中考数学一轮复习5平面直角坐标系和一次函数(含答案)

第五讲：平面直角坐标系和一次函数

对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。

知识梳理

知识点1：平面直角坐标系及函数图象

例1：已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a的不等式组，求出a的取值范围．依题意P点在第四象限，则有12a102a10，解得－1＜a＜

12．

答案：a的取值范围是－1＜a＜

2x1x1．

例2：函数y=中，自变量x的取值范围是 ．

解体思路：要使代数式1

答案：x≥－ 且x≠15．

2

2x1x12x101

有意义，必须有，解得x≥－ 且x≠15．

2x10例3 ：三军受命，我各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，

1

2010年中考数学一轮复习资料

路程都是24 km，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。

答案：选D．

练习1．在平面直角坐标系中，点P（－1，2）的位置在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 练习2．下列图形不能体现y是x的函数关系的是（ ）

练习3．在平面直角坐标系中，若点Pm3，m1在第四象限，则m的取值范围为（ ）

A、－3＜m＜1 B、m＞1 C、m＜－3 D、m＞－3 练习4． 2008年奥运火炬于6月3日至5日在我省传递（传递路线为：岳阳—汩罗—长沙—湘潭—韶山）．如图，学生小华在地图上设定汩罗市位置点的坐标为（0，－2），长沙市位置点的坐标为（0，－4），请帮助小华确定韶山市位置点的坐标为 ．

答案：练习1．B 2．C 3．A 4．（－1，－5） 最新考题

考题1：（2009湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数yA．一、二、三象限 B．二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、四象限

考题2：（2009仙桃）如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（ ）．

x1的图象经过（

）

2

2010年中考数学一轮复习资料

A．(m＋2，n＋1) B．(m－2，n－1) C．(m－2，n＋1) D．(m＋2，n－1) 考题3：（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿

N→P→Q→M方向运动至点M处停止．△MNR的面积为y，设点R运动的路程为x，

如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x9时，点R应运动到（ ）

M （图1） Q P R N O 4 9 （图2） x y

A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处

答案：

1. D 2. D 3. C

知识点2：一次函数的概念、图象和性质 例1：一次函数y=3x－4的图象不经过（ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

解题思路：由于3＞0，－4＜0，一次函数y=3x－4的图象经过第一、三、四象限，所以图象不经过第二象限．故选B．

例2：已知一次函数的图象过点（0，3）与（2，1），则这个一次函数y随x的增大而 ．

解题思路：由于图象经过的两个点（0，3）与（2，1），所以在平面直角坐标系中过这两个点作直线（如图），就得到该函数的图象．观察图象，直线从左向右呈“下降”趋势，则y随x的增大而减小．

例3：已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D

（0，6），直线y=mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 3

．

2010年中考数学一轮复习资料

解题思路：在平面直角坐标系中描点，可知四边形ABCD是矩形．由于矩形是中心对称图形，所以将它面积二等分的直线一定经过矩形的中心点．找出矩形中心点的坐标，代入直线的关系式可以求出m的值．

解：根据题意，在平面直角坐标系中描出各点，可知四边形ABCD是矩形．由图形知，矩形的中心点E（5，3）．

由题意知，直线y=mx－3m＋2必过中心点E，所以有 3=m×5－3m＋2，解得m=

12．

练习1．若一次函数y=x+（2m－2）的图象经过原点，则m的值为______． 练习2．在计算器上，按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果 x y －2 －5 －1 －2 0 1 2 4 2 7 3 10 上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是 ． 练习3．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A(1，，1)B(2，，1)C(2，2)，D(1，2)，用信号沿直线y=－2x＋b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为 ．

答案：1．1 2．1 3．3≤b≤6 最新考题

考题1：(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）

A．(1，2)

B．(－1，－2)

C．(2，－1)

D．(1，－2)

考题2：（2009年重庆市江津区）已知一次函数y2x3的大致图像为 （ ）

y

yyyox

oxoxox4

2010年中考数学一轮复习资料

A B C D

考题3：（2009年衢州）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是 （ ） A．y1>y2

B．y1D．当x1C．当x1y2 答案：1.D 2.C 3.C

解：（1）符合条件的点D有3个（如图），坐标分别是：D1（2，1），D2（－2，1），D3（0，－1）．

（2）若选择点D1（2，1）时，设直线BD1的的关系式为y=kx＋b， 1k，kb0，3由题意得，解得．

2kb1b13∴直线BD1的的关系式为y=

13x＋

13．

若选择点D2（－2，1），同上可得直线BD2的的关系式为y=－x－1． 若选择点D3（0，－1）时，同上可得直线BD3的的关系式为y=－x－1．

例2：在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

（1）s与t之间的函数关系式是： ；

5

2010年中考数学一轮复习资料

（2）与图③相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B； （3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象． 解题思路：（1）由图②知，s与t是正比例函数关系，用“待定系数法”可求的关系式；（2）结合题意和图③的函数图象，P点的运动路径是：M→D→A→N；从（1）中知点P的运动速度，可以求出点P运动到点B需要的时间；（3）对3≤s≤8的范围，又需要分三个时间段分别求解．

