浙江省宁波市江北区2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

浙江省宁波市江北区2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

一、选择题（共10题；共20分）

1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2.已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12 3.如果 𝑎>𝑏 ，下列各式中不正确的是（ ）

A. 𝑎−4>𝑏−4 B. −2𝑎<−2𝑏 C. −5+𝑎<−5+𝑏 D. −<−

33

4.在 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝐴′𝐵′𝐶′ 中，已知 ∠𝐴=∠𝐴′ ， 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ，添加下列条件中的一个，不能使 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′ 一定成立的是（ ）

A. 𝐴𝐶=𝐴′𝐶′ B. 𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ C. ∠𝐵=∠𝐵′ D. ∠𝐶=∠𝐶′ 5.在平面直角坐标系中，点 𝑃(−3,𝑚2+1) 关于 𝑥 轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A. (−2,2) B. (2,3) C. (2,4) D. (2,5)

7.如图， △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐷𝐸 垂直平分 𝐴𝐶 ，垂足为 𝐷 ， 𝐴𝐷=3 ， △𝐴𝐵𝐸 的周长为13，那么 △𝐴𝐵𝐶 的周长为（ ）

𝑎

𝑏

6.把函数 𝑦=𝑥 的图象向上平移2个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（ ）

A. 10 B. 13 C. 16 D. 19

8.如图，将一张三角形纸片 𝐴𝐵𝐶 的一角折叠，使点 𝐴 落在 𝛥𝐴𝐵𝐶 处的 𝐴′ 处，折痕为 𝐷𝐸 .如果

∠𝐴=𝛼 ， ∠𝐶𝐸𝐴′=𝛽 ， ∠𝐵𝐷𝐴′=𝛾 ，那么下列式子中正确的是（ ）

A. 𝛾=2𝛼+𝛽 B. 𝛾=𝛼+2𝛽 C. 𝛾=𝛼+𝛽 D. 𝛾=180∘−𝛼−𝛽

3𝑥−1>4(𝑥−1)

9.关于x的不等式组 { 的解集为 𝑥<3 ，那么a的取值范围为（ ）

𝑥<𝑎A. 𝑎>3 B. 𝑎<3 C. 𝑎≥3 D. 𝑎≤3

10.如图，在等腰 △𝑂𝐴𝐵 中， ∠𝑂𝐴𝐵=90° ，点 𝐴 在 𝑥 轴正半轴上，点 𝐵 在第一象限，以 𝐴𝐵 为斜边向右侧作等腰 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 ，则直线 𝑂𝐶 的函数表达式为（ ）

A. 𝑦=2𝑥 B. 𝑦=3𝑥 C. 𝑦=4𝑥 D. 𝑦=5𝑥

1111

二、填空题（共8题；共8分）

11.𝑥 的 3 与 𝑥 的2倍的和是非正数，用不等式表示为________. 12.将“对顶角相等”改写为“如果...那么...”的形式，可写为________. 13.已知 𝑃(−3,4) ，则 𝑃 点到 𝑥 轴的距离为________.

14.若一次函数 𝑦=(2𝑘+1)𝑥−𝑘−1 的图象不经过第三象限，则 𝑘 的取值范围是________. 15.等腰三角形的一边长为2，周长为5，那么它的腰长为________.

16.已知点 𝐴(𝑥1,𝑦1) ， 𝐵(𝑥2,𝑦2) 是一次函数 𝑦=−2𝑥+1 图象上的两点，当 𝑥1>𝑥2 时， 𝑦1 ________ 𝑦2 （填“ > ”“ = ”或“ < ”）

17.如图，在平面直角坐标系中，直线 𝑦=3𝑥+8 分别与 𝑥 轴、 𝑦 轴相交于 𝐴 、 𝐵 ，线段 𝐴𝐵 的垂直平分线交 𝑦 轴于点 𝐶 ，垂足为 𝐷 ，则点 𝐶 的坐标为________.

