矩 形
例1 已知：如图4-26所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE⊥直线AB于点E，PF⊥直线AC于点F．求证：DE⊥DF并且相等．
分析 如图4-26，由已知AD⊥CD并且相等，而求证是DE⊥DF并且相等，所以应该有△ADE≌△CDF．反之，如果证明了这两个三角形全等，问题也就解决了．在△ADE和△CDF中，只要证明了AD=CD，AE=CF及∠EAD=∠FCD就可以了．但这三个相等关系都容易证明．
证明 如图4-26所示，AD=CD．由已知条件可知AEPF为矩形，所以AE=PF．而由于∠PCF=45°，∠CPF=45°，所以∠PCF=∠CPF，所以PF=CF，这就有AE=CF．最后∠EAD=135°=∠FCD，
所以 △ADE≌△CDF．
于是∠EDF=∠ADC=90°，从而有DE⊥DF并且相等．
例2 已知：如图4-27，ABCD为矩形，CE⊥BD于点E，∠BAD的平分线与直线CE相交于点F．求证：CA=CF．
分析一 如图4-27所示，由于CA，CF是△CAF的两边，因此要证明CA=CF，可试证∠CFA=∠CAF．由于CF⊥BD，因此作AG⊥BD于点G，则AG∥CF，从而∠CFA=∠FAG．于是问题转化为证明∠FAG=∠CAF．但已知AF是∠BAD的平分线，因此问题又转化为证明∠BAG=∠CAD．但证明这两个角相等不会有什么困难了． 证法一 如图4-27所示，作AG⊥BD于点G，∠BAG与∠ABD互余，∠CAD=∠ADB与∠ABD互余，所以∠CAD-∠BAG．
而AF平分∠BAD，所以∠CAF=∠FAG．
由于AG∥CF，所以∠CFA=∠FAG， 从而 ∠CFA=∠CAF． 所以 CA=CF．
分析二 证明∠CFA=∠CAF还可以考虑用计算的方法进行．设∠CAD=∠BDA=α，则∠ACE=90°-∠COD=90°-2α．
而∠CAF=∠DAF-∠CAD=45°-α． 所以 ∠CFA=45°-α． 从而 ∠CFA=∠CAF． 问题解决了． 证明从略．
4 菱形
例1 已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH为矩形．
分析 证明四边形EFGH为矩形有几个方法．而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形．由于OE⊥AB，OH⊥AD，所以立即看出OE=OH．这样EFGH明显是矩形了．
证明 如图4-44所示，由于OA平分∠A，并且OE⊥AB，OH⊥AD，由角平分线的性质知道OE=OH．同理，
OE=OF，OF=OG，OG=OH．
所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形．
例2 已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED =DA，并且∠CED= 2∠AEB．求证：四边形ABCD为菱形．
分析 在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了．在ABCD中，已知AD=BC，因此只要证明了AD∥BC问题就解决了．由于∠CED=2∠AEB，从而在∠AEB内部作射线EF，使∠AEF=∠AED，同时也就有∠BEF=∠BEC．而由于ED=DA，所以∠EAD=∠AED，从而∠AEF=∠EAD，这就有AD∥EF．至此，问题已经解决了．
证明 如图4-45所示，由于∠CED=2∠AEB，所以∠AEB=∠AED＋∠BEC．因此可在∠AEB内部作射线EF，使∠AEF=∠AED，∠BEF=∠BEC．而由于ED= DA，所以∠AED=∠EAD．从而∠AEF=∠EAD．这样AD∥EF．同理BC∥EF，从而AD∥BC． 既然AD∥BC，又已知AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形．而AB=BC，所以ABCD为菱形．
§5 正方形
例1 已知：如图4-55所示，E是正方形ABCD内一点，且∠EAB=∠EBA=15°．求证：△CDE为等边三角形．
分析一 在△CDE中，显然CE=DE，所以只要证明了CD=DE问题就解决了．但直接证明CD=DE有困难，因此可改证DA=DE．DA，DE是△DAE的两条边，因此可证明∠DEA=∠DAE．而证明这两个角相等也有困难，所以考虑加辅助线利用全等三角形证明．由于∠ADE应该是30°，而∠DAE=75°，所以在△DAE内取点F，使∠FDA=∠FAD=15°，这就容易证明△FDA≌△FDE，问题得到解决．
证法一 如图4-55A．，在△DAE内部取点F，使∠FDA=∠FAD=15°，连结线段EF．在△AEF中，∠FAE=60°，AE=AF（为什么？），所以△AEF为等边三角形，所以AF=EF．
又∠AFD=150°，∠EFD=360°-∠EFA-∠AFD=360°-60°-150°=150°，从而∠AFD=∠EFD．
在△FDA和△FDE中，FD=FD，AF=EF，∠AFD=∠EFD，所以△FDA≌△FDE．从而DA=DE．
于是DE=DA=CD，同理CE=CD，所以△CDE为等边三角形．
分析二 本例也可以用一种间接的方法证明．如图4-55B．，先在正方形内作一等边三角形CDE′，只要证明了△CDE和△CDE′重合就可以了．而要证这两个三角形重合，只需证明E与E′重合，要证明这两个点重合，只需证明射线AE与射线AE′重合，射线BE与射线BE′重合，要证明这两组射线分别重合，只需证明∠BAE′=∠ABE′=15°．但这很容易．