解：(1)设S=kt，代入（2，1），求得k=

12．所以S=1t(t≥0) ．

2(2) 图③中，P点的运动路径是：M→D→A→N．由（1）知，点P运动的速度是

12个单位/秒，所以P点从出发到首次达点B需要5÷=10秒．

21(3)当3≤s＜5时，，点P从A到B运动，此时y=4－s； 当5≤s＜7时，点P从B到C运动，此时y=－1；

当7≤s≤8时，点P从C到M运动，此时y=s－8．补全图象如图． 练习

练习1．在图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的的关系式是 ．

练习2．⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x＋1向下平移2个单位后的的关系式是 ；

⑵直线y=2x＋1向右平移2个单位后的的关系式是 ．

练习3．如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，由图象解答下列问题：

（1）此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm；经过 小时燃烧完毕； （2）求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的的关系式． 答案：练习1．y=2x＋1 2．解：⑴（0，－1），y=2x－1；⑵y=2x－3． 3．解：（1）7，最新考题

考题1：（2009年湘西自治州）一次函数y3xb的图像过坐标原点，则b的值为 ．

考题2：（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像

158；（2）y=－8x＋15 (0≤x≤

158) ．

6

2010年中考数学一轮复习资料

向左平移一个单位长度，得到的函数图像的 解析式为 ． y2x2或y2(x1)

-1 O

考题3：（2009年枣庄市）如图，把直线y2x向上平移后得到直线AB， 直线AB经过点(a，b)，且2ab6，则直线AB的解析式是（ ） A．y2x3 B．y2x6 C．y2x3 D．y2x6

答案：1. 0 2. y2x2或y2(x1) 3. D 知识点4：一次函数的应用

例1：已知直线l1：y1=－4x＋5和直线l2：y2=

12yy 2 x

A B x

y2x O

x－4．

（1）求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断交点落在哪一个象限内；

（2）在同一个坐标系内画出两条直线的大致位置，然后利用图象求出不等式－4x＋5＞

12x－4的解集．

解题思路：（1）只需要建立关于两个函数关系式的方程组，其解就是交点坐标；（2）

作出图象，找出直线l1高于l2的部分，其自变量的取值范围就是不等式的解集．

y4x5,x2,解：（1）解方程组，得1yx4.y3.． 2∴直线l1和l2的交点是（2，－3），在第四象限．

（2）直线l1高于l2的部分在交点（2，－3）的左侧，其自变量

7

2010年中考数学一轮复习资料

取值范围是x＜2．所以，不等式－4x＋5＞

12x－4的解集为x＜2．

例2：某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

甲店 乙店 A型利润 200 160 B型利润 170 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

解题思路：（1）利用“总利润=甲、乙店销售各型商品的利润和”建立函数关系式，然后建立关于x的不等式组，求出x的取值范围；（2）根据“总利润不低于17560元”建立不等式，结合（1）确定出x的正整数解，每一个正整数解对应不同的分配方案；（3）建立一个含有常数a的关于W、x的函数关系式，然后对a的不同取值范围分别讨论，确定出总利润最大的分配方案．

解：（1）W=200x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10）=20x＋16800． x≥070x≥0由题意得，解得10≤x≤40．

40x≥0x10≥0（2）由w=20x＋16800≥17560，解得x≥38．

∴38≤x≤40，∴x=38，39，40，∴有三种不同的分配方案：

①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件． ②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件． ③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．

8

2010年中考数学一轮复习资料

（3）W=（200－a）x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10） =（20－a）x＋16800．

①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．

②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样． ③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．

练习1．一次函数y=kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）

A．x＞0

B．x＜0

C．x＞2

D．x＜2

练习2．如图，直线l1和l2的交点坐标为（ ）

A．(4，－2) B．(2，－4) C．(－4，2) D．(3，－1)

练习3．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ） ．．

A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分 答案：练习1．C 2．A 3．D 最新考题

考题1：(2009年上海市)已知函数f(x)11x，那么f(3) ．

考题2：(2009成都)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）

y(元)900300O3050(kg)x

A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg

考题3：（2009年宁波市）如图，点A.B.C在一次函数y2xm的图象上，它们的

9

2010年中考数学一轮复习资料

横坐标依次为1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）

A．1

12y B．3

C．3(m1)

D．

32A (m2)

答案：1.

