维普资讯 http://www.cqvip.com 第２１卷第３期 Ｖ０１．２１ Ｎｏ．３ 池 州 师 专 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ２００７年６月 Ｊｕｎ．。２００７ 空间向量在立体几何中的两点应用 房再胜 （桐城师范学校，安徽桐城２３１４０３） 【摘要】解析几何是近代数学的转折点，其中用矢量代数的方法解决几何问题得到了广泛普及。本文着重旨在讨论 空间向量在求空间角和距离这两方面的应用，希望为中学数学教学和学生学习提供一点有价值的参考。 【关键词】向量；夹角；距离 【中图分类号】Ｏ１８２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１００８—７７１０（２００７）０３—０００７—０３ ’ 人教版高中数学教材新增了向量的有关内容，包括平 比较简单。不再赘述）： 面向量和空间向量。向量具有数和形的双重性。一方面。向 命题１：如图１，设空间直线ａ，ｂ的方向向量分别为ｈ。、ｋ， 量具有形的特征：方向、长度和夹角；另一方面，它又具有 夹角为 ，则０＝（ｈ。、 ）（０。Ｓ（ｈ－、 ） ０‘）或 数的属性：正负、可运算。它是中学数学知识的一个交汇 ——÷—－＋——÷—＿＋ 点，它的引入不仅拓展了学生的知识面，而且也为解决立 １８０・一（ｈ。、ｋ）（（ｈ。、 ）＞９０‘） 体几何问题提供了一个强有力的工具，本文将着重讨论空 间向量在求空间角和距离这两个方面的应用。 １理论背景 、 引理ｌ：设向量。与ｂ的夹角为０（通常用（ｏ，ｂ） 打 表示），则有 ・－ｒ＝Ｉ １．Ｊ ｌ・ｃ。ｓＯ，即ｃ。ｓＯ＝１＝ 图１—１ 图１—２ Ｊ ０ Ｊ。Ｊ ｂ Ｊ — — 引理２：ｉｇ．ａＢ＝口，ｂ，是与轴Ａ同方向的向量，Ａ在Ａ 上的射影为Ａ’。Ｂ在Ａ上的射影为Ｂ’，则Ａ—Ｂ叫做向量 在轴Ａ或ｂ上的正射影，简称射影，设向量８与ｂ的夹角 ． Ｉ ＿ 为０，则Ａ ＝ｆ。 。ｆ 。ｃ。Ｏｓ＝ｆ ｆ・ｃ。Ｏｓ＝ ｌ 图１—３ 图１－４ ｂ ｌ ，（这时向量 命题２：如图２，设平面。的斜线Ａ的方向向量为 ， 平面。的法向量为 ，斜线Ａ与平面。所成的角为 ，则 Ａ Ｂ 变成有向线段Ａ 。方向与ｂ或轴Ａ的方向要么相同 —＿＋—＿＇—＿＇—＿， 要么相反） ０＝－（ｈ。、 ）－９０・（（ｈ。、 ）＞９０。）或 ９０ 一 ２应用策略 —＿＋—’＋—＿＋—＿＋ （ｈ。、ｋ）（０・ｓ（ｈ。、 ）＜９ｏ。、． 要用空间向量解决立体几何问题，首先必须根据问题 的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用 空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系； 然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距 离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释， 从而解决立体图形的问题。