1959年至2016年历届IMO精彩试题(不含问题详解)

第一届（1959年）

罗马尼亚 布拉索夫（Braşov，Romania）

21n41. 求证14n3 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰）

2. 设x2x1x2x1A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： a)A2；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚）

3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程

acos2xbcosxc0

试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利）

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利）

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证：AF、BC 相交于N点；

b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S； c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚）

6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）

第二届（1960年）

罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania）

1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。（保加利亚） 2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利）

14x212x22x9

3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚）

tan4nh 2n1a

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4. 已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从 A引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利） 5. 正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面 ABCD，下底面 A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a) 求XY中点的轨迹；

b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z的轨迹。（捷克斯洛伐克）

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令V1 为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。

a) 求证：V1不等于V2；

b) 设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国） 7. 一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。

a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角； b) 计算P点到两底的距离；

c) 判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚）

第三届（1961年）

匈牙利 维斯普雷姆（Veszprém，Hungary）

1. 设a，b为常数，解方程组

xyza2222（匈牙利） xyzb，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。

xyz22. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明a2b2c243S并说明何时取等号。（波兰）

nn3. 解方程cosxsinx1，n是自然数。（保加利亚）

4. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字

PPPPP1P,2,3PQ1PQ2PQ3至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国）

5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω<90°。证明：当且仅当

btan2（捷克斯洛伐克） cb时可作出此三角形，并说明何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、

C’。设L、M、N分别为线段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。问：当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚）

第四届（1962年）

捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采（České Budějovice，Czechoslovakia）

1. 找出具有下列各性质的最小正整数n： a) 它的最后一位数字是 6；

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b) 如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。（波兰） 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

3xx11（匈牙利） 23. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点X沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向 B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线段XY的中点的轨迹。（捷克斯洛伐克）

222

4. 解方程 cosx+cos2x+cos3x=1。（罗马尼亚）

5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。（保加利亚）

6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是R(R2r)。（民主德国）

7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。（苏联）

第五届（1963年）

波兰 弗罗茨瓦夫（Wroclaw，Poland）

1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：

x2p2x21x（捷克斯洛伐克）

2. 给定一点A及线段BC，设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A点，另一边与线段BC相交的角为直角，试求出所有满足条件的点的轨迹。（苏联）

3. 在一个n边形中，所有内角都相等，相连的边长度满足a1≥a2≥…≥an。 求证：所有边长都相等。（匈牙利）

x5x2yx1xxyx1324. 设 y 是一个参数，试找出方程组x2x4yx3的所有解x1，x2，x3，x4，x5。（苏联）

xxyx435x4x1yx55. 求证cos7cos231（民主德国） cos。

7726. 五个同学A、B、C、D、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学

的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？（匈牙利）

第六届（19年）

苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）

1. a) 求所有正整数n使得2—1能被7整除；

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b) 求证不存在正整数n使得2+1能被7整除。（捷克斯洛伐克） 2. 假设a、b、c是三角形的三边长，求证：

na2(bca)b2(acb)c2(abc)3abc（匈牙利）

3. 三角形ABC的三边长分别为a、b、c。分别平行于三角形ABC的各边作三角形ABC内切圆 的切线，每条切线都在△ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a、b、c表示）。（南斯拉夫）

4. 十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。（匈牙利）

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。（罗马尼亚）

6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、 CAD、ABD于点A1、B1、C1，求证：ABCD的体积是A1B1C1D0的三分之一；再问如果D0为三角形 ABC 内的任意一点，结果是否仍然成立？

（波兰）

第七届（1965年）

民主德国 柏林（Berlin，German Democratic Republic）

1. 找出所有的x（0≤x≤2π）使其满足2cosx1sin2x1sin2x2. 如下方程组

2。（南斯拉夫）

a11x1a12x2a13x30a21x1a22x2a23x30 axaxax0311322333其中x1、x2、x3未知。系数满足以下条件： a) a11、a22、a33为正数； b) 其余系数是负数；

c) 在每个方程中，系数的和是正数。 证明该方程组只有唯一解x1=x2=x3=0。（波兰）

3. 给出四面体ABCD，其中AB和CD长度分别为a和b。异面直线AB和CD的距离为d，夹角为ω。四面体ABCD被平面ε分为两部分，平面ε平行于AB和CD。AB和CD到平面ε的距离的比为k。计算出这两部分的体积之比。（捷克斯洛伐克）

4. 找出所有满足条件的四个实数x1、x2、x3、x4，它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。（苏联） 5. 给出三角形OAB，其中∠AOB是锐角。M是边AB上除O外的任意一点，从M点向OA和OB作垂线，垂足为P、Q。设三角形OPQ的垂心为H。当M在下列范围移动时，求H的轨迹。 a) 边AB；

b) 三角形OAB内部。（罗马尼亚） 6. 在平面上给出了n个点（n≥3）。每对点都有线段相连。令d为这些线段中最长的线段的长度。我们定义d就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合中长度为d的线段至多有n条。（波兰）

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第八届（1966年）

保加利亚 索菲亚（Sofia，Bulgaria）

1. 在一次数学竞赛有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？（苏联） 2. 令a、b、c为三角形的三边，其对角分别为α、β、γ。证明如果abtan2(atanbtan)，那么

三角形是等腰三角形。（匈牙利）

3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。（保加利亚）

4. 求证：对于任一自然数n，以及任一实数xk（t=0,1，…，n；k为整数），都有 2t111...cotxcot2nx（南斯拉夫） nsin2xsin4xsin2x5. 解方程组：

a1a2x2a1a3x3a1a4x41a2a1x1a2a3x3a2a4x41a3a1x1a3a2x2a3a4x41a4a1x1a4a2x2a4a3x31

其中a1、a2、a3、a4是四个不同的实数。（捷克斯洛伐克）

6. 已知三角形ABC，K、L、M分别是BC、CA、AB的内点。求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个三角形的面积不大于三角形ABC的四分之一。（波兰）

第九届（1967年）

南斯拉夫 采蒂涅（Centinje，Yugoslavia）

1. 在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=1，∠BAD=A，且三角形ABD是锐角三角形。求证：当且仅当（捷克斯洛伐克） acosA3sinA时，以A、B、C、D为圆心，半径为1的四个圆能覆盖这个平行四边形。2. 求证：只有一条边大于1的四面体体积不大于

1。（波兰） 83. 令k，m，n为自然数且满足m+k+1是一个大于n+1的质数，cs=s(s+1)。求证：

(cm1ck)(cm2ck)...(cmnck)能被乘积c1c2…cn整除。（英国）

4. 三角形A0B0C0和A1B1C1是锐角三角形。考虑所有与三角形A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。（意大利） 5. 考虑数列{cn}，其中

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c1a1a2...a822c2a12a2...a8 ...nncna1na2...a8...其中a1、a2、…、a8是不全为零的实数。如果数列{cn}中有无穷多项等于0，试求所有使cn=0的自然数n。（苏联） 6. 在一次运动会中，连续n天内（n>1）一共颁发了m块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中的

11；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的；依此类推。在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完77毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？（匈牙利）

第十届（1968年）

苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）

1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。（罗马尼亚）

2

2. 试找出所有自然数n，其各位数的乘积等于n-10n-22。（捷克斯洛伐克） 3. 考虑以下方程组

ax12bx1cx22ax2bx2cx3 ...2axn1bxn1cxn2axnbxncx1其中x1、x2、…、xn是未知数，a、b、c为实数并且a≠0。令Δ=(b-1)-4ac。证明对这个方程组 a) Δ<0，无解；

b) Δ=0，有且只有一个解； c) Δ>0，有一个以上的解。（保加利亚）

4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。（波兰） 5. 设f是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x和任一正数a，等式

2

f(xa)12f(x)f(x)都成立。

2a) 证明函数f是周期函数（比如，存在一个正数b使得对于所有x满足f(x+b)=f(x)）。 b) 当a=1时，给出一个非常值函数的例子。（民主德国） 6. 对于任一自然数n，试求和

n2kn1n2n2k。（英国） k14...2k1...（[x]表示不大于x的最大整数）22k0

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第十一届（1969年）

罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania）

1. 证明对任意正整数a和任一正整数n都满足：数字z=n+a不是质数。（民主德国） 2. 令a1，a2，…，an为实数常数，x为实数变量，且

4

y(x)cos(a1x)cos(anx)cos(a2x)cos(a3x)。若f(x1)=f(x2)=0，证明对于一些整数m有...2n1222x2-x1=mπ。（匈牙利）

3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出a>0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k个边的长度均为1。（波兰）

4. 以AB为直径作半圆γ。C是γ上不同于A和B的一个点，D是C到AB的垂线的垂足。我们作三个圆γ1、γ2、γ3都与直线AB相切。在这里，γ1是△ABC的内切圆，而γ2和γ3都与直线CD和圆γ相切，且位于直线CD的两边。证明γ1、γ2、γ3还有一条公切线。（荷兰）

5. 给出平面上n个点（n>4），其中任意三点都不共线。证明至少有中的四个。（蒙古）

226. 求证：对于所有实数x1、x2、y1、y2、z1、z2，其中x1>0，x2>0，x1y1z10，x2y2z20，满足不等式

n3个凸四边形其顶点都是给出的点其2811，并给出等号成立的条件。（苏联） 222(x1x2)(y1y2)(z1z2)x1y1z1x2y2z2第十二届（1970年）