4

1

18.如图，在等边 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐶=9 ，点 𝑂 在 𝐴𝐶 上，且 𝐴𝑂=3 ，点 𝑃 是 𝐴𝐵 上一动点，连结 𝑂𝑃 ，将线段 𝑂𝑃 绕点 𝑂 逆时针旋转 60∘ 得到线段 𝑂𝐷 .要使点 𝐷 恰好落在 𝐵𝐶 上，则 𝐴𝑃 的长是________.

三、解答题（共6题；共41分）

19.解下列不等式（组） （1）3𝑥−1≥2𝑥+4 5𝑥−3<4𝑥

（2）{

4(𝑥−1)+3≥2𝑥

20.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

21.某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线.

（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；

（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？

（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？ 22.如图， 𝐷 是 ∠𝐸𝐴𝐹 平分线上的一点，若 ∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐵𝐷=180° ， 证明： 𝐶𝐷=𝐷𝐵

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的图象经过点A（ −2 ， 4 ），且与正比例函数 𝑦=−3𝑥 的图象交于点B（ 𝑎 ， 2 ）.

2

（1）求 𝑎 的值及一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的解析式；

（2）若一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的图象与x轴交于点C，且正比例函数 𝑦=−3𝑥 的图象向下平移m（m>0）个单

位长度后经过点C，求m的值；

（3）直接写出关于x的不等式 −3𝑥>𝑘𝑥+𝑏 的解集.

24.如图1，已知直线 𝑙 的同侧有两个点 𝐴 、 𝐵 ，在直线 𝑙 上找一点 𝑃 ，使 𝑃 点到 𝐴 、 𝐵 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 𝑙 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 𝑙 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.

2

2

（1）如图2，在平面直角坐标系内，点 𝐴 的坐标为 (1,1) ，点 𝐵 的坐标为 (4,3) ，动点 𝑃 在 𝑥 轴上，求 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值；

（2）如图3，在锐角三角形 𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐵=6 ， ∠𝐵𝐴𝐶=60° ， ∠𝐵𝐴𝐶 的角平分线交 𝐵𝐶 于点 𝐷 ， 𝑀 、 𝑁 分别是 𝐴𝐷 和 𝐴𝐵 上的动点，则 𝐵𝑀+𝑀𝑁 的最小值为________.

（3）如图4， ∠𝐴𝑂𝐵=30° ， 𝑂𝐶=5 ， 𝑂𝐷=12 ，点 𝐸 ， 𝐹 分别是射线 𝑂𝐴 ， 𝑂𝐵 上的动点，则 𝐶𝐹+𝐸𝐹+𝐷𝐸 的最小值为________.

答案解析部分

一、选择题 1.【答案】 D

【解析】【解答】解：观察图形可知A、B、C都是轴对称图形； D、不是轴对称图形. 故答案为：D.

【分析】根据轴对称图形的定义，把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项进行判断，即可求解. 2.【答案】C

【解析】【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是4和8， ∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12． 故选C

【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论． 3.【答案】 C

【解析】【解答】解：根据不等式的性质1不等式的两边同时加（或减）同一个不为0的整式，不等号的方向不变， 可得 𝑎−4>𝑏−4 ， −5+𝑎>−5+𝑏 ，所以A选项正确；C选项错误；根据不等式的基本性质3不等式的两边同时称（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得 −2𝑎<−2𝑏 ， −3<− ，所以B选项和D选项正确. 3故答案为：C

【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B，D作出判断；利用不等式的性质1和2，可对C作出判断。 4.【答案】 B

【解析】【解答】解：A选项 ∵𝐴𝐶=𝐴′𝐶′ ， ∠𝐴=∠𝐴′ ， 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(𝑆𝐴𝑆) ，A正确；

B选项 ∵∠𝐴=∠𝐴′ ， 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ， 𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ ，这种情况不能判定三角形全等，B错误； C选项 ∵∠𝐴=∠𝐴′ ， 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ， ∠𝐵=∠𝐵′ ， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(𝐴𝑆𝐴) ，C正确； D选项 ∵∠𝐶=∠𝐶′ ， ∠𝐴=∠𝐴′ ， 𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(𝐴𝐴𝑆) ，D正确. 故答案为：B

