网络名师小班辅导教案-初中数学第13讲轴对称及将军饮马问题学生版

第十三讲 轴对称及“将军饮马”

问题

中考要求

板块 考试要求 A级要求 了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称 B级要求 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴； C级要求 能运用轴对称进行图案设计 轴对称

知识点睛

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称． 如下图，ABC是轴对称图形．

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，ABC与A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C'是对称点．

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轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系： 轴对称图形 两个图形轴对称 区图形的个数 1个图形 2个图形 别 对称轴的条一条或多条 只有1条 数 联系 二者都的关于对称轴对称的 对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线．

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PAPB．

线段垂直平分线的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．

轴对称变换应用时有下面两种情况：

⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；

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⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．

重、难点

重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称

变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目

难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用

例题精讲

板块一、轴对称与轴对称图形的认识 【例 1】 下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

D．

A． B． C．

【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )

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【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A．

B． C． D．

【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )

【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，

并简述你的理由．

答：图形__________；理由是__________．

【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

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【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形

【例 5】 (2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商

标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )

形的个数是( )

【例 6】 (2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图

A．1； B．2； B．3； D．4

【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．

【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )

【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是 ．．．．．

⑵下列图形中对称轴最多的是( )

A．圆 B．正方形 C．等腰三角形

【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：

D．线段

【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：

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【例 9】 求作线段AB的垂直平分线

AB

线的距离相等．

BN

【例10】 已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直

CAM

【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．

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【例12】 (2004河南)如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：①AB∥CD ②

ACBD ③AOOC ④ABBC，其中正确的结论有_______．

DlABOC

【巩固】(2003安徽)如图，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD ②ABBC L是四边形ABCD的对称轴，

③ABBC ④AOOC．其中正确的结论是_________．(•把你认为正确的结论的序号都填上)

lABODC

蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．

【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴

板块二、轴对称的应用

【例14】 如图，ABC和A'B'C'关于直线l对称，且B90，A'B'6cm，求B'的度数和AB的长．

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LA'ABC'CB'

【例15】 如图，有一块三角形田地，ABAC10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量

得ABC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．

【巩固】如图，ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE5厘米，BCE的周长是

18厘米，则BC等于多少厘米？

AEBDC

【例16】 如图，已知AOB40，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．

AD

OCB 【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，BC平行于x轴，点B•的坐

标是(3,1)．

⑴画出ABC关于y轴对称的A'B'C'；

⑵求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积．

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板块三、轴对称在几何最值问题中的应用 【例18】 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运

动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

【例19】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和

最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

ABa 【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且MN10，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．

ABa 【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，

求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

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APOB

【巩固】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．

CMN

【例21】 (2000年全国数赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意

一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求s2t2的值．

AABMBPC

【例22】 已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的

边的距离和最小．

AOMB

【例23】 已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小．

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BAl

【巩固】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|AMBM|最大．

BAl

【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是

AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值．

ADMNBC

【巩固】例题中的条件不变，求DNMN的最小值与最大值．

【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一

个动点，则DNMN的最小值是

ADMBC

【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居

民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA12千米，BB12千

米，且A1B14千米．

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⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？

⑵ 如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？

lB1BAABlB1A1(1)(2)A1

【例26】 (09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，

B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东45方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离；

⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．

北

东

D

C

l

A B

【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是 ．．．．．

家庭作业

【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

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A． B． C． ⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )

D．

⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )

【习题3】如图，ABC中，A90，BD为ABC的平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数．

BE

ADC

【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰RtABC中，CACB3，E的BC上一点，满足BE2，在斜边AB

上求作一点P使得PCPE长度之和最小．

A

PC

【习题5】在正方形ABCD中，E在BC上，BE2，CE1，P在BD上，求PE和PC的长度之和的最小

值．

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APDBEC

【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

月测备选

【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼

【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC

的中点，在对角线AC求作一点P使得PMPN的值最小．

DPCMBNA

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