匈牙利 凯斯特海伊（Keszthely，Hungary）

1. M是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证：

r1r2r（波兰） 。

q1q2q2. 已知a、b、n是大于1的整数，且a、b是两个计数系统的底。An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数；它们的联系如下：

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Anxnxn1...x0,An1xn1xn2...x0,Bnxnxn1...x0,Bn1xn1xn2...x0, xn0,xn10证明：当且仅当a>b时有

An1Bn1。（罗马尼亚） AnBn3. 实数a0，a1，…，an，…满足条件：1=a0≤a1≤a2≤…≤an≤…。并数字b1，b2，…，bn，…被定义为

bn(1k1nak11)。 akaka) 求证对于所有n都有0≤bn＜2。

b) 设c满足0≤c＜2，证明对于足够大的n存在满足上面要求的a0，a1，…能使bn>c。（瑞典）

4. 试找出所有的正整数n使得集合{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5}可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。（捷克斯洛伐克）

2

5. 在四面体ABCD中，∠BDC是直角。假设点D到平面ABC的垂线的垂足H是△ABC的垂心。求证：(AB+BC+CA)

222

≤6(AD+BD+CD)，并指出在什么情况下等号成立。（保加利亚） 6. 一个平面上有100个点，任意三点都不共线。求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。（苏联）

第十三届（1971年）

捷克斯洛伐克 日利纳（Žilina，Czechoslovakia）

1. 证明下面的说法在n=3或n=5时是正确的，而在其它大于2的自然数n是错误的： 如果a1，a2，…，an为任意实数，那么

(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)+...+(an-a1)(an-a2)...(an-an-1)≥0。（匈牙利）

2. 一个有9个顶点A1，A2，…，A9的凸多面体P1，若将顶点A1移至Ai时则P1平移为Pi（i=2,3，…，9），求证在P1，P2，…，P9中至少有两个多面体有一个公共内点。（苏联）

k3. 求证：一个由形式2-3（k=2,3，…）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。（波兰） 4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形。我们定义形如XYZTX的所有闭合多边形路径如下：X是AB边上不同于A和B的一点；类似地，Y，Z，T分别是边BC、CD、DA的内点。求证：

a) 如果∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC，那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。 b) 如果∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC，那么将有无数条最短路径，它们的长度都是2ACsin2，其中α=∠BAC+∠CAD+∠DAB。（荷兰）

5. 证明对于任一自然数m，都存在一个在同一平面上的有限点集S，满足下列条件：对于S中的每个点A，恰好有m个在S中的点到A点的距离为单位长。（保加利亚）

6. 令A=(aij)(i，j=1,2，…，n）为一个元素都是非负整数的方阵。假设有一个元素aij=0，那么第i行的元素

n2和第j列的元素的和不小于n。求证：这个方阵的所有元素的和不小于。（瑞典）

2

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第十四届（1972年）

波兰 托伦（Toruń，Poland）

1. 有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。（苏联）

2. 设n≥4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。（荷兰） 3. 设m、n为任意非负整数。求证：

(2m)!(2n)!是整数。（0！=1）（英国）

m!n!(mn)!4. 找出下述方程组的解（x1，x2，x3，x4，x5），其中x1，x2，x3，x4，x5是正实数。

2(x12x3x5)(x2x3x5)022(x2x4x1)(x3x4x1)022(x3x5x2)(x4x5x2)0（荷兰） 22(x4x1x3)(x5x1x3)02(x5x2x4)(x12x2x4)05. 令f和g为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x和y都满足等式

f(xy)f(xy)2f(x)g(y)。求证：如果f(x)不恒为0，对于所有x都有f(x)1，那么对于所有y都有g(y)1。（保加利亚）

6. 给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。（英国）

第十五届（1973年）

苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）

1. 点O在直线g上；OP1,OP2,...,OPn是单位向量，而P1，P2，…，Pn都与g在同一平面且都在g的一侧。证明当n为奇数时，OP（捷克斯洛伐克） 1OP2...OPn1。这里OM代表向量OM的长度。

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2. 判断是否存在不在同一平面内的有限点集M，对于M内的任何两个点A和B，都可以在M中找到任何两个点C、D使得AB和CD平行但不重合。（波兰）

4323. 找出所有实数a和b使得方程xaxbxax10至少有一个实根。对于所有这样的对（a，b），找

22出ab的最小值。（瑞典）

4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？（南斯拉夫） 5. G是一个定义域为实数集的形如f(x)=ax+b（a、b为实数）的非常值函数的集合，且G满足： a) 如果f和g都在G内，那么gf也在G内；这里(gf)(x)gf(x)。

1b) 如果f在G内，那么它的反函数f也在G内；这里f(x)=ax+b的反函数是f1(x)xb。 ac) 对于G内的每一个f，都有一个实数xf可使f(xf)=xf。 求证：存在一个实数k对于G内的所有f都有f(k)=k。（波兰）

6. 设a1，a2，…，an是n个正数，q是0到1之间的一个给定的实数。找到n个数b1，b2，…，bn使之满足： a) 对于k=1,2,...,n都有ak民主德国 埃尔福特（Erfurt，DR Germany）

1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，这三个数p、q、r满足02. 在三角形ABC中，证明AB边上存在点D使得CD是AD和DB的几何平均数的充要条件是sinAsinBsin（芬兰） 3. 求证：数字

2C。22n13k（罗马尼亚） 2不论任何整数n≥0都不能被5整除。

k02k1n4. 考虑一个8×8的棋盘分成p个不重叠的长方形并满足： i) 每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。

ii) 如果ai是第i个长方形的白色格子的个数，那么a1找出所有可能的p的最大值。对于这个p值，判断所有可能的数列a1，a2，…，ap。（保加利亚） 5. 判断S所有可能的值，其中a、b、c、d是任意正数。

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Sabcd（荷兰） abdabcbcdacd2

6. 设P为非常值的整系数多项式。如果n(P)是所有满足(P(k))=1的不同整数k的个数，求证：n(P)-deg(P)≤2，这里deg(P)表示多项式P的次数。（瑞典）

第十七届（1975年）

保加利亚 布尔加斯（Burgas，Bulgaria）

1. 设xi，yi（i=1,2,…，n）是实数且满足x1≥x2≥…≥xn和y1≥y2≥…≥yn。求证：如果z1，z2，…，zn是y1，

nny2，…，yn的任一排列，那么有(xiyi)(xiyi)2。（捷克斯洛伐克）

2i1i12. 设a1，a2，a3，…是一个正整数的无穷递增序列。求证：对于每个p≥1都有无穷多个am可以写成am=xap+yaq的形式，其中x，y是正整数且q>p。（英国）

3. 在任意三角形ABC外，三角形ABR，BCP，CAQ按如下构造：∠CBP=∠CAQ=45°，∠BCP=∠ACQ=30°，∠ABR=∠BAR=15°。求证∠QRP=90°且QR=RP。（荷兰）

4444

4. 当4444用十进制数表示时，它的各位数的和为A。令B为A的各位数的和。找出B的各位数的和。（A和B都用十进制表示。）（苏联）

5. 判断并证明在一个半径为单位长的圆周上是否能找到1975个点使它们两两之间的距离都是有理数。（苏联） 6. 找到所有多项式P，有两个变量，并具有下列性质：

n(i) 对于一个正整数n和所有实数t，x，y都有P(tx,ty)=tP(x,y)；

(ii) 对于所有实数a，b，c，都有P(b + c, a) + P(c + a, b) + P(a + b, c) = 0； (iii) P(1,0)=1。（英国）

第十八届（1976年）

奥地利 利恩茨（Lienz，Austria）

1. 一个平面凸四边形的面积是32，两条对边和一条对角线的长度的和是16。判断另一条对角线所有可能的长度。（捷克斯洛伐克）

2

2. 令P1(x)=x-2，Pj(x)=P1(Pj-1(x))，j=2,3，…。说明，对于任一正整数n，方程Pn(x)=x的根是互不相同的实数。（芬兰）

3. 一个长方形的箱子可以用单位立方体填满。如果用体积为2的立方体尽量多地填充箱子，使每个边都与箱子的边平行，那么恰好可以填充箱子的40%。判断这个箱子所有可能的尺寸规模。（荷兰） 4. 判断和为1976的若干个正整数的乘积的最大值，并证明。（美国） 5. 考虑以下方程组，其中q=2p，x1，x2，…，xq为未知数：

实用文档

a11x1a12x2a21x1a22x2ap1x1ap2x2a1qxq0a2qxq0apqxq0

每个系数aij属于数集{-1,0,1}。证明这个方程组有一个解(x1，x2，…，xq)满足： a) 所有的xj (j=1,2,...,q)都是整数； b) 至少有一个值j使得xj≠0； c) xjq(j1,2,6. 数列{un}被定义为

（荷兰） ,q)。

52u02,u1,un1un(un12)u1，n=1,2,…

2求证对于正整数n都有

un22n13n，其中[x]代表不大于x的最大整数。（英国）

第十九届（1977年）

南斯拉夫 贝尔格莱德（Belgrade，Yugoslavia）

1. 等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN在正方形ABCD内。证明KL、LM、MN、NK四条线段的中点和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN这线段的中点是一个正十二边形的十二个顶点。（荷兰）