【分析】判定三角形全等可依据SSS、SAS、ASA、AAS. 5.【答案】 C

【解析】【解答】解： ∵−3<0,𝑚2+1>0

𝑏

𝑎

∴ 点P在第二象限

∴ 点P关于x轴的对称点在第三象限. 故答案为：C

【分析】根据平方的性质可知 𝑚2+1>0 ，可知点P在第二象限，其关于x轴的对称点在第三象限. 6.【答案】 C

【解析】【解答】解：由题意可知平移后的图象对应的函数解析式为 𝑦=𝑥+2 ，

A选项，当 𝑥=−2 时， 𝑦=−2+2=0≠2 ，所以点 (−2,2) 不在平移后的直线上，A错误； B选项，当 𝑥=2 时， 𝑦=2+2=4≠3 ，所以点 (2,3) 不在平移后的直线上，B错误； C选项，当 𝑥=2 时， 𝑦=2+2=4 ，所以点 (2,4) 在平移后的直线上，C正确； D选项，当 𝑥=2 时， 𝑦=2+2=4≠5 ，所以点 (2,5) 不在平移后的直线上，D错误. 故答案为：C.

【分析】根据上加下减可知平移后的图象对应的函数解析式为 𝑦=𝑥+2 ，将点代入验证即可. 7.【答案】 D

【解析】【解答】解： ∵𝐷𝐸 垂直平分 𝐴𝐶

∴𝐶𝐸=𝐴𝐸,𝐶𝐷=𝐴𝐷=3

∵△𝐴𝐵𝐸 的周长为13 ∴𝐴𝐵+𝐵𝐸+𝐴𝐸=13

∴𝐴𝐵+𝐵𝐸+𝐶𝐸=13 ，即 𝐴𝐵+𝐵𝐶=13

∴△𝐴𝐵𝐶 的周长 =𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=13+𝐶𝐷+𝐴𝐷=13+6=19 故答案为：D

【分析】由线段垂直平分线的性质可得 𝐶𝐸=𝐴𝐸,𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，等亮代换可得 𝐴𝐵+𝐵𝐶 的长，易知 △𝐴𝐵𝐶 的周长.

8.【答案】 A

【解析】【解答】如图：

由折叠得：∠A=∠A'，

∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故答案为：A.

【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 9.【答案】 C

【解析】【解答】解：解 3𝑥−1>4(𝑥−1) 得 𝑥<3 3𝑥−1>4(𝑥−1)

的解集为 𝑥<3 ∵ 不等式组 {

𝑥<𝑎

∴𝑎≥3

故答案为：C

【分析】先求出第一个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定a的取值范围. 10.【答案】 B

【解析】【解答】解：设 𝑂𝐴=𝑎 ， ∵△𝑂𝐴𝐵 是等腰三角形，且 ∠𝑂𝐴𝐵=90°

∴𝐴𝐵=𝑂𝐴=𝑎

2在等腰 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐶=𝐵𝐶,∠𝐵𝐴𝐶=45° ，由勾股定理得 𝐴𝐶=√𝑎

2

作 𝐶𝐷⊥𝑥 轴交于点D，则 ∠𝐶𝐴𝐷=180°−∠𝑂𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐵=45°

∴𝛥𝐴𝐶𝐷 是等腰直角三角形

∴𝐴𝐷=𝐶𝐷

由勾股定理得 𝐶𝐷2+𝐴𝐷2=𝐴𝐶2 ，即 2𝐶𝐷2=𝐴𝐶2=(√𝑎)2=𝑎2 ，

22

1

∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝑎

23

∴𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐴𝐷=𝑎

231∴𝐶(𝑎,𝑎)