一般地，我们有以下命题（证明 图１—３ 图１－４ 收稿日期：２００６—１０－０９ 作者简介：房再胜（１９６５一），男．安徽桐城人，桐城师范师范学校讲师，主要从事数学教学与研究。 ７ 维普资讯 http://www.cqvip.com 向量间模数和数量积的关系。 ４应用举例 例１、在长方体ＡＢＣＤ－ＡＩＢＪＣｚＤＩ中，ＡＢ－－６，ＡＤ＝８， ＡＡｌ－４，ＪＩ】ｆ为Ｂ Ｃ，的中点，点Ｎ在线段 Ｄ上 Ⅳ＿÷ Ｄ， （图５） 圈２—３ （１）求 ．Ｄ与ＡＭ的夹角 命题３：如图３，设平面 的法向量为＾．，平面 的法 （２）求直线ＡＤ与平面ＡＮＭ所成的角的大小 ． ． ． （３）求平面ＡＮＭ与平面ＡＢＣＤ所成的二面角的大小 向量为．ｊｌ２，两面角ａ—Ａ１Ｂ的度数为０，则０＝－（＾，、 ＞一９０。 解：建立如图所示的空间直角坐标系 ， ． ． ． ． ． ． （（＾．、ＪＩｌ２＞＞９０。）或０＝－９０。一（＾，、ＪＩｌ２＞（０。Ｓ（＾，、 ＞＜９０。 贝０ Ａ（０，０，０），Ｂ（６，０，０），ｃ（６，８，０），Ｏ（０，８，０）， －（０，０，４），Ｂ－（６，０，４），Ｃ－（６，８，４），Ｄ－（０，８，４）， ・‘ Ⅳ。 １．．．Ｄ ・．． ＝÷ 圈３－１ 圈：３－２ 由慝 圈求点Ｎ的坐标的目的在 可得Ⅳ（０，号５， 号） 圈３—３ 于求向量ＡＮ，其实利用 命题４：如图４，设平面 的法向量为＾，Ａ ，ＢＥｏｌ，点Ａ Ａ Ｎ－－Ａ Ａ ｚ＋÷Ａ－－．－。ｋ求还容 一… ｕ如Ｉ寄Ｉ ｃ一向量 在向 易理解些。 （１） ：（０＇８＇ｏ）一（０＇０’４）：（０＇８’－４）， ：（６＇４＇４） ，０，０） 量＾上的射影的绝对值），特别地，设异面直线ｏ、６的公垂 线的方向向量为＾，ａ，ｂ之间的距离为ｄ，Ａ∈口，Ｂ∈６，则 …．、 Ａ。Ｄ・ＡＭ ｌ钟ｌ Ａ４一 佩 一—Ｖｏ 。＋８。＋ｆ＿４）’・ Ｖ６ 。＋４。＋４ 一 。 ．．’・．＜．＜Ａ Ｉ，Ｄ，Ａ Ｍ＞＝ａｒｃｃｏｓ 朋，即 ＡｉＤ与ＡＭ的夹 与 的夹 ￣２ ａｒｃｃｏｓ （２）￣ＡＮＭ的法向量为 ： ．， ， ， ． ：（０，８， 图４．－１ 图４—２ 硎 ，由 ：３应用方法 Ｌｈ ＡＮ＝０ ・ －－＋叫 ８” 一一２…’嚣８３ 如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标 解得 ＝０ 系时，首先建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，这是最 取，Ｉ １可得，＂－－＾－４．：（０简便的方法。如果图形中没有垂直关系或不太容易建立空 ，一１，１）， 间直角坐标系时，可以根据条件以三个不共面的向量作为 基向量，用基向量表示空间向量，并利用条件求出这三个 。∞＜ＡＰ ，’ ： Ｖ／０２＋８２＋０２、／０ ＋ｆ＿１）。＋１彳一半 ２ ８ 维普资讯 http://www.cqvip.com ‘．．＜ＡＰ，ｈ＞＝１３５ 直线ＡＤ与平面Ａ 所成的角为＜Ａ＿＋Ｄ， ——＞－９０。：４５。 — ’（３）由题意可知ＡＡ。平面ＡＢＣＤ的一个法向量，ＡＡ产 Ｉ２．ｓ％ｑ”９ｚ－－０ （０，０，４） — — ｅｏｓ＜ＡＡ．，ｈ＞＝ 一、／ ２ — —４ ．