大一第二学期高数论文设计

高数学习的心得体会

姓名：某某某 学院：某某学院

班级：某某***班 学号：**********

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【摘要】

又经过一个学期的学习，我对高数的认识又有不同了，大一上学期的学习主要是对高数的基础进行认识，而大二的学习就是更深入延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。学习高数我们应该有严谨的态度，在努力的基础上加上认真，才能更好的学习。 【关键词】

导数 微分 重积分 级数

一、对高数的认识

已经经过两个学期的学习，我对高数的认识已然不同，高数是最最有用的课程之一，后面的好多课程都会用到高数的知识。 高数是公共基础课，对工科学生尤为重要，后续课程都会用到，比如，接下来的复变函数、积分变换是高数的延续，而大学物理、电路、电子技术等都需要高数的知识进行解题。是进一步进修不可或缺的 考研等都要考数学。总之高数是理工科基础的基础。就像你小学学的加减法是你继续学习的基础一样。数学培养的是

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我的思维，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而我建立模型地基础就是我怎样把实际问题转化为数学问题。

而很多时候数学的学习是有很多趣味的，像重积分，二重积分，哪怕是三重积分，那些变化，通过立体模型的解题过程是多么的好玩，多么的妙趣横生。 二、如何学习 (1)课前预习

从小到大，经过这么多年的学习，当然发现适当的预习是必要的，在上课前对所学知识的先行认识，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 (3)课后复习

复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。三、高数解题方法 （多重积分）

1.高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛。

1.1曲面的面积

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设曲面的方程为zfx,y，在xoy面上的投影为Dxy，函数fx,y在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为：

ADff221dxdy1fx,yfxyx,ydxyD

22若曲面的方程为x积为：

2gy,z，在yoz面上的投影为Dyz，则曲面的面

2ADgg221dydz1fy,zfyzy,zd yzD若曲面的方程为积为：

yhz,x，在zox面上的投影为Dzx，则曲面的面

22ADhh221dzdx1fzz,xfxz,xd

zxD2例1：计算双曲抛物面zxy被柱面x解：曲面在xoy面上投影为D:x2y2R2所截出的面积A。

y2R2,则

22A1zxzydxdy

D即有:

A1xydxdydD0222R03221rrdr1R2132

y2R2所截出的面积A如上所示。

例2:求半径为a的球的表面积.

从而被柱面x解:取上半球面方程为z2a2x2y2,

222Dx,yxyaxoy则它在面上的投影区域

.

zxzy,,又由 222222xaxyyaxy

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得

azz1.222xyaxy

22因为这函数在闭区域D上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域

D1x,yx2y2b20ba为积分区域,算出相应于D1的球面面积

A1后,令ba取A1的极限就得半球面的面积.

A1D1aaxy222dxdy,

b利用极坐标,得

A1D1aa22ddad02da22

0

222limAlim2aaab2a. 1于是

baba这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为

A4a2.

1.2质量

1.2.1平面薄片的质量

若平面薄片占有平面闭区域

D，面密度为x,y，则它的质量为

mx,yd，其中dmx,yd称为质量元素.

D1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域

，体密度为

x,y,z，则它的质量为

mx,y,zdvD

例3：由螺线2，与直线2，围成一平面薄片D，它的面密度为

x2y2，求它的质量。 y

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x

o

2mdxdyxydxdyd解：如图所示，d

DD200222521542d4050404

1.3质心

1.3.1平面薄片的质心

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为x,y，则它的质心坐标为：

1xxx,ydmD，其中m为平面薄片的质量. 1yyx,ydmD1.3.2物体的质心

若物体占有空间闭区域，体密度为x,y,z，则它的质心坐标为：

1xx,y,zdvmD1yx,y,zdvmD，其中m为物体的质量. 1zx,y,zdvmD例4：求位于两球面x2y2z24，和x2y2z11之间的

22均匀物体的质心.