2. 在一个实数的无限数列中，任意七个连续项的和是负数，任意十一个连续项的和是正数。判断这个数列里最大的数。（越南）

3. 给定n为大于2的一个整数，设Vn是整数1+kn（k=1,2，…）的集合。一个属于Vn的数m，如果不存在p、q∈Vn使得pq=m的话就称作m在Vn中不可分解。证明存在一个数r∈Vn可以有多种方式表示成在Vn中不可分解的数的积（乘积中若仅仅是因数的顺序不同视为同一种分解）。（荷兰） 4. 已知四个实常量a、b、A、B，以及f()1acosbsinAcos2Bsin2。求证：如果f(θ)≥0对所有的实数θ都成立，那么有a+b≤2和A+B≤1。（英国）

222

5. 已知a、b为正整数。当a+b除以a+b后，商为q，余数为r。找到所有的使得q+r=1977的正整数对(a,b)。（民主德国）

6. 已知f(n)是一个定义域和值域都为正整数集的函数。证明如果对于每个正整数n都有f(n+1)>f(f (n))，那么对于每个n都有f(n)=n。（保加利亚）

2

2

2

2

第二十届（1978年）

罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania）

实用文档

1.已知 m和n是自然数且1≤m2. P是球内一定点。三条从P发出的互相垂直的射线与球面分别相交于点U、V、W；Q代表由PU、PV、PW决定的平行六面体中P的相对的顶点。求出Q点的轨迹。（美国）

3. 所有正整数的集合是两个不相交的子集{f(1)，f(2)，…，f(n)，…}，{g(1)，g(2)，…，g(n)，…}的并集，这里f(1)4. 在三角形ABC中，AB=AC。一个圆与三角形ABC的外接圆内切并分别与AB、AC相切于P、Q。求证：线段PQ的中点是三角形ABC的内切圆的圆心。（美国）

nak15. 令{ak}(k=1,2,3,…,n,…)是不同正整数组成的数列。证明对于所有的自然数n都有2。（法国）

kkk1k1nmn6. 一个国际组织有来自六个不同国家的成员。成员列表有1978个名字，编为1,2，…，1978。求证：至

少有一个成员的编号是来自他同一国家的其它两个成员的编号的和，或者是来自他同一国家的一个成员的编号的两倍。（荷兰）

第二十一届（1979年）

英国 伦敦（London，United Kingdom）

1. 设p和q都是自然数并且满足

p1111q23411。求证：p可被1979整除。（联邦德国） 131813192. 一个棱柱的顶面是五边形A1A2A3A4A5，底面是B1B2B3B4B5。这两个五边形的每条边和每条线段AiBj（i、j=1，…，5），都用红色或者绿色着色。每条边都被着色和每个顶点都是棱柱的顶点的三角形都有两边被涂上不同的颜色。说明上下底面的所有10条边都是同一颜色。（保加利亚）

3. 在平面上有两个圆相交。设A是其中一个交点。从A点同时出发的两点以恒定的速度，并以相同的方向绕各自的圆运动。在转完一圈后两个点又同时回到了A点。求证：平面内存在一定点P，在任一时刻P与这两个动点的距离相等。（苏联） 4. 给定一平面π，点P在平面π上，点Q不在平面π上，找到所有在平面上的点R，其比值

QPPA最大。（美

QR国）

5. 找到所有满足条件的实数a，使得存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足关系

kxk15ka,kxka,k5xka3。（以色列）

32k1k1556. 设A和E是一个正八边形上的两个相对顶点。一只青蛙从顶点A开始起跳。它从除了E以外的任何一个顶点，

可能跳到两个相邻顶点的任何一个。当它到达顶点E时，青蛙停下来并留在这里。设an为恰好n次跳到E点的不同路线的总数。证明a2n-1=0，

实用文档

a2n1n1(xyn1),n1,2,3,2，其中x22，y22。

注意：n次跳跃的路径是满足下列条件的顶点（P0，…，Pn）的序列： i) P0=A，Pn=E；

ii) 对于每一个i（0≤i≤n-1），Pi与E不同； iii) 对于每一个i（0≤i≤n-1），Pi和Pi+1是相邻的。（联邦德国） 1980年由于主办国蒙古（Mongolia）资金不足，IMO未举行。

第二十二届（1981年）

美国 华盛顿特区（Washington DC，United States of America）

1. P是三角形ABC内一点。D、E、F是P点分别向BC、CA、AB作的垂线的垂足。找到所有的点P，使

BCCAABPDPEPF的值最小。（英国）

2. 设1≤r≤n，考虑集合{1,2,…,n}的有r个元素的子集。每个子集都有一个值最小的元素。令F(n,r)代表这些最小的数的算术平均值；证明F(n,r)3

3

n1。（联邦德国） r12

22

3. 判断m+n的最大值，其中m、n是满足m,n∈{1,2，…，1981}及(n-mn-m)=1的整数。（荷兰） 4. a) 当n取哪些值时（n>2），有一个由n个连续整数组成的集合，其最大的元素是剩下的n-1个数的最小公倍数的因数？

b) 当n取哪些值时（n>2），正好存在一个集合满足条件？（比利时）

5. 三个全等的圆有一个公共点O，并处于一个三角形内。每个圆都与这个三角形的两条边相切。求证：这个三角形的内心、外心和点O共线。（苏联）

6. 函数f(x, y)对于所有非负整数x，y都满足 (1) f(0, y) = y+1；

(2) f(x+1, 0) = f(x, 1)；

(3) f(x+1, y+1)=f(x, f(x+1, y))。判断f(4,1981)的值。（芬兰）

第二十三届（1982年）

匈牙利 布达佩斯（Budapest，Hungary）

1. 函数f(n)定义在所有正整数n上，且取值为非负整数。另外，对于所有的m、n有 f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1，f(2)=0，f(3)>0，以及f(9999)=3333。判断f(1982)的值。（英国）

实用文档

2. 非等腰三角形A1A2A3的边为a1、a2、a3（ai是Ai的对边）。对于所有的i=1,2,3，Mi是边ai的中点，Ti是三角形的内切圆与边ai的切点。用Si表示Ti关于角Ai的角平分线对称的点。求证：直线M1S1、M2S2、M3S3共点。（荷兰）

3. 考虑一个满足下列要求的无限正实数数列{xn}：x0=1，对于所有i≥0，xi+1≤xi。

2x0x12 a) 证明对于每个这样的数列，都有一个n≥1使得x1x22x0x12 b) 找到一个可以使x1x22xn13.999。 xn2xn（苏联） 14对于所有n都成立的这种数列。

xm3

2

3

4. 求证：如果n是一个正整数，并能够使方程x-3xy+y=n有一个整数解（x，y），那么该方程有至少三组整数解。说明当n=2981时方程无整数解。（英国） 5. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有

AMCNr。如果B、M、N共线，求ACCEr的值。（荷兰）

6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An并且A0 与 An不

重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于

1。求证：L中存在两点X、2Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。（越南）

第二十四届（1983年） 法国 巴黎（Paris，France）

1. 找出所有的函数f，它定义域和值域为正实数集，并满足以下要求： i) 对于所有正数x、y都有f(xf(y)) = yf(x)； ii) 当x→∞时，f(x)→0。（英国）

2. 设A是同一平面上不全等的两个圆心分别为O1和O2的圆C1和C2的两个交点的其中一个。一条公切线分别切C1于P1，切C2于P2；另一条分别切C1于Q1，切C2于Q2。设M1是P1Q1的中点，M2是P2Q2的中点。证明∠O1AO2=∠M1AM2。（苏联）

3. 设a、b、c为正整数，它们两两互质。说明2abc-ab-bc-ca是不能用xbc+yca+zab表示的最大的整数，其中x、y、z是非负整数。（联邦德国）

4. 设ABC是一个等边三角形，ε是在三条线段AB、BC、CA（包括A、B、C）上所有点的集合。判断是否对于ε划分的两个不相交的子集，两个子集中至少有一个包括一个直角三角形的三个顶点。证明你的判断。（比利时）

5

5. 选择1983个不同的正整数，它们都小于或等于10，没有任何三个数字成等差数列。有可能吗？证明你的答案。（波兰）

222

6. 设a、b、c是三角形的三边。求证：ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)≥0，并判断何时等号成立。（美国）

第二十五届（1984年）

捷克斯洛伐克 布拉格（Prague，Czechoslovakia）

实用文档

1. 证明0yzzxxy2xyz7，其中x、y、z是非负数且满足x+y+z=1。（联邦德国） 272. 找出两个正整数a、b，它们满足： i) ab(a+b)不能被7整除

77 77

ii) (a+b) - a- b能被7整除。 证明你的答案。（荷兰）

3. 在平面上有两点O、A。对于平面上不同于O点的点X，用a(X)表示从OA逆时针移动至OX的角的大小（用弧度表示，0≤a(X)＜2π）。设C(X)是以O为圆心，OXa(X)为半径的圆。平面上的每个点都用有限种颜色OX着色。证明存在点Y使得a(Y)>0且该点的颜色在圆C(Y)的圆周上也出现。（罗马尼亚）