2. B 3. B

B C 过关检测

一、选择题

1．直角坐标系中，点A（－3，6）位于（ ）

1 O 1 2 x A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ）

A．S是变量 B．t是变量 C．v是变量 D．S是常量 3．下面所给点在直线y=－2x上的是（ ） A．（2，－1） 4．函数y=

x5x B．（－1，2） C．（1，2） D．（2，1）

中自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥－5 B．x≠0 C．x≥－5且x≠0 D．x≥－5或x≠0 5．一次函数y=－x＋2的大致图象是（ ）

6．均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是（ ）

7．直线y=kx＋b经过点A（0，3），B（－2，0），则k的值为（ ）

10

2010年中考数学一轮复习资料

A．

32 B．x232 C．

23 D． 3

8．如图，直线y1=与y2=-x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（ ）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 9．丽丽买了一张30元的租碟卡，每租一张碟后剩下的余额如表表示，若丽丽租碟25张，则卡中还剩下（ ）

Ａ．5元 Ｃ．20元

10．如图2，直线y43租碟数（张） 1 2 3 …… 卡中余额（元） 30－0.8 30－1.6 30－2.4 ……

Ｂ．10元 Ｄ．14元

x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AOB，则点B的坐标是（ ）

A． （3，4） B． （4，5） C． （7，4） D． （7，3） 二、填空题

11．如图3，已知棋子“卒”的坐标为(－2，3)，棋子“马”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为 ．

12．若一次函数y=x+（2m－2）的图象经过原点，则m的值为______．

13．如图4，当输入数x=2时，输出的数y= ．

14．若点P（a，4－a）是第二象限的点，则a的取值范围是 ．

15．某一次函数的图象经过点（0，－2），且函数值随自变量值增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．

16．HJ牌小轿车的油箱可装汽油30L．原来装有汽油10L，现在再加汽油xL．如果每

11

2010年中考数学一轮复习资料

升汽油2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x（L）之间的关系式是______．

三、解答题

17.一个菱形的边长为5，一条对角线为6．请以菱形的较长对角线所在的直线为x轴，另一条对角线所在的直线为y轴建立直角坐标系，然后写出菱形各顶点的坐标．

18.已知正比例函数y=kx、一次函数y=2x+b的图象都经过点A（－2，4）． （1）求k和b的值； （2）判断点B（－

2，22），C（2，12）分别在哪个函数的图象上？

（3）x在什么范围取值时kx＞2x+b？

19.定义p，q为一次函数ypxq的特征数．

（1）若特征数是2，k2的一次函数为正比例函数，求k的值；

（2）设点A为x轴上的一点，B点的坐标为（0，2），且△OAB的面积为4，O为原点，求过A，B两点的一次函数的特征数．

20.赵明暑假到光雾山旅游，从地理课上知道山区气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途他利用随身所带的登山表，测得以下数据：

海拔高度x（m） 气温y（℃） 00 32 400 31.4 500 30.8 600 30.2 …

7…

（1）现以海拔高度为x轴，气温为y轴建立平面直角坐标系（如图8），根据上表中提供的数据描出各点．

（2）已知y与x之间是一次函数关系，求出这个关系式．

（3）若赵明到达光雾山山巅时，测得当时气温为19.4℃，请求出这里的海拔高度．

21.如图9，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由

ABCD匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为y，点P运动的路程为

12

2010年中考数学一轮复习资料

x，请解答下列问题：

（1）当x1时，求y的值；

（2）就下列各种情况，求y与x之间的函数关系式； ①0≤x≤4；②4x≤8；③8x≤12；

（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象．

22.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

A库B库路程（千米)甲库乙库20152520运费（元/吨·千米）甲库乙库1212108 （1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式

（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

13

2010年中考数学一轮复习资料

参

一、1～5．BABCD 6～10．AABBD

二、11．(3，2) 12．1 13．1 14．a＜0 15．答案不唯一，如y=－x－2 16．y=2.95x+29.5 三、

k2．

（2）设A点的坐标为（x，0），则

|x|2212=4，解得x=±4．

x＋2；当A点为（－4，0）时，一次函数为

当A点为（4，0）时，一次函数为y=－y=

12x＋2． ∴特征数为[－

12，2] 或[

12，2]．

20．解：（1）描点略；

（2）设y=kx+b（k≠0），将x=400、y=32和x=500、y=31.4代入得

400kb32k0.006，解得．∴函数关系式为y=-0.006x+34.4 500kb31.4b34.4（3）将气温为19.4℃代入（2）中的关系式得-0.006x+34.4=19.4，解得x=2500． 21．解：（1）由题意，x1时，AP1，y12AMAP12211．

（2）①当0≤x≤4时，点P由AB在AB线段上运动，APx， 直线MP扫过正方形所形成的图形为Rt△MAP，其面积为：

y112AMAP122xx；

②当4x≤8时，点P由BC在BC线段上运动，BPx4， 直线MP扫过正方形所形成的图形为梯形MABP，其面积为：

14

2010年中考数学一轮复习资料

y212(AMBP)AB122(x4)42x4；

③当8x≤12时，点P由CD在CD线段上运动，DP12x．直线MP扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP，其面积为：

22．解：（1）依题意有：

y1220x1025(100x)1215(70x)820[110(100x)]

＝30x39200，其中0x70

（2）上述一次函数中k300， ∴y随x的增大而减小. ∴当x＝70吨时，总运费最省，最省的总运费为：30703920037100(元）．

答：从甲库运往A库70吨粮食，往B库运送30吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省为37100元．

15