解：由对称性可知，质心必须位于z轴上 ，故

x0,y0

由公式

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z由面1zdmzdd

常数，不妨设1，则

d的体积，

442823-13333

zdzd

dd02024cos2coscos2sind4cosd02201sincos4d42cos2201sincos44cos416cos4d41202sincos5d0

126120cos6020z所以

2015， 2873150,0,。 从而质心坐标为7例5:求位于两圆解：如图所示：

因为闭区域D对称于轴y轴，所以质心C大全

2sin和4sin之间的均匀薄片的质心。

x,y，必位于y轴上，于是x0。

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再按公式

y1ydAD

计算y，由于闭区域D位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即A3。再利用极坐标计算积分 y D

o

x

ydDD2sinddsind04sin2sin564dsind7302因此 y77, 337所以质心是C0,3。

1.4转动惯量

1.4.1平面薄片的转动惯量

若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为转动惯量分别为:

x,y，则它对轴,轴以及对原点的

Ixy2d,Iyx2d,Iox2y2dDDD

1.4.2物体的转动惯量

若物体占有空间闭区域，体密度为动惯量分别为:

x,y,z，则它对轴,轴以及对原点的转

Ixx2y2d,Iyz2x2d,Izx2y2d,Iox2y2z2d

例6：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。 y 大全

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x2y2a2解:建立坐标系如图所示:D:y0x

232

a

o

Ixydxdyrsindrdsindr3drDD002141a242212又半圈薄片的质量Ma

2

Ix1Ma2.. 4例7：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点, z轴为l轴,设球所占域为

:x2y2z2a2,则

Ix2y2dxdydzr2sin2cos2r2sin2cos2r2sindrddd0202222435sindrdra21aMMa.053533a4

1.5引力

1.5.1平面薄片对质点的引力

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为x,y，质量为m的质

点位于x0,y0，设薄片对质点的引力为FFx,Fy，则

FxGmDxx0dr3FGm, yDyy0dr3

其中rxx02yy02,G为引力常数.

x,y,z，质量为m的质点位于

1.5.2物体对质点的引力

若物体占有空间闭区域，体密度为大全

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x0,y0,z0，设薄片对质点的引力为FFx,Fy,Fz，则

FxGmxxodr3FyGmyyodr3FzGmzzodr3

其中rxx02yy02zz02,G为引力常数.

例8：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。

解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为

x2y2zR，

 设密度为，所求FFx,Fy,Fz用微元法讨论，在圆锥任意一点x,y,z处取微元d，则此小块质量为d，它对原点处单位质点引力为：

d1ddFG2rG3r，其中rx,y,z,rx2y2z2.

rrr由对称性可知FxFy0，

dFzdFcos

zz因为cos，所以dFzG3d，

rr从而

FzGzd3 r大全

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G20z2zR0232dddzRGddRz0G2z02R2z2122d32dRzR0 1d2G2202R222GR2G12所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F22GR。

例9：求半径为R的均匀球x单位质量质点的引力.

2y2z2R2对位于点M00,0,aaR的

Fx0解：利用对称性知引力分量Fx

FzGzax2y2zadxdy23d2

GGRRRzadzDzx2yza2R2z20232Rzadz0R2drdrr2za23211dz2Gzaaz22RR2aza

1R2G2RzadR22aza2aRMG2a4R3M为球的质量。3大全

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四.总结

高数的学习还有很久，我也知道大学高数很需要时间去锻炼，学习过程中也会有很多的困难，但是我会努力去学习。多和室友交流学习。

高等数学作为大学的一门课程，自然与其它课程有着共同之处，那就是讲课速度快。刚开始，我非常不适应。上一题还没有消化，老师已经讲完下一题了。带着几分焦虑，我向学长请教学习经验，才明白大学学习的重点不仅仅是课堂，课下的预习与复习是学好高数的必要条件。于是，每节课前我都认真预习，把不懂的地方作上记号。课堂上有选择、有计划地听讲。课后及时复习，归纳总结。逐渐地，我便感到高数课变得轻松有趣。只要肯努力，高等数学并不会太难。

虽然说高等数学在我们的实际生活中，并没有什么实际的用途，但是通过学习高等数学，我们的思想逐渐成熟，高等数学对我们以后的学习奠定了基础，特别是理科方面的学习，所以说，在今后的学习中，可以充分的运用数学知识，不断地完善自己。

更加努力学习

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