高中数学一轮复习 第7讲 正弦定理、余弦定理及其实际应用

1.在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cosB1那么AC等于( )

3 A.6

【答案】 A

22B.26 2C.36 D.46

【解析】 ACABBC2ABBCcosB,代入数据,解得AC=6. 2.在△ABC中BC2B若△ABC的面积为3A.3 【答案】 C

B.1

3则tanC为( ) 23 C.D.332 3得BA=1, 2222由余弦定理得ACABBC2ABBCcosB,

222∴AC3.∴ACBABC.

【解析】 由SABC12BCBAsinB∴△ABC为直角三角形,其中A为直角. ∴tanCABAC3. 323.已知△ABC外接圆的半径为R,且2R(sin2AsinC)(2ab)sinB,那么角C的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】 B

【解析】 根据正弦定理,原式可化为

22ac2R()(2ab)b

2R4R24R222222∴ac(2ab)b.∴abc2ab.

2222∴C=45°.

结合余弦定理可知cosCabc2ab24.若△ABC中,acosA=bcosB,则△ABC一定是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形 【答案】 C

【解析】 由acosA=bcosB,根据正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B. ∴2A=2B或2A+2B=,即A=B或AB.

2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 5.在△ABC中,如果A=60°c4a【答案】 无解

【解析】 ∵csinA=4sin60236则此三角形解的情况是 . 6∴三角形无解.

1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的( )

A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 【答案】 B

【解析】 由已知ACB180406080, 又AC=BC,∴AABC50605010, ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.

2.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC120°,则A、C两地的距离为( )

A.10 km C.105 km 【答案】 D

222B.3 km D.107 km

【解析】 利用余弦定理ACABBC2ABBCcos120°

10220221020(1)

2=700,

∴AC107(km).

3.下列判断中正确的是( )

A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解 【答案】 B

【解析】 A:∵a=bsinA,∴有一解; B:∵A>90°,a>b,∴有一解; C:∵ab>csinB,∴有两解.

4.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2a2bab则△ABC是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 【答案】 A

222【解析】 ∵2c2a2bab∴abc1ab.

22222222b2c2a10. ∴cosC2ab4则△ABC是钝角三角形.故选A.

5.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是…… ( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【答案】 B

【解析】 方法一:由正、余弦定理得2acbac(R为△ABC外接圆半径),整理

222ac22R2R得ab∴a=b.

∴△ABC一定是等腰三角形.

方法二:∵sinC=sin[-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB,

∴由已知得sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0.

又AB(,),∴A-B=0,即A=B. ∴△ABC为等腰三角形. 6.满足A=45°cA.4

【答案】 A

226a2的△ABC的个数记为m,则am的值为( )

B.2

C.1

D.不确定

ac sinAsinC6223. 得sinCcsinAa22【解析】 由正弦定理∵c>a,∴C>A=45°.

∴C=60°或120.

∴满足条件的三角形有2个,即m=2.∴a4.

27.已知△ABC三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,且面积SABC1(bm4c2a2)则角A

等于( ) A.45°

【答案】 A

B.30° C.120° D.15°

222【解析】 由SABC1(bca)1bcsinA,

42c2a2bcosA, 得sinA2bc∴A=45°.

28.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°cA.a>b B.aD.a与b的大小关系不能确定 【答案】 A

2222a则( )

【解析】 在△ABC中,由余弦定理得cab2abcos120°=将c2a2b2ab

2a代入上式,得2a2a2b2ab从而a2b2ab,

222∴abab0.∴ab.∴a>b.

9.在直径为30 m的圆形广场上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为 m.

【答案】 53 【解析】 轴截面如图,则光源高度h1553(m). tan60

10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3bc)cosA=acosC,则cosA= . 【答案】 3 32c2a22b2c2baa即【解析】 由(3bc)cosA=acosC,得(3bc)2bc2abb2c2a23

2bc33.

由余弦定理,得cosA311.如图,有一扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设AOP求△POC面积的最大值及此时的值.

【解】 因为CP∥OB,所以CPOPOB60° 所以OCP120°. 在△POC中,由正弦定理得

OPCP即2CP sinPCOsinsin120sin所以CP4sin.

3OC2所以OC4sin(60°). 又sin(60)sin1203因此△POC的面积为

S()1CPOCsin120

214sin4sin(60°)3

22334sinsin(60°)4sin(3cos1sin)

22332[cos(260°)1](060).

233.

所以当30°时S()取得最大值为312.在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,(1)若△ABC的面积等于3求a,b; (2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.

【解】 (1)由余弦定理及已知条件,得ab又因为△ABC的面积等于3 所以1absinC3得ab=4.

22C.

3ab=4,

2a2b2ab4联立方程组 

ab4解得a=2,b=2.

(2)由正弦定理,sinB=2sinA化为b=2a,

a2b2ab4联立方程组 

b2a23b43. 解得a3323.

所以△ABC的面积S1absinC23213.已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,且2cosAcosA=0.

2(1)求角A的值;

(2)若a23bc4求△ABC的面积.

2【解】 (1)由2cosAcosA=0,得1+cosA+cosA=0,

2即cosA1.

2∵角A为△ABC的内角,∴A2.

322222(2)由余弦定理得abc2bccosAA2则a(bc)bc.

32又a23bc4有124bc则bc=4.

故SABC1bcsinA23.

14.如图,矩形ABCD是机器人踢球的场地,AB=170 cm,AD=80 cm,机器人先从AD中点E进入场地到点F处,EF=40 cmEFAD.场地内有一小球从点B向点A运动,机器人从点F出发去截小球.现机器人和小球同时出发,它们均做匀速直线运动,并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则机器人最快可在何处截住小球?

【解法一】 设该机器人最快可在点G处截住小球,点G在线段AB上.连接FG,

设FG=x cm.根据题意,得=2x cm. 则AG=AB-=(170-2x) cm.

连接AF.在△AEF中,EF=AE=40 cmEFAD 所以EAF45°AF402 cm. 于是FAG45°.

在△AFG中,由余弦定理,得FGAFAG2AFAGcosFAG.

222所以x(402)(1702x)2402(1702x)cos45°.

222解得x150x2370.

3所以AG=170-2x=70 cm,或AG230 cm(不合题意,舍去).

3答:该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球.

【解法二】 设该机器人最快可在点G处截住小球,点G在线段AB上.连接FG, 设FG=x cm.根据题意,得=2x cm. 过点F作FHAB垂足为H.

因为AE=EF=40 cmEFADA90°,所以四边形AHFE是正方形. 则FH=40 cm,GH=AB-AH-=(130-2x) cm.

在Rt△FHG中,由勾股定理,得FGFHGH. 所以x40(1302x). 解得x150x2370.

2222223所以AG=170-2x=70 cm,或AG230 cm(不合题意,舍去).

3答:该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球.