH43522．

图2

22在Rt△PNH中，PNNH2PH2532 27．∴△PMN的周长=PMPNMN374． ················································· 6分 ②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．

当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．

类似①，MR32． ∴MN2MR3． ········································································································· 7分 ∵△MNC是等边三角形，∴MCMN3．

此时，xEPGMBCBGMC6132． ············································· 8分

A D A D A D N E P F

E P F E F（P） R

N N B

G

M

C

B

G

M

C

B

G

M

C

图3

图4

图5

MPMN时，如图4，这时MCMNMP3．

10

当

此时，xEPGM61353．

当NPNM时，如图5，∠NPM∠PMN30． 则∠PMN120，又∠MNC60， ∴∠PNM∠MNC180．

因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．

．∴MCPMtan301

此时，xEPGM6114．

综上所述，当x2或4或53时，△PMN为等腰三角形． ······························ 10

15．(08河北)（本小题满分10分）

如图14-1，△ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP．

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出

BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，

BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，

请说明理由．

A （E）

E Q B

C （F） P 图14-1

l

B F

C P l

F P B C l

A E A 图14-2

Q 图14-3

11

15．解：（1）ABAP；ABAP． （2）BQAP；BQAP．

证明：①由已知，得EFFP，EFFP，EPF45．

又ACBC，CQPCPQ45．CQCP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BCAC，BCQACP90，CQCP，

Rt△BCQ≌Rt△ACP，BQAP．

②如图3，延长BQ交AP于点M．

Rt△BCQ≌Rt△ACP，12．

在Rt△BCQ中，1390，又34，

241390．

QMA90．BQAP．

（3）成立．

证明：①如图4，EPF45，CPQ45． 又ACBC，CQPCPQ45．CQCP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BCAC，BCQACP90，CQCP，

Rt△BCQ≌Rt△ACP．BQAP．

②如图4，延长QB交AP于点N，则PBNCBQ．

Rt△BCQ≌Rt△ACP，BQCAPC．

在Rt△BCQ中，BQCCBQ90，

APCPBN90．PNB90． QBAP．

12

E

A

2 Q 4 M

3 1 B F

C P l

图3

E A N F P B C l

图4

Q

16．（本小题满分11分）

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

F D D A A D A

F F

B B E C E C G G B C E G 图1 图2 图3

（第25题图）

13



16．解：（1）正确． ··························································· （1分） 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME． （2分）

D A

BMBE．BME45°，AME135°．

F M CF是外角平分线，

DCF45°，

B E C G ECF135°．

AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°， BAECEF．

△AME≌△BCF（ASA）． ···················································································· （5分） AEEF． ················································································································ （6分） （2）正确． ···································································（7分） 证明：在BA的延长线上取一点N． 使ANCE，连接NE． ············································（8分） N F BNBE． D A NPCE45°． 四边形ABCD是正方形， AD∥BE．

B C E G DAEBEA．

NAECEF．

△ANE≌△ECF（ASA）． ··················································································· （10分） AEEF． ·············································································································· （11分）

14

24 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC所在的直线上运动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC交于点Q探究:设点A,P两点间的距离为x.当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有什么大小关系？才想你的结论（不必证明）。（2）当点P在AC的延长线上运动时，（1)的结论是否成立，若成立，请证明。若不成立，请说明理由。（3)当点P在线段AC上运动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。ADP拖BCQ河北省滦南县模拟第24题：一位同学拿两块45°的三角板△MNK,△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边ABD的中点处设AC=BC=a.（1）如图1，两个三角板的重叠部分的面积为△ACM,则重叠部分的面积为——————————；（2）将图1中的△MNK绕点M逆时针旋转45°，得到图2，N拖此时重叠部分的面积为——————————，周长为————-；A（3）如果将△MNK绕点M旋转到不同于图A1，图2的位置，如图3所示，才想出此时重叠部分的面积为多少？并加以证明。-NMMCBCBK(1)(2)K 15

