2016年山东省潍坊市中考数学试卷【答案加解析】

2016年山东省潍坊市中考数学试卷

一.选择题：

1.（2016•潍坊）计算：20•2﹣3=（ ） A. ﹣

B. C. D. 8

【答案】B

【考点】零指数幂，负整数指数幂

0﹣3

【解析】【解答】解：2•2=1×

= ．

故选：B．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质和零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．

2. （2016•潍坊）下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.（2016•潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形． 故选：C．

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【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．本题考查的是简单几何体的三视图，掌握主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形是解题的关键．

4.（2016•潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ） A. 1.2×1011 B. 1.3×1011 C. 1.26×1011 D. 0.13×1012 【答案】B

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

11

【解析】【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×10 ．

故选B．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；

n

当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形

n

式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+

A. ﹣2a+b B. 2a﹣b C. ﹣b D. b 【答案】A

【考点】实数与数轴，二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+ =﹣a﹣（a﹣b） =﹣2a+b． 故选：A．

【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键． 6.（2016•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣

的结果是（ ）

x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B

【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x﹣ ﹣4sinα=2﹣4sinα=0，解得：sinα= ∵α为锐角， ∴α=30°． 故选B．

【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=

，再由α为锐角，即可得出结论．本

，

2

x+sinα=0有两个相等的实数根， ∴△=

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题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα= ．本题属于基础题，难度不

大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 7.（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【考点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如右图，

连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线， 所以OP=

AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧

上，那么中点P下落的路线是一段弧线． 故选D．

【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=

AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心

的圆弧上．本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

8.（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ） A. a2﹣1 B. a2+a C. a2+a﹣2 D. （a+2）2﹣2（a+2）+1 【答案】C

【考点】因式分解的意义 【解析】【解答】解：∵a﹣1=（a+1）（a﹣1）， a2+a=a（a+1），

a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），

222

（a+2）﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）=（a+1） ，

2

∴结果中不含有因式a+1的是选项C； 故选：C．

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【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．

9.（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）

A. 10 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】D

【考点】坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质 【解析】【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．

∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA=8，

∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°， ∴四边形OAMH是矩形， ∴AM=OH， ∵MH⊥BC， ∴HC=HB=6， ∴OH=AM=10， 在RT△AOM中，OM= 故选D．

【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 10.（2016•潍坊）若关于x的方程 A. m＜

B. m＜

且m≠

+

=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）

D. m＞﹣

且m≠﹣

=

=2

．

C. m＞﹣

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【答案】B 【考点】分式方程的解

【解析】【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9， 解得：x= ∴﹣2m+9＞0， 即m＜

，当x=3时，x=

=3，解得：m=

，故m的取值范围是：m＜

且m≠

．

，∵关于x的方程

=3的解为正数，

故选：B．

【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 11.（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2

，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则

图中阴影部分的面积是（ ）

A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣

【答案】A

【考点】含30度角的直角三角形，扇形面积的计算 【解析】【解答】解：如图连接OD、CD． ∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=30°，

∴∠ACD=90°﹣∠A=60°， ∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形， ∵BC是切线． ∴∠ACB=90°，∵BC=2

，∴AB=4

，AC=6，

∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） =

×6×2

﹣

×3×

﹣（

﹣

×32）=

﹣

π．

故选A．

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【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可解决问题．本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．

12.（2016•潍坊）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）

A. x≥11 B. 11≤x＜23 C. 11＜x≤23 D. x≤23 【答案】C

【考点】一元一次不等式组的应用 【解析】【解答】解：由题意得，

，

解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11，

所以，x的取值范围是11＜x≤23． 故选C．

【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解 即可．本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．

二.填空题：

13.（2016•潍坊）计算：

（

+

）=________．

【答案】12

【考点】二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：原式= =

×4

•（

+3

）

=12． 故答案为12．

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【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．本题考查了二次根式的计算：

先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 14.（2016•潍坊）若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=________． 【答案】

【考点】同类项、合并同类项

2nm4﹣nn﹣1

【解析】【解答】解：∵3xy与xy是同类项，∴

，解得： 则m+n= + =

．故答案为： ．

【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．

15.（2016•潍坊）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 80 92 测试成绩（分数） 70 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是________分．

【答案】77.4 【考点】加权平均数

【解析】【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× 故答案为：77.4．

【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法． 16.（2016•潍坊）已知反比例函数y= 值范围是________．

【答案】﹣3＜x＜﹣1

【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵反比例函数y= ∴k=3×（﹣1）=﹣3， ∴反比例函数的解析式为y=

．∵反比例函数y=

中k=﹣3，

（k≠0）的图象经过（3，﹣1），

（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取

+80×

+92×

=77.4（分），

∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增． 当y=1时，x=

=﹣3；当y=3时，x=

=﹣1．

∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．

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故答案为：﹣3＜x＜﹣1．

【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论．本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，再根据反比例函数的性质找出去增减性是关键．

17.（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________． 【答案】

【考点】轴对称-最短路线问题，解直角三角形 【解析】【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，

则MN′的长度等于PM+PN的最小值，

即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值， ∵∠ON′M=90°，OM=4， ∴MN′=OM•sin60°=2

，∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2

．

【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．

18.y=x﹣1与x轴交于点A1 ， 如图所示依次作正方形A1B1C1O、（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1 ， 使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是________．