4. 设ABCD是一个凸四边形且直线CD是以AB为直径的圆的切线。证明当且仅当直线BC和AD平行时，直线AB是以CD为直径的圆的切线。（罗马尼亚）

5. 设d是平面上一个有n个顶点（n>3）的凸多边形的所有对角线长度的和，p是它的周长。求证：

n32dnn12，其中[x]代表不超过x的最大整数。（蒙古） p22km6. 令a、b、c、d为奇数且0（波兰）

第二十六届（1985年）

芬兰 约察（Joutsa，Finland）

1. 一个圆的圆心在圆内接四边形ABCD的边AB上。四边形的其它三边与这个圆相切。证明AD+BC=AB。（英国） 2. 设n、k是互质的自然数，kii) 对于所有的i∈M，i ≠k，i与 |i-k | 颜色相同。 证明M内的所有数字颜色相同。（澳大利亚）

k3. 对一个系数是整数的多项式P(x)=a0+a1x+…+akx，为奇数的系数的数目为w(P)。对于i=0，1，…，令Qi (x)=(1+x)。求证：如果i1，i2，…，in是整数且满足0≤i1（荷兰）

4. 给出由1985个不同的正整数组成的集合M，其元素中没有一个有大于26的质因数。证明M至少包含一个由四个不同元素组成的子集，其元素的积是一个整数的四次方。（蒙古）

5. 一个圆心为O的圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB与BC再次分别交于点K和N。三角形ABC和KBN两者的外接圆相交于两个不同的点B和M。求证∠OMB是直角。（苏联） 6. 对于所有的实数x1，构造数列x1，x2，…并使其对于每个n≥1都满足xn1xn(xn)。求证：只存在一个

1nx1的值使得对于每一个n都有0实用文档

第二十七届（1986年）

波兰 华沙（Warsaw，Poland）

1. 设d是不等于2,5,13的任意整数。说明在集合{2,5,13,d}可以找到两个不同的数a、b，使得ab-1不是完全平方数。（联邦德国）

2. 平面上有一个三角形A1A2A3和一点P0。我们定义对于所有的s≥4都有As=As-3。我们构造一组点P1，P2，P3，…，使得Pk+1是Pk绕点Ak+1顺时针旋转120°得到的（k=0,1,2，…）。证明如果P1986=P0，那么三角形A1A2A3是等边三角形。（中国）

3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使五个整数的和为正。如果三个连续的顶点分别被赋值为x、y、z且y<0，那么执行下面的操作：数字x、y、z分别被x+y、-y、z+y代替。只要五个数中有一个数是负的，就重复执行操作。判断是否可以在有限步后结束操作。（民主德国）

4. 设A、B是平面上一个中心为O的正n边形（n≥5）的相邻顶点。一个三角形XYZ，开始与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。（以色列）

5. 找到所有满足条件的函数f，它定义在非负实数上，取值也为非负实数，且满足： i) 对于所有的x,y≥0，都有f(xf(y))=f(x+y)； ii) f(2)=0；

iii) 对于0≤x＜2有f(x)≠0。（英国）

6. 给定平面上一个有限的点集，每个点的坐标值都为整数。试问有没有可能用红色给点集中的一些点上色，并用白色给其它点上色，使得任何一条与坐标轴平行的直线L上，白点个数和红点个数的差不大于1？（民主德国）

第二十八届（1987年）

古巴 哈瓦那（Havana，Cuba）

1. 设pn(k)是集合{1,…，n}的具有k个不动点的排列的数目，n≥1。求证：

（注意：集合Skp(k)n!。

nk0n的排列f是S自己的一对一映射。S中的一个元素i若满足f(i)=i那么i就叫做排列f的不动点。）（联邦德国）

2. 在锐角三角形ABC中，∠A的内角平分线交BC于L，并交三角形ABC的外接圆于N。过L点作AB和AC的垂线，垂足分别为K和M。求证：四边形AKNM和三角形ABC的面积相同。（苏联）

223. 设x1，x2，…，xn为满足x1x22xn1的实数。求证：对于所有的整数k≥2，都有不全为0的整数

a1，a2，…，an，使得对于所有的i都有|ai|≤k-1且

a1x1a2x2anxn(k1)n。（联邦德国） nk14. 求证：没有一个函数f，其定义域与值域都为非负整数集，且对于每个n都有f(f(n))=n+1987。（越南）

实用文档

5. 设n是一个大于或等于3的整数。求证：平面上存在n个点，它们任意两点间的距离是无理数，且任意三点能形成一个面积为有理数的非退化三角形。（民主德国） 6. 设n是一个大于或等于2的整数。求证：如果对于所有的整数k（0≤k≤于所有的整数k（0≤k≤n - 2）都有k+k+n是质数。（苏联）

2

n2

）都有k+k+n是质数，那么对3第二十九届（1988年）

澳大利亚 堪培拉（Canberra，Australia）

1. 考虑两个在同一平面的同心圆，半径为R和r（R>r）。设P是小圆上一个固定点，B是大圆上的一个动点。直线BP还与大圆交于C。BP的垂线l经过点P，与小圆交于另一点A。（如果l是小圆的切线，那么A、P点重合。）

222

i) 找出BC+CA+AB的所有可能的值。 ii) 找出BC的中点的轨迹。（卢森堡）

2. 设n为正整数，A1，A2，…，A2n+1都是集合B的子集。假设： (a) 每个An都恰好有2n个元素；

(b) 每个Ai∩Aj（1≤i＜j≤2n+1）包含正好一个元素；

(c) B中的每个元素至少属于两个Ai。试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai 都恰好包含n个标0的元素。（捷克斯洛伐克）

3. 函数f定义在正整数集上，且对于所有正整数n都有：

f(1)1,f(3)3,f(2n)f(n),

f(4n1)2f(2n1)f(n),f(4n3)3f(2n1)2f(n)判断满足条件的正整数n的个数，它小于或等于1988，且有f(n)=n。（英国） 4. 说明满足不等式

k5的所有实数x的集合是不相交的区间的并集，且区间的长度为1988。（爱尔兰） xk4k1705. 在三角形ABC中，A是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形ABD，ACD的内心的连线分别交边AB、AC于点

K、L。S和T分别表示三角形ABC和AKL的面积。说明S≥2T。（希腊）

a2b26. 设a和b为正整数，且ab+1整除a+b。说明是一个整数的平方。（联邦德国）

ab12

2

第三十届（19年）

实用文档

联邦德国 布伦瑞克（Braunschweig，FR Germany）

1. 证明集合{1,2，…，19}可以表示成一些不相交的子集Ai（i=1,2，…，117）的并集，且满足： i) 每个Ai包括17个元素；

ii) 每个Ai的所有元素的和都是相同的。（菲律宾）

2. 在锐角三角形ABC中，角A的内角平分线还交三角形的外接圆于A1。点B1和C1也类似这样定义。设A0是AA1与角B和角C的外角平分线的交点。点B0和C0也类似这样定义。求证： i) 三角形A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1面积的两倍。 ii) 三角形A0B0C0的面积至少是三角形ABC面积的四倍。（澳大利亚） 3. 设n和k为正整数，S为满足下列要求的n个点： i) S内的任意三点都不共线；

ii) 对于S内的任一点P在S中都至少有k个点与P点距离相等。 求证：k12n。（荷兰） 21h11。（冰岛） ADBC4. 设ABCD是凸四边形，边AB、AD、BC满足AB = AD + BC。在四边形内存在一点P，距离直线CD的距离为h，且AP = h + AD，BP = h + BC。说明：5. 求证：对于每个正整数n，存在n个连续的正整数，其中没有质数的整数幂。（瑞典）

6. 一个集合{1,2，…，2n}的一个排列(x1，x2，…，xm)，其中n是正整数，如果对于集合{1,2，…，2n-1}中的至少一个i有xixi1n，就说它具有属性P。说明对于每个n，具有属性P的排列比不具有的多。（波兰）

第三十一届（1990年）

中国 北京（Beijing，China）

1. 一个圆的弦AB和CD在圆内交于点E。设M是线段EB的内点。过E点作经过点D、E、M的圆的切线，它分别交直线BC和AC于F和G。如果

EGAMt，试用t来表示。（印度）

EFAB2. 设n≥3，考虑2n-1个圆上不同的点构成的集合E。假设这些点中恰好有k个点被涂成黑色。如果至少有一

对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）恰好包含E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。（捷克斯洛伐克）

2n13. 找出满足为整数的所有的大于1的整数n。（罗马尼亚） 2n4. 设

+为正有理数的集合。构造函数f：→，且对于所有

+++

内的x、y都满足f(xf(y))f(x)。（土耳其） y5. 给出一个初始整数n0＞1，两位玩家，A和B，轮流选择整数n1，n2，n3，…并遵循下列规则：

2已知n2k，A选择满足n2kn2k1n2k的任一整数n2k+1。

已知n2k+1，B选择满足

n2k1是一个质数的正整数幂。 n2k2实用文档

玩家A通过选择数字1990赢得游戏；玩家B通过选择数字1赢得胜利。当n0值为多少时： (a) A有必胜的策略？ (b) B有必胜的策略？

(c) 二者都没有必胜的策略？（德国）

6. 证明：存在一个凸1990边形，有下面两个属性： (a) 所有的角相等；

2222

(b) 不计顺序，1990条边的长度分别为1，2，3，…，1990。（荷兰）

第三十二届（1991年）

瑞典 锡格蒂纳（Sigtuna，Sweden）

1. 给出三角形ABC，设I是其内切圆的圆心。角A、B、C的内角平分线分别交其对边于A’、B’、C’。证明

1AIBICI8。（苏联） 4AABBCC272. 设n为大于6的整数，a1，a2，…，ak是所有小于n且与n互质的自然数。如果有a2 - a1 = a3 - a2 = … = ak - ak-1 > 0，证明n一定为一个质数或者2的整数幂。（罗马尼亚）