证法二 如图4-55B．，在正方形ABCD内作等边三角形CDE′，连结线段AE′，BE′．在△DAE′中，∠E′DA=90°- 60°=30
BAE′=90°-75°＝15°，从而射线AE与射线AE′重合．同理，射线BE与射线BE′重合，于是E与E′重合．这样，△CDE与△CDE′重合，所以△CDE是等边三角形．
点评 证法二的方法如下：当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时，可先作出具有该性质的图形，然后证明所作的图形与原图形重合，即是同一图形．因而原图形具有该性质．这种间接的证明方法叫做同一法． 例2 已知：如图4-56A．，直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC，E为l上一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F．求证：AE=AF． 分析 如图4-56A．，AE，AF是△AEF的两边，因此要证明AE=AF，可考虑证明∠AEF=∠AFE．由已知条件EC=AC，如果求出∠ACE的大小显然问题就解决了．在初等几何中见到的特殊角常是30°，45°，60°的角．从直观上看，∠ACE可能是30°角．作EH⊥
所以l上每个点到AC上引的垂线段都相等，所以
题得到解决．
证明 如图4-56，作DO⊥AC于点O，作EH⊥AC于点H，则
在△ACE中，∠ACE=30°，EC=AC，所以∠CEA=75°，∠CAE=75°．而∠CAD=45°，所以∠EAF=30°，所以∠AFE=75°．这样，∠AEF=∠AFE（=75°），从而AE=AF．
点评 本例中，点E与A位于BD同侧．如图4-56B．，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA的延长线交于点F，这时仍有AE=AF．请读者自己证明． 例3 已知：如图4-57，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的一点，并且∠EAF=45°．求证：△AEF的高线AH=AB．
分析 如图4-57，AH，AB分别是△AHE和△ABE的边，这两个三角形应该全等．证明了它们全等，也就证明了AH=AB．这两个三角形都是直角三角形，并且有一条公共边，证明它们全等还缺少一个条件．应注意∠EAF=45°恰是直角的一半，所以∠FAD＋∠BAE=45°是直角的一半．如果把△FAD绕顶点A旋转90°到△KAB的位置，那么新得到的△AEK和△AEF就各有一个45°角，很容易证明这两个三角形全等，进一步就有△AHE≌△ABE，问题得到解决．
证明 如图4-57，延长CB到K，令BK=DF．连结线段AK，则△ABK≌△ADF，所以∠BAK=∠DAF，从而∠EAK＝∠EAB＋∠BAK＝45°＝∠EAF．
在△EAF和△EAK中，AE=AE，AF=AK，∠EAF= ∠EAK，所以△EAF≌△EAK，所以∠AEF=∠AEK．
在△AHE和△ABE中，∠AEH=∠AEB，∠EHA= ∠EBA=直角，AE为公共边，所以△AHE≌△ABE，从而AH=AB．
6．判定正方形为什么不强调判定定理？
答：在“四边形”这一章里，顺次学习了平行四边形、矩形、菱形的性质、判定定理，可是学到正方形时，书上就只有性质定理，而没有判定定理了．是遗漏了吗？不！这是因为正方形的判定方法有多种多样．先看看正方形与其他四边形的关系：
要判定正方形，可以从平行四边形出发，证一组邻边相等且夹角为90°；可以从矩形出发，证一组邻边相等；可以从菱形出发，证一角为直角等等；或者干脆从定义出发，都可进行判定．只要搞清它们之间的关系，看清题目中的条件，就不会感到束手无策． 例1 已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH． 求证：四边形EFGH是正方形．
分析：这个图形是一种旋转型的图形，有四个直角三角形．如果能证出其中两个全等，那么就能证得周边四个直角三角形全等，从而证得四边形EFGH的四条边相等，且各个角是直角，即能得到结论．(证明略) 例2 求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形．
分析：四边形ABCD是矩形，每个内角是90°，加上内角平分线的条件，可以得到∠1=∠2=……=∠8=45°，那么容易得到∠H、∠F、∠HEF和∠HGF是90°，四边形EFGH已经是矩形了．所以这题证明的最好方法是从证矩形出发再证一组邻边相等，即 可证得结论．(证明略) 例3 已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边中点．求证：四边形EFGH是正方形．
分析：若能注意到中位线的性质，那么可证得任意四边形中点连线围成一个平行四边形．然后证它既具有矩形特点(即有一个角为直角)又具有菱形的一个特点(即相邻两边相等)，而由条件AC=BD，AC⊥BD，即可证得EF=FG，∠EFG=90°．因此四边形EFGH是正方形．(证明略)
从以上举的几个例子，你是否觉得证明正方形的方法确实不少？ 练习：
求证：以平行四边形的各边为边，向形外作正方形，这样所得的正方形的中心是另一个正方形的四个顶点．