【答案】（2

n﹣1

， 2n﹣1）

【考点】正方形的性质，探索图形规律，一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1 ，

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∴A1点坐标（1，0）， ∵四边形A1B1C1O是正方形， ∴B1坐标（1，1）， ∵C1A2∥x轴， ∴A2坐标（2，1）， ∵四边形A2B2C2C1是正方形， ∴B2坐标（2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3坐标（4，3）， ∵四边形A3B3C3C2是正方形， ∴B3（4，7），

∵B1（20 ， 21﹣1），B2（21 ， 22﹣1），B3（22 ， 23﹣1），…， ∴Bn坐标（2n﹣1 ， 2n﹣1）．

n1n

故答案为（2﹣ ， 2﹣1）．

【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．本题考查一次函数图象上点的特征，正方形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三.解答题：

19.（2016•潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 【答案】解：设方程的另一根为t． 依题意得：3×（ 解得m=10． 又

t=﹣

，

2）+

，求另一个根及m的值．

m﹣8=0，

所以t=﹣4．

综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10 【考点】根与系数的关系 【解析】【分析】由于x=

是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关

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系来求方程的另一根．此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值．

20.（2016•潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩n（分） 评定等级 频数 90≤n≤100 80≤n＜90 70≤n＜80 n＜70 A B C D 2 15 6 根据以上信息解答下列问题：

(1)求m的值；

(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）

(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率． 【答案】（1）解：∵C等级频数为15，占60%， ∴m=15÷60%=25

（2）解：∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，

∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： 225 ×360°=28.8°=28°48′

（3）解：评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况， ∴其中至少有一家是A等级的概率为： 1012 = 56 【考点】频数（率）分布表，扇形统计图，列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

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21.（2016•潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE，过点D作

DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

(1)四边形EBFD是矩形； (2)DG=BE．

【答案】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°，

∴四边形EBFD是矩形．

（2）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴ ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG．

【考点】矩形的判定，正方形的性质，圆周角定理

【解析】【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质

的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．此题主要考查了正

的度数是90°，

方形的性质以及圆周角定理和矩形的判定等知识，正确应用正方形的性质是解题关键．

22.（2016•潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

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【答案】解： 延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，CF= CD2−DF2 =2 3 ， 由题意得∠E=30°， ∴EF= DFtanE =2 3 ， ∴BE=BC+CF+EF=6+4 3 ，

∴AB=BE×tanE=（6+4 3 ）× 33 =（2 3 +4）米，

答：电线杆的高度为（2 3 +4）米 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定答即可．本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.（2016•潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．

(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）

(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【答案】（1）解：由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100， 由50x﹣1100＞0， 解得x＞22， 又∵x是5的倍数，

∴每辆车的日租金至少应为25元 （2）解：设每辆车的净收入为y元， 当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100， ∵y1随x的增大而增大，

∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900； 当x＞100时，

y2=（50﹣ x−1005 ）x﹣1100 =﹣ 15 x2+70x﹣1100

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=﹣ 15 （x﹣175）2+5025， 当x=175时，y2的最大值为5025， 5025＞3900，

故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元 【考点】二次函数的应用，根据实际问题列一次函数表达式

【解析】【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，解决问题的关键是弄清题意，分清收费方式．

24.（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点

F．

(1)如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= 13 AC；

(2)如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

【答案】（1）解：证明：如图1 ，

连接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴AE=EB， ∵AB∥DC，

∴ AMMC=AEDC = 12 ， 同理， CNAN = 12 ， ∴MN= 13 AC；

（2）解：解：∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°， ∴∠EDF=60°，

当∠EDF顺时针旋转时，

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由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°， DE=DF= 3 ，∠DEG=∠DFP=90°， 在△DEG和△DFP中，

{∠GDE=∠PDF∠DEG=∠DFPDE=DF ， ∴△DEG≌△DFP， ∴DG=DP，

∴△DGP为等边三角形， ∴△DGP的面积= 34 DG2=3 3 ， 解得，DG=2 3 ，

则cos∠EDG= DEDG = 12 ， ∴∠EDG=60°，

∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 3 ，

同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3 3 ，

综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 3 ． 【考点】菱形的性质，旋转的性质

【解析】【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；

（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的关键． 25.（2016•潍坊）如图，已知抛物线y=

x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，

10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴

，

∴ ，

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∴抛物线的解析式为y=

x2+2x+1

（2）解：∵AC∥x轴，A（0，1） ∴

x2+2x+1=1，

∴x1=6，x2=0，

∴点C的坐标（﹣6，1）， ∵点A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1， 设点P（m，

m2+2m+1）

∴E（m，﹣m+1） ∴PE=﹣m+1﹣（ ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S四边形AECP =S△AEC+S△APC = = = =

AC×EF+

AC×PF

m2+2m+1）=﹣

m2﹣3m，

AC×（EF+PF） AC×PE ×6×（﹣

m2﹣3m）

=﹣m2﹣9m =﹣（m+

2）+

，

∵﹣6＜m＜0 ∴当m=﹣ 此时点P（﹣ （3）解：∵y=

时，四边形AECP的面积的最大值是 ，﹣

）．

2

（x+3）﹣2，

，

x2+2x+1=

∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的Q，

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设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3

∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， ∴

，

∴ ∴t=﹣4，

，

∴Q（﹣4，1）

②当△CQP∽△ABC时， ∴

，

∴ ∴t=3，

，

∴Q（3，1）． 【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P（m，

m2+2m+1），表示出PE=﹣

m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=

AC×PE，

建立函数关系式，求出极值即可；

（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．

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