22 设直线 𝑂𝐶 的函数表达式为 𝑦=𝑘𝑥 ，将点C坐标代入得 2𝑎=𝑘·2𝑎 解得 𝑘=3 所以直线 𝑂𝐶 的函数表达式为 𝑦=3𝑥 故答案为：B

【分析】设 𝑂𝐴=𝑎 ，由等腰直角三角形的性质可用含 𝑎 的式子表示出点C的坐标，设直线 𝑂𝐶 的函数表达式为 𝑦=𝑘𝑥 ，将点C坐标代入求解即可. 二、填空题

1

1

1

3

21

1

11.【答案】3𝑥+2𝑥≤0

【解析】【解答】解：根据题意得 3𝑥+2𝑥≤0 故答案为： 3𝑥+2𝑥≤0

【分析】非正数说明是负数或0，用 \"≤\" 表示，再根据题意列不等式即可. 12.【答案】 如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等

【解析】【解答】将“对顶角相等”改写为“如果...那么...”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等. 【分析】根据命题的形式解答即可. 13.【答案】 4

【解析】【解答】解：点 𝑃(𝑎,𝑏) 到x轴的距离为 |𝑏| ，所以点 𝑃(−3,4) 到 𝑥 轴的距离为4. 故答案为：4.

【分析】根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可直接得出答案. 14.【答案】 k＜-1

2𝑘+1<0① 【解析】【解答】解：根据题意得 {

−𝑘−1>0②解不等式①得 𝑘<−2 解不等式②得k＜-1

所以该不等式组的解集为k＜-1. 故答案为：k＜-1

【分析】根据图象不经过第三象限可确定自变量的系数的取值范围及常数项 满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围. 15.【答案】 1.5或2

【解析】【解答】解：当底边为2时，腰长 =

5−22

1

1

1

=1.5 ，符合题意；

当腰长为2时，底边 =5−2−2=1 ，符合题意. 故答案为：1.5或2.

【分析】分类讨论，这个边长可能为底边长也可能为腰长. 16.【答案】<

【解析】【解答】解： ∵𝑘=−2<0

∴ 一次函数 𝑦=−2𝑥+1 中y随x的增大而减小

∵𝑥1>𝑥2 ∴𝑦1<𝑦2

故答案为：<.

【分析】根据一次函数的图象与性质，得出y随x的增大而减小，由𝑥1>𝑥2 ， 即可得出𝑦1<𝑦2.

7

17.【答案】(0,4)

【解析】【解答】解：令 𝑦=0 ， 0=3𝑥+8 ，解得 𝑥=−6

∴𝐴(0,8),𝐵(−6,0)

∴𝑂𝐴=8,𝑂𝐵=6 连接BC，

4

∵ CD是线段AB的垂直平分线 ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶

设 𝑂𝐶=𝑥 ，则 𝐵𝐶=𝐴𝐶=8−𝑥 ，

在 𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶 中，由勾股定理 𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=𝐵𝐶2 即 62+𝑥2=(8−𝑥)2 解得 𝑥=4

7

∴𝑂𝐶=

4∴𝐶(0,4) 故答案为： (0,4)

【分析】求出点A、点B的坐标，连接BC，由线段垂直平分线的性质可知 𝐵𝐶=𝐴𝐶 ，设 𝑂𝐶=𝑥 ，则 𝐴𝐶=𝑂𝐴−𝑥 ，在 𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶 中，由勾股定理求解即可. 18.【答案】 6

【解析】【解答】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°， ∴∠APO=∠COD. 在△APO和△COD中，

∠A=∠C ,APO=∠COD ,OP=OD ， ∴△APO≌△COD（AAS）， ∴AP=CO， ∵CO=AC-AO=6， ∴AP=6. 故答案为：6.

【分析】根据等边三角形的性质及旋转的性质得出∠A=∠C ，APO=∠COD ，OP=OD，证出△APO≌△COD，得出AP=CO=AC-AO，即可求解. 三、解答题

19.【答案】 （1）解： 3𝑥−1≥2𝑥+4

7

7

7

移项得 3𝑥−2𝑥≥4+1 合并同类项得 𝑥≥5

5𝑥−3<4𝑥① （2）解： {

4(𝑥−1)+3≥2𝑥②解不等式①得 𝑥<3 解不等式②得 𝑥≥2 所以该不等式组的解集为 2≤𝑥<3 .