ANMCBK(3)

1 在四边形ABCD中，AB⊥CD,BC⊥CD,AB=BC, ∠ ABC=120度，∠MBN=60度，MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC或它们的延长线于E ,F. (1) 当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时（如图1），请你猜想EF,AE,CF三条线段满足的数量关系，不需证明。（2）当∠MBN绕点B旋转到AE CF时在图2的情况下，请你猜想并写出EF,AE,CF三条线段满足的数量关系，不需证明；（3）当∠MBN绕点B旋转到图3的情况下，线段EF,AE,CF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。变式：若∠MAN=45°绕正方形ABCDD 顶点A旋转，探索线段AM,BM,MN之间的关系。ABECFDM

两正方形两侧红三角形的面积有什么关系？请证明。ADSDCG = 5.00SCBE = 5.00CBGFE

16

09年河北省六套题中（五）第24题如图，△ABC中，∠A=90度，AB=AC,M为BC的中点，一等腰三角板PGH的顶点P在直线BC上运动，且GH∥BC,（1）当P,M重合时ME,MF满足怎样的关系？请证明。（2）当p在线段MC上时，（1）中结论是否仍成立？请证明。（3）当p在BC的延长线上时，上述结论是否成立？请证明。

1已知：两正方形如图线段|BG| = 7.68|DE| = 7.68GHE = 90.00 LHGAEFBMPCBG与DE有什么关系?GFHADBEC17

09年葫芦岛一模:已知：如图所示（1）点K是两正方形顶点AF的中点，连接DK,KE。当点E在CD上运动时，请同学们探索线段DK与KE的关系？（2）当正方形变成菱形时且∠BCD=60°求DK与KE的比。|EK| = 1.81H|DK| = 1.81ADADKKFBBGCGEEFC

已知：三角形ABC为等腰三角形，直线l过点C，分别过点A,B作直线l的垂线，垂足分别为D,E。探究线段AD,BE,DE之间的数量关系。如果直线l绕点C旋转，三者之间又有怎样的关系？BADCEl

18

操作：在△ABC中，AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放置斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC.CB于D,E两点。如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况。探究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图1加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况(即写出△PBE为等腰三)角形时CE的长)；若不能请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且MB=3,和前面一样操作，试问线段MD和MEU1之间有什么数量关系？并结合图3加以证明。AM1APDT1CBE

19

已知：正方形ABCD中,点E是对角线所在直线AC上的一点.作DEF=90度（1）线段DE与EF间的数量关系。（2）AB=4当△AEF为等腰三角形时，求CE的长。|DE| = 3.99|EF| = 3.99FED = 90.00FADEBC

已知：正方形OEFG 的顶点O为正方形ABCD的对角线的交点，AB=2,求两正方形重叠部分的面积。ADGOBCEE拖 20

09年葫芦岛二模：G已知：△ABC中，AB=AC,CD⊥BA交BA延长线BA于点D.一正方形EFGH的一边EH在直线AC上运动，FE交BC于M.过M作MN⊥BA于N, 请你探究线段ME,MN,CD之间的关系。并证明你的结论。FHMECBADN21

09年中国数学教育第九套24题：如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，D为射线BC上的一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题。 (1)如果AB=AC,∠BAC=90 , ①当点D 在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF,BD之间的位置关系为————，数量关系为——————；F②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？为什么？（2）如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C,F重合除外)？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（3）若AC=4倍根2，BC=3在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。OFAEBDC图1xFEAAEBDCBCD图2图3FAEBDC22

1>分别交x轴，y轴于A,B两点，以OA,如图，在平面直角坐标系中，直线 (y=x+bb 0)2OB为边作矩形OACB,D为BC的中点。以M(4,O),N(8,0)为斜边端点作等腰△PMN,点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S. (1)求点P的坐标。（2）当b值由小到大变化时，求s与b的函数关系式。 (3)在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的b值。BCDA PMN

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