3. 设S={1,2,3，…，280}。找到满足条件的最小整数n，使S的每个n元子集包含五个数是两两互质的。（中国）

4. 假设G是有k条边的连通图。求证：有可能对这些边标记为1,2，…，k，使得每个顶点属于两条或多条边，从这个顶点出发的每条边的标号的最大公约数为1。

【一个图由一组顶点和一组连接某对不同顶点的边组成。每对顶点u、v最多连有一条边。图G如果对于每对不同的顶点x、y有一系列的顶点x = v0,v1,v2,...,vm = y使得每对vi，vi+1都有G的一条边连接，那么G就是连通的。】（美国）

5. 在三角形ABC中，P是△ABC内的一点。说明在∠PAB，∠PBC和∠PCA中至少有一个角小于或等于30°。（法国）

6. 一个实数的无限数列x0，x1，x2，…，如果存在常数C使得对于每一个i≥0都有|xi|≤C，那么这个数列是“有界的”。给出任意一个大于1的实数a，构造一个有界的无限数列x0，x1，x2，…对于每对不同的非负整数i、j都有xixjij1。（荷兰）

a第三十三届（1992年）

俄罗斯 莫斯科（Moscow，Russia）

1. 找到满足条件的所有整数a、b、c，1实用文档

3. 给定空间中的九个点，其中任何四点都不共面。在每一对点之间都连有一条线段，这条线段可染为红色或蓝色，也可不染色。试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一时，在这n条线段的集合中都必包含有一个各边同色的三角形。（中国）

4. 在平面内，设C为一个圆，L是圆C的切线，点M在L上。找到有下列属性的所有点P的轨迹：在L上存在两点Q、R使得M为Q、R的中点，C是三角形PQR的内切圆。（法国）

5. 设S为立体空间内的有限点集。设Sx，Sy，Sz分别为S中的点在yz平面、zx平面、xy平面上的正投影。求证SSxSySz，其中|A|代表有限集合A的元素个数。（注意：一个点在平面上的正投影是这个点向这个平面上引垂线，垂足所在位置。）（意大利）

2

6. 对于每个正整数n，S(n)是满足以下要求的最大整数：对于每一个正整数k≤S(n)，n都可以被写成k个完全平方数的和。

2

(a) 证明对于每个n≥4都有S(n)≤n-14。

2

(b) 求出使S(n)=n-14的一个整数n。

2

(c) 证明有无限多个整数n使得S(n)≤n-14。（英国）

2第三十四届（1993年）

土耳其 伊斯坦布尔（Istanbul，Turkey）

1. 设f(x)=x+5x+3，其中n是大于1的整数。求证：f(x)不能表示成系数为整数的两个非常量的多项式的积。（爱尔兰）

2. 设D是锐角三角形ABC内一点，使得ADBACB(a) 求出比例

nn-1

2且AC·BD=AD·BC ABCD。

ACBD(b) 求证：过C点的△ACD和△BCD的外接圆的切线垂直。（英国）

2

3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐地摆放着n个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。

试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。（芬兰）

4. 对于平面上的三个点P、Q、R，我们定义m(PQR)是△PQR三条高中的最短的一条的长度。（如果P、Q、R共线，我们规定m(PQR)=0。）

求证：对于平面上的四个点A、B、C、X，m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。（马其顿）

5. 是否存在一个函数f：N→N，使得对于所有n∈N都有f(1)=2，f(f(n))=f(n)+n，f(n)＜f(n+1)？（德国） 6. 在一个圆上有n（n>1）盏灯为L0，…，Ln-1。我们定义Ln+k=Lk。（一盏灯在任何时候要么开，要么关。）按要求执行步骤s0，s1，…：在步骤si，如果Li-1亮着，那么就关掉或打开Li，否则什么事都不做。开始时所有灯都亮着。说明：

(a) 存在一个正整数M(n)使其在经过M(n)步后所有灯再次全亮；

k2

(b) 如果n=2，我们可以取M(n) = n-1；

k2

(c) 如果n=2+1，我们可以取M(n) = n-n-1；（荷兰）

实用文档

第三十五届（1994年）

（Hong Kong）

1. 设m、n为正整数。设a1，a2，…，am为{1,2，…，n}中不同的元素，只要对于一些i、j（1≤i≤j≤m）有

ai+aj≤n，那么就存在k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak。求证

a1a2amn1。（法国）

m22. ABC是等腰三角形，AB=AC。假设

1) M是BC的中点，O是直线AM上使得OB垂直AB的一点； 2) Q是线段BC上不同于B和C的任意一点；

3) E在直线AB上，F在直线AC上，E、Q、F三点不重合但共线。 求证：当且仅当QE=QF时OQ垂直于EF。（亚美尼亚、澳大利亚）

3. 对于任一正整数k，设f(k)是集合中{k+1,k+2, ... , 2k}中用二进制表示恰好有3个1的数的个数。 a) 试证明：对于每一个正整数m，都存在至少一个正整数k使得f(k)=m。 b) 找出所有的满足条件的正整数m，使之只存在一个k使得f(k)=m。（罗马尼亚）

n314. 判断出所有使得是整数的有序正整数对（m，n）。（澳大利亚）

mn15. 设S为严格大于-1的实数的集合。找出所有满足下面两个条件的函数f:S→S： 1) 对于S内的所有x和y都有f(xf(y)xf(y))yf(x)yf(x)； 2)

f(x)在区间-1第三十六届（1995年）

加拿大 多伦多（Toronto，Canada）

1. 设A、B、C、D是按顺序在一条线上的四个不同的点。分别以AC和BD为直径的圆交于X和Y。直线XY交BC于Z。设P是直线XY上不同于Z的一点。直线CP交以AC为直径的圆于C和M，直线BP交以BD为直径的圆于B和N。求证：直线AM、DN、XY共点。（保加利亚） 2. 设a、b、c为正整数且abc=1。证明：

1113。（俄罗斯） 333a(bc)b(ca)c(ab)2

实用文档

3. 找到所有满足条件的大于3的整数n，使平面上存在n个点A1，…，An，任意三点都不共线，实数r1，…，rn使得对于1≤i＜j＜k≤n，△AiAjAk的面积是ri+rj+rk。（捷克）

4. 找到x0的最大值，使得存在一个由正实数组成的数列x0，x1，…，x1995，有x0=x1995，且对于i=1，…，1995，都有xi121（波兰） 2xi。

xi1xi5. 设ABCDEF为凸六边形且AB=BC=CD以及DE=EF=FA，使∠BCD=∠EFA=∠AGB=∠DHE=

。假设G和H是六边形的内点，使得32。求证：AG+GB+GH+DH+HE≥CE。（新西兰） 36. 设p是奇质数。有多少个{1,2，…，2p}的p元子集A，其元素的和可被p整除？（波兰）

第三十七届（1996年）

印度 孟买（Mumbai，India）

1. 给定一个正整数r和一个规模为|AB|=20，|BC|=12的矩形木板ABCD。矩形被分为一格一格的20×12个单位方格。在矩形上可执行下面的移动：只要这两个小方格的中心的距离为r，就可以从其中一个移动到另外一个。任务是找到从含顶点A的小方格内经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内的序列。 (a) 说明当r可被2或3整除时任务不可能完成。 (b) 证明当r=73时任务可能完成。

(c) 当r=97时可以完成任务吗？（芬兰）

2. 设P为满足∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC的三角形ABC内一点。设D、E分别是三角形APB、APC的内心。说明AP、BD、CE共点。（加拿大）

3. 设S为非负整数的集合。找到所有定义域与值域都为S的函数f且满足：

f(mf(n))f(f(m))f(n) m,nS。（罗马尼亚）

4. 正整数a和b使得15a+16b和16a-15b都为正整数的平方。试求出能表示成这两个完全平方数的较小的一个的可能的最小值。（俄罗斯）

5. 设ABCDEF为凸六边形且AB平行于DE，BC平行于EF，CD平行于FA。RA、RC、RE分别表示三角形FAB、BCD、DEF的外接圆半径，P表示六边形的周长。证明RARCREP。（亚美尼亚） 26. 设p、q、n为正整数且p+q(b) 对于每个i（1≤i≤n），要么xi-xi-1=p，要么xi-xi-1=-q。 说明存在下标i实用文档

