第七章 立体几何 7.6 空间向量及运算练习 理
[A组·基础达标练]
1．[2016·潍坊月考]
→
如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉3＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐
3标为( )
→
A．(1,1,1)
1B.1，1，
2
3
C.1，1，
2
D．(1,1,2)
答案 A
1
解析 设P(0,0，z)，
依题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，
则Ez1，1，
2于是DP→＝(0,0，z)，AE→
＝z－1，1，
2，
z2
cos〈DP→，AE→
DP→〉＝
·AE→
＝2
＝3. |DP→||AE→
||z|·
z2
4
＋23解得z＝±2，
由题图知z＝2，故E(1,1,1)．
2．[2015·青岛一模]已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
6,2)，则下列结2
答案 C
解析 ∵c＝2a，∴a∥c
又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝0，故a⊥b，故选C.
3．[2016·银川质检]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
1
A．2，
211B．－，
32
C．－3,2 D．2,2
答案 A
解析
λ＋1＝2
2λ∵a∥b可得6
2μ－1＝0
λ＝2，
1解得μ＝2
λ＝－3，
1或μ＝2
.
3
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A.62 B.6377
C. D.6577
答案 D
解析 由题意存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)，
7＝2x－y，
由此得方程组5＝－x＋4y，
λ＝3x－2y.
解得x＝337，y＝17993465
7，所以λ＝7－7＝7
. 5．[2015·北京东城一模]
4
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|PC→
|等于( A．62 B．6
C．12 D．144
答案 C
解析 ∵PC→＝PA→＋AB→＋BC→
∴PC→2＝PA→2＋AB→2＋BC→
2＋2AB→·BC→
PC→
2＝36＋36＋36＋2×36cos60°
∴|PC→
|＝12.
)
5
1
6．[2016·福州质检]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝
2
→
MC1，N为B1B的中点，则|MN|为( )
→→
A.
216
a B.
66
a
C.
156
a D.
153
a
答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，
aNa，a，.
2
设M(x，y，z)．
6
∵点M在ACAM→＝1→
1上且2
MC1，
∴(x－a，y，z)＝1
2
(－x，a－y，a－z)
∴x＝2a，y＝a，za33＝3
.
∴M2aaa，3，3，
3
∴|MN→
2a－
3a|＝
2＋a－a2＋a－a2323 ＝
216
a.故选A.
7．[2015·广东一模]若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－则λ＝________.
答案 －2或2
55
1,2)且a与b的夹角的余弦值为8
9，7
8a·b2－λ＋4解析 ＝＝ 29|a||b|5＋λ·9
解得λ＝－2或.
55
2
8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.
答案 11
解析 根据共面向量定理设AP＝λAB＋μAC，
→→→
即(x－4，－2,0)＝λ(－2,2，－2)＋μ(－1,6，－8)，
x－4＝－2λ－μ，由此得－2＝2λ＋6μ，
0＝－2λ－8μ.
解得λ＝－4，μ＝1.
所以 x＝4＋8－1＝11.
9．[2015·新乡一模]在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
8
答案 2
解析 AB＝(6，－2，－3)，
→
AC＝(x－4,3，－6)，
→→
由题意可知AB·AC＝0.
→
|AB|＝|AC|,6(x－4)－6＋18＝0
→→
可解得x＝2.
10．已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD－A′B′C′D′.设M是底面ABCD的中心，
N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，
试求α，β，γ之值．
→→→→
解 MN＝MB＋BN
→→→
3→＝DB＋BC′ 24
1→
9
＝12(DA→＋AB→)＋34
(BC→＋CC→′) ＝1
2(－AD→＋AB→)＋3→→4
(AD＋AA′) ＝1→
12AB＋4AD→＋3→4
AA′，
所以α＝12，β＝14，γ＝34
. [B组·能力提升练]
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( A．－1
B.4
3
)
10
5C. 37D. 5
答案 D
解析 由题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，即
7
4k－5＋(2－k)×(－1)＝0，解得k＝，故选D.
5
2．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
答案 B
解析 如图所示，在图(1)中，
11
易知AE＝CF＝63，BE＝EF＝FD＝3
3
.
在图(2)中，设AE→
＝a，→
EF＝b，FC→
＝c，
则〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，设〈a，c〉＝θ，
则AC→＝a＋b＋c，BD→
＝3b，
故AC→·BD→
＝3b2＝1≠0，
故AC与BD不垂直，A不正确；
AB→＝AE→＋EB→＝a－b，CD→＝CF→＋FD→
＝b－c，
12
→→21
2所以AB·CD＝－a·c－b＝－cosθ－.
33
→→12π
当cosθ＝－，即θ＝时，AB·CD＝0，故B正确；
23
AD＝AE＋ED＝a＋2b，BC＝BF＋FC＝2b＋c，
→→242
所以AD·BC＝a·c＋4b2＝cosθ＋＝(cosθ＋2)，
333
→→→→→→
→→
故无论θ为何值，AD·BC≠0，故C不正确，故选B.
3．已知向量a，b满足的条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与
b的夹角为________．
答案 45°
解析 由于a与2b－a互相垂直，
则a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2＝0，
所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，
13
2
则42cos〈a，b〉－4＝0，则cos〈a，b〉＝，
2
所以a与b的夹角为45°.
4.
已知如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠
C1CB＝∠BCD＝60°.
(1)求证：C1C⊥BD；
(2)当
CDCC1
的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
解 (1)证明：取CD＝a，CB＝b，CC1＝c，
→→→
由已知|a|＝|b|，
14
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD→＝CD→－CB→
＝a－b，
CC→·BD→＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝12|c||a|－1
→→12
|c||b|＝0，∴C1C⊥BD，即C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，
则A→1C⊥C1D，又CA1＝a＋b＋c，C→
1D＝a－c.
∴CA→→
1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.
整理得3a2－|a||c|－2c2＝0.
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，
即|a|＝|c|.
即当
CDa|
CC1＝||c|
＝1时，A1C⊥平面C1BD.
5.
15
如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．
(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
解
16
(1)证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.
因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
所以M、N、Q、R分别为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有
PE→
＝2→
→
2→
3
PM，PF＝3
PN，
PG→
＝2PQ→
，PH→
＝2→
3
3
PR.
连接EG、MQ，因为四边形MNQR是一个平行四边形，
所以MQ→＝MN→＋MR→
＝(PN→－PM→)＋(PR→－PM→
)
＝3→→3→→2(PF－PE)＋2
(PH－PE) ＝32
(→EF＋EH→)． 17
3→3→3→
又因为MQ＝PQ－PM＝PG－PE＝EG，
222
→→→
→→→3→3→→
所以EG＝(EF＋EH)，即EG＝EF＋EH.
22
由共面向量定理知E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)得MQ＝EG，所以MQ∥EG.
2
→
3→
→→
又因为EG⊄平面ABC，所以EG∥平面ABC.
3→3→
因为MN＝PN－PM＝PF－PE＝EF，所以MN∥EF，又因为EF⊄平面ABC，所以
222
→→→
3→
EF∥平面ABC.
由于EG与EF交于E点，所以平面EFGH与平面ABCD是平行平面．
18