【解析】【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；

（2）分别求出两个不等式的解集，根据“大小小大取中间”得出不等式的解集. 20.【答案】 解：如图，直线AD即为所求：

1

1

【解析】【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．

21.【答案】 （1）解：当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b， 30𝑘+𝑏=60

， 则 {

40𝑘+𝑏=90𝑘=3

解得{) ，

𝑏=−30所以y=3x﹣30；

（2）解：若小李4月份上网20小时，由图象可知，他应付60元的上网费； （3）解：把y=75代入，y=3x-30，解得x=35，

∴若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是35小时. 【解析】【分析】（1）当x≥30，利用待定系数法求出直线AC的解析式即可. （2）当x＜30时，上网费用不变，都等于60元. （3）把y=75代入y=3x-30中，求出x值即可.

22.【答案】 证明：过点D作 𝐷𝐺⊥𝐴𝐸 于点G， 𝐷𝐻⊥𝐴𝐹 于点H，则 ∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐵𝐻𝐷=90°

∵𝐷 是 ∠𝐸𝐴𝐹 平分线上的一点

∴𝐷𝐺=𝐷𝐻

∵∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐵𝐷=180°,∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐺𝐶𝐷=180°

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐺𝐶𝐷

在 𝛥𝐶𝐺𝐷 和 𝛥𝐵𝐻𝐷 中

∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐺𝐶𝐷

{∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐵𝐻𝐷

𝐷𝐺=𝐷𝐻

∴𝛥𝐶𝐺𝐷≅𝛥𝐵𝐻𝐷(𝐴𝐴𝑆) ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷 即 𝐶𝐷=𝐷𝐵

【解析】【分析】过点D作 𝐷𝐺⊥𝐴𝐸 于点G， 𝐷𝐻⊥𝐴𝐹 于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DG=DH，根据同角的补角相等得出∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐴𝐵𝐷 ，由AAS可证 𝛥𝐶𝐺𝐷≅𝛥𝐵𝐻𝐷 ，由全等的性质可得结论.

23.【答案】 （1）解：∵直线 𝑦=−3𝑥 经过点B（ 𝑎 ， 2 ），∴ 2=−3𝑎 . 解得 𝑎=−3 . ∵直线 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 经过点A（ −2 ， 4 ）和点B（ −3 ， 2 ）， 4=−2𝑘+𝑏𝑘=2∴ { 解得 {

2=−3𝑘+𝑏𝑏=8

∴直线 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的解析式为 𝑦=2𝑥+8 .

（2）解：当 𝑦=0 时， 2𝑥+8=0 ，解得 𝑥=−4 . ∴点C的坐标为（ −4 ， 0 ）. 设平移后的直线的解析式为 𝑦=−3𝑥−𝑚 . ∵平移后的直线经过点C（ −4 ， 0 ）， ∴ 0=−3×(−4)−𝑚 . 解得 𝑚=3 .

（3）解： 𝑥<−3

【解析】【分析】（1）将点B坐标代入正比例函数解析式求出a的值；将A、B两点的坐标代入 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 求出k,b的值，从而求出一次函数的解析式；

（2）求出点C的坐标，然后设出平移后的解析式，将点C代入进行求解；

（3）求关于x的不等式 −3𝑥>𝑘𝑥+𝑏 的解集，就是求直线 𝑦=−3𝑥 的图象在直线 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的图象上方部分的自变量的取值范围.

24.【答案】 （1）解：作点A 关于x轴的对称点 𝐴′ ，连接 𝐴′𝐵 ， 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值即为 𝐴′𝐵 的长，构造以 𝐴′𝐵 为斜边的直角三角形

2

2

2

82

2

2

∵𝐴(1,1),∴𝐴′(1,−1) ∵𝐵(4,3)

∴𝐴′𝐶=4−1=3,𝐵𝐶=3+1=4

在 𝑅𝑡𝛥𝐴′𝐵𝐶 中，由勾股定理得 𝐴′𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴′𝐵2 即 𝐴′𝐵=√32+42=5 所以 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值为5.