第三十八届（1997年）

阿根廷 马德普拉塔（Mar del Plata，Argentina）

1. 平面上坐标值为整数的点是单位正方形的顶点。正方形被交替涂上黑色和白色（像棋盘一样）。

对于每对正整数m和n，考虑一个直角三角形，它的顶点坐标为整数，直角边长度为m和n，且都在正方形的边上。

设S1为三角形黑色部分的总面积，S2为三角形白色部分的总面积。令f(m,n)=|S1-S2|。 (a) 对于m和n都是奇数或都是偶数的情况下，计算f(m,n)的值。 (b) 证明对于所有的m和n都有f(m,n)1max{m,n}。 2(c) 说明不存在常数C使得对于所有m和n都有f(m,n)2. 角A是三角形ABC中最小的角。点B和C将三角形的外接圆分成两条弧。设U是B和C之间不包括A的一段弧内的一点。AB和AC的垂直平分线分别交直线AU于V和W。直线BV和CW交于T。说明AU=TB+TC。（英国） 3. 设x1，x2，…，xn为满足条件x1x2xn1的实数，且xinynn1 i1,2,2,n。说明存在x1，

x2，…，xn的排列y1，y2，…，yn，使得y12y2n1。（俄罗斯） 24. 一个n×n的矩阵，如果其元素取自集合S={1,2, ... , 2n-1}，且对于每个i=1,2，…，n，第i行和第i列的所有数包括了S的所有元素，那么称这个矩阵为“银矩阵”。说明： (a) 当n=1997时不存在银矩阵； (b) 对于无限多个n，存在银矩阵。（伊朗） 5. 找到所有整数对(a,b)（a，b≥1），使其满足等式ab2ba。（捷克）

6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数。如果两个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4可以表示成下列四种形式：4；2+2；2+1+1；1+1+1+1。 求证：对于任一整数n≥3，都有2n24（立陶宛） f(2n)2。

n22第三十九届（1998年）

中国 台北（Taipei，Taiwan）

1. 在凸四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直，对边AB和DC不平行。假设点P为AB和DC的垂直平分线的交点，它在四边形ABCD内。证明当且仅当三角形ABP和CDP面积相等时ABCD是圆内接四边形。（卢森堡）

实用文档

2. 在一次竞赛中，有a名选手和b名裁判，b是一个不小于3的奇数。每个裁判可对每位选手评级为“及格”或“不及格”。假设k是这样定义的一个数：对于任意两个裁判，他们的评级对至多k个选手是相同的。求证：

kb1。（印度） a2bd(n2)3. 对于任一正整数n，设d(n)为n的正因数（包括1和n本身）。判断出满足对于一些n有k的所有

d(n)正整数k。（白俄罗斯）

22

4. 找出所有满足条件的正整数对(a,b)，使得ab+b+7能整除ab+a+b。（英国）

5. 设I为三角形ABC的内心。设ABC的内切圆分别切边BC、CA和AB于K、L和M。过点B的平行于MK的直线分别交直线LM和LK于R和S。证明角RIS是锐角。（乌克兰）

22

6. 考虑所有的定义域和值域都为正整数集N的函数f，它满足对于所有N内的s和t都满足f(tf(s))=s(f(t))。找到f(1998)的最小的可能值。（保加利亚）

第四十届（1999年）

罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania）

1. 找出所有满足下列要求的由平面上至少三点组成的有限集合S：

对于任意两个在S中的不同的点A和B，线段AB的垂直平分线是S的一条对称轴。（爱沙尼亚） 2. 设n为一个给定的整数，n≥2。

(a) 判断使得以下不等式对于所有实数x1，…，xn≥0都成立的最小常数C：

22xx(xx)Cxijiji。 1ijn1in(b) 对于这个常数C，判断何时等号成立。（波兰）

2

3. 给定一个n×n的棋盘，n是给定的偶数。这个棋盘被分成n个小方格。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说它们是相邻的。N个棋盘上的小方格按某种方式被标记，使得棋盘上的每个方格（标记的和未标记的）至少与一个被标记的方格相邻。找出N的最小的可能值。（白俄罗斯）

np-1

4. 找出满足条件的正整数对(n,p)：p是质数；n不超过2p；(p-1)能被n整除。（中国）

5. 两个圆G1和G2在圆G内，且分别与G相切于不同的点M和N。G1通过G2的圆心。通过G1和G2的交点的直线交G于点A和B。（俄罗斯）

6. 找出所有函数f：R→R，使对于所有实数x、y都有f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1。（日本）

4第四十一届（2000年）

韩国 大田（Taejon，Republic of Korea）

1. AB是圆CAMN和NMBD的切线。M在直线CD上，位于C和D之间，CD平行于AB。弦NA和CM交于点P；弦NB和MD交于点Q。射线CA和DB交于点E。求证：PE=QE。（俄罗斯） 2. A、B、C是满足三者积为1的正实数。证明(A1111)(B1)(C1)1。（美国） BCA

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3. k是一个正实数。N是一个大于1的整数。N个点在同一直线上，但没有全部重合。一个移动按如下步骤实施：选择两个不重合的点A和B。假设A在B右侧。将B用B’点代替，B’点在A点右边且使得AB’=kBA。k取何值时我们可以通过重复移动把点往右移动到任意远处？（白俄罗斯）

4. 100张卡片被写上1至100的数（每张卡片都不同）并放在3个盒子中（每个盒子至少一张）。如果选择两个盒子，并从中各取出一张卡片，单单知道这两个数的和就总能找出第三个盒子，那么能做到这一点的放法有几种？（匈牙利）

N5. 我们能不能找到一个数N恰好被2000个不同质数整除，且N能整除2+1？【N可能可以被一个素数幂整除。】（俄罗斯）

6. A1A2A3是锐角三角形。从Ai引出的高线的垂足为Ki，内切圆切Ai的对边于Li。直线K1K2关于L1L2作轴反射。相似地，直线K2K3关于L2L3作轴反射，直线K3K1关于L3L1作轴反射。说明这三条新的直线组成了一个顶点在内切圆上的三角形。（俄罗斯）

第四十二届（2001年）

美国 华盛顿特区（Washington DC，United States of America）

1. 设ABC为外心为O的锐角三角形。设P是从A引出的高在BC上的垂足。 假设∠BCA≥∠ABC+30°。 求证∠CAB+∠COP<90°。（韩国） 2. 求证：对于所有正实数a、b、c都有aa8bc2bb8ca2cc8ab21。（韩国）

3. 二十一个女生和二十一个男生参加了一次数学竞赛。  每个选手解出了至多六道题。

 对于每一个男孩和每一个女孩，至少有一道题他们都解出来了。 求证：有一道题目有至少三个女孩和至少三个男孩解出来。（德国）

4. 设n为大于1的奇数，令k1 , k2, …, kn为给定的整数。对于1,2，…，n的n!个排列中的每一个a={a1，

a2，…，an}，令S(a)kiai。求证：存在两个排列b和c，b≠c，使得n!是S(b)-S(c)的一个因数。（加拿

i1n大）

5. 在一个三角形ABC中，令AP平分∠BAC，P在BC上，令BQ平分∠ABC，Q在CA上。已知∠BAC=60°，且AB+BP=AQ+QB。三角形ABC的三个角可能的角度是多少？（以色列）

6. 设a、b、c、d为整数，且a>b>c>d>0。假设ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。证明ab+cd不是质数。（保加利亚）

第四十三届（2002年）

实用文档

英国 格拉斯哥（Glasgow，United Kingdom）

1. S是所有点(h,k)的集合，其中h、k为非负整数且h+k2. BC是以O为圆心的圆的直径。A是使得∠AOC>60°的圆上任一点。EF是圆的弦，在AO的垂直平分线上。D是劣弧AB的中点。通过O点平行于AD的直线交AC于点J。说明J是三角形CEF的内心。（韩国）

n2m3. 找到所有整数对m>2，n>2，使得有无穷多个正整数k满足k+k-1整除k+k-1。（罗马尼亚）

2

4. 大于1的整数n的正因数是d12

能使d整除n的n。（罗马尼亚）

5. 找到所有定义域和值域都为实数集的函数，它对于所有x、y、u、v满足(f(x)+f(y))((f(u)+f(v))=f(xu-yv)+f(xv+yu)。（印度）

6. n>2个半径为1的圆在平面上，且没有直线能与两个以上的圆有交点。它们的圆心是O1，O2，…，On。说明：

1(n1)。（乌克兰） OO41ijnij第四十四届（2003年）

日本 东京（Tokyo，Japan）

1. S是集合{1,2,3，…，1000000}。说明对于S的任何一个恰好包含101个元素的子集A，我们可以找到100

个S内的不同元素xi，使得集合{a+xi|a∈A}中任意两个都不相交。（巴西）

m22. 找到所有的正整数对(m,n)，使得为正整数。（保加利亚）

2mn2n313. 给定一个凸六边形，其中的每一组对边都具有如下性质：这两条边的中点之间的距离等于它们长度之和的

3。证明：该六边形的所有内角相等。（波兰） 24. ABCD是圆内接四边形。从D向直线BC、CA和AB作垂线，垂足分别为P、Q、R。证明：当且仅当RP=RQ时∠ABC的平分线和∠CDA的平分线与直线AC交于一点。（芬兰）

2n2n1n2xx5. 设n为正整数，实数x1，x2，…，xn满足x1≤x2≤…≤xn。证明xixjij，

3i,j1i,j12当且仅当x1，x2，…，xn成等差数列时取等号。（爱尔兰）

p6. 设p为质数。证明：存在质数q，使得对任意整数n，数n-p都不能被q整除。（法国）

第四十五届（2004年）

实用文档

希腊 雅典（Athens，Greece）

1. 设ABC为锐角三角形且AB≠AC。直径为BC的圆交边AB和AC分别于M和N。定义O为边BC的中点。∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于R。求证：三角形BMR的外接圆和三角形CNR的外接圆在边BC上有公共点。（罗马尼亚）