＜ＡＡ．，ｈ＞－－４５・ 平面Ａ 与平面Ａ曰ｃＤ所成的二面角为 — ＿＋——｝ ＜ＡＡ．，ｈ＞－－－４５。。 例２、 在空间四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ＝、／了， ＢＣ＝ＡＤ＝、／ ，ＢＤ－－ＡＣ＝、／丁（如图６） 雷川嚣 Ｂ 图６ （１）求异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的大小。 （２）求点Ａ到平面ＢＣＤ的距离。 （３）求异面直线ＡＣ与ＢＤ间的距离 ６ — — — — — — — — — — 解：（１） ＝口，ＢＤ＝ｂ，ＢＣ＝ｃ，贝ⅡＡＤ＝ｂ一口，ＣＤ＝ — — — ＿＋— — ｂ—ｃ．Ａ Ｃ＝ｃ一口 由ＡＢ＝ＣＤ＝、／了，． ＢＣ－－ＡＤ＝－、／了，ＢＤ－－Ａ Ｃ＝、／了。 得Ｉ ｌ＿Ｉ Ｉ＝、／了，Ｉ ｌ＿Ｉ ｌ＿、／丁，Ｉ Ｉ＝ ７ Ｉ－ ——’——’——’——’——’——’——’——’——’ 。．．口 （ｂ—ｃ） ＝３，ｂ ２＝ ｃ一口）２－＝７，ｃ ２＝ ｂ一口）２＝５ ．篷且 ｂｃ口＝＿４０２．５ 晶 ＝ ：！二 ： ：Ｑ： 二 ： ：一 所以异面直线Ａ曰与Ｄｃ所成角为＝ 哪ｃ∞（＿号）＝ ａｒｃｃｏｓ号。 （２）设平面ＢＣＤ的法向量为ｈ＿—＿＇＿ 口 —＿＇—ｂ ＿＇—＿ ｃ），点Ａ 到平面固∞的距离为ｄ， 由ＩＩ三・ ｈ・ 得 学出ＢＣ＝０ 一ｌ０．５刑４．５’，＋５ｚ＝Ｏ 取ｚ＝３１，则ｈ＝（５９口－４１ ｂ＋３１ ｃ）， ： ：３ ５ｘ／３－￣６ －ｄ－ 可Ａ Ｂ・ｈ ｌ—：ｌＩ 二 ：—｝— ＝３Ｖ３９０ —｝— ±—｝—三 ！）—｝ －—｛Ｉｌ 一５ 口９ １ ４口３ ｂ＃５・ ９０ ｆ一３ 口１・ｃ Ｉｌ —ｌ二 三 ： 二三 Ｑ： Ｊ一３Ｖ＇Ｓｆ０ Ｉ ３、／５９Ｏ Ｉ ５９ （３）设异面直线Ａｃ与ＢＤ的公垂线的方向向量为 ｈ＝ 口 ｂ ｃ），异面直线ＡＣ与ＢＤ间的距离为ｄ，由 ｛ｆ 肋－—＋＿＋ ｒ＿－０得｛ 。＋＿ ＋＿ｃ＋－） ＋ ｌ Ｊｌ ・ＡＣ－－Ｏ 【 ａ ｂ ｃ）‘（ｃ—ａ）－０ ＝ ｆ＿＋＿＋＿＋＿＋＿＋ Ｉ 口・ｂ＋’，ｂ ２＋Ｚ ｃ・ｂ＝０ 即 Ｉ ．＿＋＿＋＿＋ ＿＋＿＋＿＋＿＋ ＿＋ ‘（口・ｃ一口２）＋ ｂ・ｃ一口‘ｂ （ｃ一口・ｃ）曼 ＿＋＿＋ 卸 ｆ２・ ７ｙ＋４－ 卸解得Ｉ一取 ：１，则 ： 一 【一２．５ ＋２ ｝４． ＝０ ｔｙ＝－ｚ Ａ Ｂ・ｈ ’．６ 可 一一ＩＩ—一 — ． 一． Ｉ —Ｉ兰 ： ： ＪＩ一、—Ｔ／ 事实上，利用向量求空间角和距离时，并不一定非得 要建立空间直角坐标系不可。利用空间向量基本定理，只 要选取不共面的三个向量作为基向量，但是，为了便于计 算向量内积，这三个基向量的模及其它们彼此之间的数量 积必须已知或者能够根据条件求出来。 参考文献： ［１１ｇ，ｌ￣，ｌｔｔ，许子道．解析几何【Ｍ】．３版．北京：高等教育 出版社．１９８７． ［２１罗增儒．数学解题学引论［Ｍ】．陕西：陕西师范大学 出版社，１９９７． 【３】熊斌，陈双双．解题高手［ＭＩ．２版．上海：华东师范大 版社’２ｏ０５・ （责任编辑：潘杨友） ９