（2）3√3 （3）13

【解析】【解答】解：（2）作 𝐵𝐻⊥𝐴𝐶 于点H，交AD与点 𝑀′ ，过点 𝑀′ 作 𝑀′𝑁′⊥𝐴𝐵 于点 𝑁′则 𝐵𝑀+𝑀𝑁 的最小值为 𝐵𝑀′+𝑀′𝑁′ ，

∵𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶 ， 𝐵𝐻⊥𝐴𝐶 ， 𝑀′𝑁′⊥𝐴𝐵

∴𝑀′𝑁′=𝑀′𝐻

∴𝐵𝑀′+𝑀′𝑁′=𝐵𝑀′+𝑀′𝐻=𝐵𝐻 在 𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐻 中， ∵∠𝐵𝐴𝐶=60°

∴∠𝐴𝐵𝐻=30° ∴𝐴𝐻=12𝐴𝐵=1

2×6=3

由勾股定理得 𝐴𝐻2+𝐵𝐻2=𝐴𝐵2

∴𝐵𝐻=√𝐴𝐵2−𝐴𝐻2=√62−32=3√3

∴𝐵𝑀′+𝑀′𝑁′=𝐵𝐻=3√3

，

所以 𝐵𝑀+𝑀𝑁 的最小值为 3√3 ; 故答案为： 3√3 ;

（ 3 ）作点C关于OB的对称点 𝐶′ ，作点D关于OA的对称点 𝐷′ ， 连接 𝐶′𝐷′ 分别交OA、OB于点 𝐸′,𝐹′ ，连接 𝑂𝐶′,𝑂𝐷′ ，则 𝐶𝐹+𝐸𝐹+𝐷𝐸 的最小值为 𝐶′𝐷′ 的长.

由对称可得OA垂直平分 𝐷𝐷′ ，OB垂直平分 𝐶𝐶′ ，

∴𝑂𝐷′=𝑂𝐷=12,∠𝐴𝑂𝐷′=∠𝐴𝑂𝐵=30°,𝑂𝐶′=𝑂𝐶=5,∠𝐶′𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵=30° ∴∠𝐷′𝑂𝐶′=∠𝐴𝑂𝐷′+∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐶′𝑂𝐷=90° 在 𝑅𝑡𝛥𝐷′𝑂𝐶′ 中由勾股定理得 𝑂𝐶′2

+𝑂𝐷′2

2

=𝐶′𝐷′2

2

∴𝐶′𝐷′=√𝑂𝐶′所以 𝐶𝐹+𝐸𝐹+𝐷𝐸 的最小值为13. 故答案为：13.

+𝑂𝐷′=√122+52=13

【分析】（1）作点A 关于x轴的对称点 𝐴′ ，连接 𝐴′𝐵 ， 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值即为 𝐴′𝐵 的长，并构造以 𝐴′𝐵 为斜边的直角三角形利用勾股定理求出 𝐴′𝐵 长即可；

（2）作 𝐵𝐻⊥𝐴𝐶 于点H，交AD与点 𝑀′ ，过点 𝑀′ 作 𝑀′𝑁′⊥𝐴𝐵 于点 𝑁′ ，则 𝐵𝑀+𝑀𝑁 的最小值为 𝐵𝑀′+𝑀′𝑁′ ，由角平分线的性质可得 𝑀′𝑁′=𝑀′𝐻 ，则 𝐵𝑀′+𝑀′𝑁′=𝐵𝐻 ，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；

（3）作点C关于OB的对称点 𝐶′ ，作点D关于OA的对称点 𝐷′ ， 连接 𝐶′𝐷′ 分别交OA、OB于点 𝐸′,𝐹′ ，连接 𝑂𝐶′,𝑂𝐷′ ，则 𝐶𝐹+𝐸𝐹+𝐷𝐸 的最小值为 𝐶′𝐷′ 的长，由对称的性质可得 𝑂𝐷′,𝑂𝐶′ 长，根据勾股定理求出 𝐶′𝐷′ 长即可.