2. 找到所有实系数多项式f，使得对于所有满足ab+bc+ca=0的实数a、b、c有下面的关系： f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)。（韩国）

3. 定义一个“钩子”为由六个单位正方形按下面的图组合起来的形状，或者其他可由下图旋转和轴反射形成的形状。

找出所有m×n的可以不把钩子割裂开或重叠就可以覆盖的矩形，使得  长方形不能由钩子割裂或重叠来覆盖。

 钩子的任何一部分都不能覆盖长方形外面的区域。（爱沙尼亚） 4. 设n为不小于3的整数。设t1，t2，…，tn为正实数，且满足

n1(t1t2211tn)t1t21。证明对于所有满足1≤i5. 在凸四边形ABCD中，对角线BD不平分角ABC和角CDA。ABCD内一点P满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA。求证：当且仅当AP=CP时ABCD是圆内接四边形。（波兰）

6. 如果一个数按十进制表示，任意两个连续的位数奇偶性不同就称这个数是“交替的”。 找到所有正整数n，使得n的某个倍数是交替的。（伊朗）

第四十六届（2005年）

墨西哥 梅里达（Mérida，Mexico）

1. 在等边三角形ABC的边上选择六个点：A1和A2在BC上，B1和B2在CA上，C1和C2在AB上，使得它们是所有边都相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2的顶点。求证直线A1B2、B1C2和C1A2共点。（罗马尼亚）

2. 设a1，a2，…为含有无穷多个正项和负项的整数数列。假设对于每个正整数n，数a1，a2，…，an除以n得到的余数互不相同。求证：在数列a1，a2，…中每个整数都出现了恰好一次。（荷兰）

x5x2y5y2z5z20。3. 设x、y、z为满足xyz≥1的三个正实数。求证：5（韩国）

xy2z2x2y5z2x2y2z54. 判断所有与无穷数列an=2+3+6-1，n≥1的所有项都互质的正整数。（波兰）

5. 设ABCD是给定的凸四边形，BC=DA且BC不平行DA。设两个动点E和F分别在边BC和DA上且满足BE=DF。直线AC和BD交于点P，直线BD和EF交于点Q，直线EF和AC交于点R。

nnn实用文档

求证：三角形PQR的外接圆，在E和F变动时，除P外还有一个定点。（波兰） 6. 在一次数学竞赛中，有6道题目，对于任意两道试题，它们同时被超过

2的选手解出。此外，没有选手解5出所有6道题目。说明至少有2位选手每人都正好解出5道题目。（罗马尼亚）

第四十七届（2006年）

斯洛文尼亚 卢布尔雅那（Ljubljana，Slovenia）

1.设I 为ΔABC的内心，P是ΔABC内部的一点，满足∠PBA+∠PCA = ∠PBC +∠PCB. 证明：AP≥AI，并说明等号成立的充分必要条件是P=I 。（韩国）

2. 设P为正2006边形。如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分，每部分都包含P的奇数条边，那么该对角线称为“好边”。规定P的每条边均为“好边”。

已知 2003 条在P 内部不相交的对角线将P分割成若干三角形。试问在这种分割之下，最多有多少个有两条“好边”的等腰三角形。（塞尔维亚）

3. 求最小的实数M ，使得对所有的实数a, b和c，有

（爱尔兰） ab(a2b2)bc(b2c2)ca(c2a2)M(a2b2c2)2。

4. 求所有的整数对(x, y)，使得1+2+2=y。（美国）

5. 设P(x)为n次（n>1）整系数多项式，k是一个正整数。考虑多项式Q(x)=P(P(…P(P(x))…))，其中P出现k次。证明：最多存在n个整数t，使得Q(t)=t。（罗马尼亚）

6. 、对于凸多边形P的任意边b，以b为边，在P内部作一个面积最大的三角形。证明：对P的每条边，按上述方法所得三角形的面积之和至少是P 的面积的2 倍。（塞尔维亚）

x2x+1

2

第四十八届（2007年）

越南 河内（Hanoi，Vietnam）

1. 给定实数a1，a2，…，an。对每个i（1≤i≤n），定义：di = max{aj：1≤j≤i}-min{aj：i≤j≤n}，且令d = max{di：1≤i≤n}。

(a) 证明：对任意实数x1≤x2≤…≤xn，有

maxxiai:1ind 2 (*)

(b) 证明：存在实数x1≤x2≤…≤xn使得(*)中的等号成立。（新西兰）

2. 设A、B、C、D、E五点中，ABCD是一个平行四边形，BCED是一个圆内接四边形。设l是通过A的一条直线，l与线段DC交于点F（F是线段DC的内点），且l与直线BC交于点G。若EF=EG=EC，求证：l是∠DAB的角平分线。（卢森堡）

3. 在一次数学竞赛活动中，有一些参赛选手是朋友。朋友关系是相互的。如果一群参赛选手中的任何两人都是朋友，我们就称这一群选手为一个“团”（特别地，人数少于2的一群也是一个团）。

已知在这次竞赛中，最大的团（人数最多的团）的人数是一个偶数，证明：我们总能把参赛选手分配到两个教室，使得一个教室中的最大团的人数等于另一个教室中的最大团的人数。（俄罗斯）

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4. 在△ABC中，∠BCA的角平分线与△ABC的外接圆交于点R，与边BC的垂直平分线交于点P，与边AC的垂直平分线交于点Q。设K和L分别是边BC和AC的中点。证明：△RPK和 △RQL的面积相等。（捷克）

22

5. 设a与b为正整数。已知4ab - 1整除(4a - 1)，证明：a=b。（英国）

6. 设n是一个正整数。考虑S={(x，y，z)：x，y，z∈{0,1，…，n}，x+y+z>0}。.这样一个三维空间中具有

3

(n+1)-1个点的集合。问：最少要多少个平面，它们的并集才能包含S，但不含(0,0,0)。（荷兰）

第四十九届（2008年）

西班牙 马德里（Madrid，Spain）

1. 已知H是锐角三角形ABC的垂心，以边BC的中点为圆心，过点H的圆与直线BC相交于两点A1，A2；以边CA的中点为圆心，过点H的圆与直线CA相交于两点B1，B2；以边AB的中点为圆心，过点H的圆与直线AB相交于两点C1，C2。证明：A1，A2，B1，B2，C1，C2共圆。（俄罗斯）

x2y2z21。 2. (a) 设实数x，y，z都不等于1，满足xyz=1，求证：

(x1)2(y1)2(z1)2(b) 证明：存在无穷多组三元有理数组(x，y，z)，x，y，z 都不等于1，且xyz＝1，使得上述不等式等号成立。（奥地利）

2

3. 证明：存在无穷多个正整数n，使得n+1有一个大于2n2n的质因子。（立陶宛）

4. 求所有的函数f：(0, +∞)→(0, +∞)，满足对所有的正实数w，x，y，z，wx＝yz，都有

(f(w))2(f(x))2w2x22。（韩国）

f(y2)f(z2)yz25. 设n 和k 是正整数，k ≥ n，且k − n是一个偶数。2n 盏灯依次编号为1，2，…，2n，每一盏灯可以“开”

和“关”。开始时，所有的灯都是“关”的。对这些灯可进行操作，每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成“关”，“关”变成“开”），我们考虑长度为k 的操作序列，序列中的第i 项就是第i 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号。

设 N 是k 次操作后使得灯1，…，n 是“开”的，灯n＋1，…，2n 是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数。

设 M 是k 次操作后使得灯1，…，n 是“开”的，灯n＋1，…，2n 是“关”的，但是灯n＋1，…，2n 始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数。 求比值

N。（法国） M6. 在凸四边形ABCD中，BA≠BC。ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆。假设存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切。证明：圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上。（俄罗斯）

第五十届（2009年）

德国 不来梅（Bremen，Germany）

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1. 设n是一个正整数，a1，a2，…，ak(k ≥ 2)是集合{1，…，n}中的互不相同的整数，使得对于i =1,…, k −1，都有n整除ai (ai+1 - 1)。证明：n 不整除ak (ai - 1)。（澳大利亚）

2. 设O是三角形ABC的外心。点P和Q分别是边CA和AB的内点。设K，L和M分别是线段BP，CQ 和PQ的中点，Γ是过点K，L和M的圆。若直线PQ与圆Γ相切，证明：OP = OQ。（俄罗斯） 3. 设s1，s2，s3…是一个严格递增的正整数数列，使得它的两个子数列

ss1,ss2,ss3,和ss11,ss21,ss31,都是等差数列。证明：数列s1，s2，s3…本身也是个等差数列。

（美国）

4. 在三角形ABC中，AB = AC，∠CAB和∠ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和E。设K是三角形ADC的内心。若∠BEK = 45°，求∠CAB所有可能的值。（比利时、韩国）

5. 求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的f：对所有正整数a和b，都存在一个以a，f(b)和f(b+f(a)-1)为三边长的非退化三角形。（称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线。）（法国） 6. 设a1，a2，…，an是互不相同的正整数。M是有n-1个元素的正整数集，且不含数s=a1+ a2+…+an。一只蚱蜢沿着实数轴从原点O开始向右跳跃n步，它的跳跃距离是a1，a2，…，an的某个排列。证明：可以选择一种排列，使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在M中。（俄罗斯）

