第9讲 蒙日圆问题(原卷版)

第9讲蒙日圆问题

一、解答题

x2y21．已知椭圆C:221ab0的一个焦点为，离心率为.

ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

x2y22．给定椭圆C：221 (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2b2的圆为椭圆C的“准圆”．若椭

ab圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．

x2y23．给定椭圆 C : 221(ab0)，称圆心在原点，半径为a2b2的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若

ab椭圆 C 的一个焦点为 F1(2, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为3 （1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；

（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由.

4．已知抛物线C1：y22px（p0），圆C2：(x1)2y2r2（r0），抛物线C1上的点到其准线的距离的最小值为

（1）求抛物线C1的方程及其准线方程；

（2）如图，点P(2,y0)是抛物线C1在第一象限内一点，过点P作圆C2的两条切线分别交抛物线C1于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆C2使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.

1. 4

5．已知椭圆C：的长半轴长为2，点（e为椭圆C的离心率）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，P为直线x2上任一点，过点P椭圆C上点处的切线为PA，PB，切点分别A，B，直线xa与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n，求mn的值.

6．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线C2的顶点为原点．

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点． 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

S②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：

S小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

PABPCD是否有最

x27．已知椭圆C的方程为y21.

2

（1）设M(xM,yM)是椭圆C上的点，证明：直线与椭圆C有且只有一个公共点；

（2）过点N(1，2)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A､B，点N在直线AB上的射影为点Q，求点Q的坐标；

（3）互相垂直的两条直线l1与l2相交于点P，且l1､l2都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨迹方程. 8．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为23，椭圆O的离心率为

1. 2（1）求椭圆O的标准方程；

22（2）过B点作圆E：xy2r，的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变

2化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

x2x2y22

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)，C2与C1

b4a

的长轴长之比为2∶1，离心率相同．

(1) 求椭圆C2的标准方程； (2) 设点P为椭圆C2上的一点．

①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；

②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．

10．已知抛物线C:y2pxp0上一点到焦点F的距离PF2x0.

2（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P引圆M:x3yr2220r2的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的另

、B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围. 一交点分别为A11．如图，已知M(x0,y0)是椭圆C:上的任一点，从原点O向圆M：作两条切线，分别交椭圆于点P、Q．

（1）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值； （2）试问OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

12．已知抛物线E：x22py过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：x2y21相切，且分别交抛物线E于M、N两点．

（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN的斜率为3，求点P的坐标．

222