第五十一届（2010年）

哈萨克斯坦 阿斯塔纳（Astana，Kazakhstan）

1. 求所有的函数f：→，使得等式f([x]y)=f(x)[f(y)]对所有x，y∈数z的最大整数。）（法国）

成立。（这里，[z]表示不超过实

2. 设三角形ABC的内心是I，外接圆为Γ。直线AI交圆Γ于另一点D。设E是弧BDC上的一点，F是边BC上的一点，使得BAFCAE1BAC。设G是线段IF的中点。证明：直线DG与EI的交点在圆Γ上。2（中国）

3. 设是所有正整数构成的集合。求所有的函数g : →，使得对所有m,n∈，(g(m)+n)(m+g(n))是一个完全平方数。（美国）

4. 设P是三角形ABC内部的一点，直线AP，BP，CP 与三角形ABC 的外接圆的另一个交点分别为K，L，M．圆在点C 处的切线与直线AB 相交于点S．假设SC = SP，证明：MK = ML。（波兰）

5. 有6个盒子B1，B2，B3，B4，B5，B6，开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币。每次可以任意选择如下两种方式之一对它们进行操作：

方式1：选取一个至少有一枚硬币的盒子Bj(1≤j≤5)，从盒子Bj中取走一枚硬币，并在盒子Bj+1中加入2枚硬币。

方式2：选取一个至少有一枚硬币的盒子Bk(1≤k≤4)，从盒子Bk中取走一枚硬币，并且交换盒子Bk+1（可能是空盒）与盒子Bk+2（可能是空盒）中的所有硬币。

2010问：是否可以进行若干次上述操作，使得盒子B1，B2，B3，B4，B5中没有硬币，而盒子B6中恰好有20102010枚

硬币？（荷兰）

6. 设a1，a2，a3，…是一个正实数数列。假设存在某个固定的正整数s，使得对所有的n>s，有 an=max{ak+an-k | 1≤k≤n-1}。证明：存在正整数l和N，l≤s，使得对所有的n≥N都有an=al+an-l。（伊朗）

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第五十二届（2011年）

荷兰 阿姆斯特丹（Amsterdam，Netherlands）

1. 对任意由4个不同正整数组成的集合A={a1,a2,a3,a4}，记sA=a1+a2+a3+a4，设nA是满足ai+aj(1≤i＜j≤4)整除sA的数对（i，j）的个数。求所有由4个不同正整数组成的集合A，使得nA达到最大值。（墨西哥） 2. 设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上。

所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过S中单独一点P的一条直线l开始，以P为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到S中的另一点，记为点Q。接着这条直线以Q为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到S中的某一点，这样的过程无限持续下去。

证明：可以适当选取S中的一点，以及过P的一条直线l，使得由此产生的“风车”将S中的每一点都无限多次用作旋转中心。（英国）

3. 设f：是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数x，y，都有 f(x+y)≤yf(x)+f(f(x))，证明：对所有实数x≤0，有f(x)=0。（白俄罗斯）

01n-1

4. 给定整数n>0。有一个天平和n个重量分别为2，2，…，2的砝码。

现通过n步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的重量。每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都被放上天平。 求整个操作过程的不同方法个数。（伊朗）

5. 设f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数m，n，差f (m)－f (n) 能被f (m-n)整除．证明：对所有整数m，n，若f (m)≤f (n)，则f (n)被f (m)整除．（伊朗）

6. 设锐角三角形ABC的外接圆为Γ，l是圆Γ的一条切线。记切线l关于直线BC，CA和AB的对称直线分别为la，lb和lc。证明：由直线la，lb和lc构成的三角形的外接圆与圆Γ相切。（日本）

第五十三届（2012年）

阿根廷 马德普拉塔（Mar del Plata，Argentina）

1. 设J为三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心。该旁切圆与边BC相切于点M，与直线AB和AC分别相切于点K和L。直线LM和BJ 相交于点F，直线KM 与CJ 相交于点G。设S 是直线AF 和BC 的交点，T 是直线AG 和BC 的交点。 证明：M 是线段ST 的中点。

（三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切，并且与边AB, AC 的延长线相切的 圆。） （希腊）

2. 设整数n≥3，正实数a1，a2，…，an满足a2a3…an=1。证明：

(1a2)2(1a3)3(1an)nnn。（澳大利亚）

3. “欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行，游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n。

游戏开始时甲先选定两个整数x和N , 1≤x≤N。甲如实告诉乙N的值，但对x守口如瓶。乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息：每次提问，乙任选一个由若干正整数组成的集合S（可以重复使用之前提问中使

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用过的集合），问甲“x是否属于S ?”。乙可以提任意数量的题。 在乙每次提问之后，甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”，甲可以说谎话，并且说谎的次数没有，唯一的是甲在任意连续k +1次回答中至少有一次回答是真话。

在乙问完所有想问的问题之后，乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X，若x属于X，则乙获胜；否则甲获胜。证明：

k（1）若n≥2，则乙可保证获胜；

k（2）对所有充分大的整数k，存在整数n≥1.99，使得乙无法保证获胜。（加拿大） 4. 求所有的函数f：，使得对所有满足a+b+c=0的整数a，b，c，都有

f(a)2f(b)2f(c)22f(a)f(b)2f(b)f(c)2f(c)f(a)。

（这里表示整数集。）（南非） 5. 已知三角形ABC 中，∠BCA = 90°，D是过顶点C 的高的垂足。设X是线段CD内部的一点。K 是线段AX上一点，使得BK=BC。L 是线段BX上一点，使得AL=AC。设M是AL 与BK 的交点。证明: MK = ML。（捷克） 6. 求所有的正整数n，使得存在非负整数a1，a2，…，an，满足

11a1a222112ana1a2233n（塞尔维亚） 1。an3第五十四届（2013年）

哥伦比亚 圣玛尔塔（Santa Marta，Columbia）

1. 证明对于任意一对正整数k和n，都存在k个（不必不相同的）正整数m1，m2，…，mk，使得：

2k-1骣11+=琪1+琪mn桫1骣1琪1+琪桫m2骣1琪。 1+琪桫mk2. 平面上的4027个点称为是一个“哥伦比亚式点集”，如果其中任意三点不共线，且有2013个点是红色的，2014个点是蓝色的话。在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域。如果一组直线对于一个“哥伦比亚式点集”满足下述两个条件，我们就称这是一个“好直线组”：  这些直线不经过该“哥伦比亚式点集”的任何一个点；  每个区域中都不会同时出现两种颜色的点。 求k的最小值，使得对于任意的“哥伦比亚式点集”，都存在由k条直线构成的“好直线组”。

3. 设三角形ABC的顶点A所对的旁切圆与边BC相切于点A1。类似地，分别用顶点B和顶点C所对的旁切圆定义CA边上的点B1和AB边上的点C1。假设三角形A1B1C1的外接圆圆心在三角形ABC的外接圆上。证明：三角形ABC是直角三角形。（三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切，并且与边AB，AC的延长线相切的圆。顶点B，C所对的旁切圆可类似定义。）

4. 设三角形ABC是一个锐角三角形，其垂心为H，设W是边BC上一点。与顶点B，C均不重合。M和N分别是过顶点B和C的高的垂足。记三角形BWN的外接圆为ω1，设X是ω1上一点，且WX是ω1的直径。类似地，记三角形CWM的外接圆为ω2，设Y是ω2上一点，且WY是ω2的直径。证明：点X，Y和H共线。 5. 记

>0是所有正有理数组成的集合。设函数

f:>0®满足如下三个条件：

(i) 对所有的x,yÎ(ii) 对所有的x,yÎ

>0，都有f(x)f(y)≥f(xy)； ，都有f(x+y)≥f(x)+f(y)；

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(iii) 存在有理数a>1，使得f(a)=a。 证明：对所有的xÎ>0，都有f(x)=x。

6. 设整数n≥3，在圆周上有n+1个等分点。用数0,1，…，n标记这些点，每个数字恰好用一次。考虑所有可能的标记方式；如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到，那么认为这两种标记方式是同一个。一种标记方式称为是“漂亮的”，如果对于任意满足 a + d = b + c 的四个标记数 a < b < c < d，连接标 a 和 d 的点的弦与连接标 b 和 c 的点的弦都不相交。

设 M 是漂亮的标记方式的总数，又设 N 是满足 x + y ≤n ，且 (x, y) = 1 的有序正整数对 (x, y)的个数。证明：

M = N + 1。

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第五十六届（2015年）

2015年7月10日，星期五

第1题. 我们称平面上一个有限点集S是平衡的，如果对任意两个不同的点A,B，都存在S中一个点C满足AC = BC，我们称S是无中心的，如果对S中任意三个不同的点A,B,C，都不存在S中的一点P，满足PA = PB = PC. (a)证明：对每个整数n ≥ 3，均存在一个由n个点构成的平衡点集.

(b)确定所有的整数n ≥ 3，使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集.

第2题. 确定所有三元正整数组(a,b,c)，使得ab - c, bc - a, ca - b中的每个数都是2的方幂. (2的方幂是指形如2的整数，其中n是一个非负整数.)

第3题. 在锐角三角形ABC中，AB > AC.设r是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足，M是边BC的终点，Q是r上一点，使得∠HQA = 90°,K是r上一点，使得∠HKQ = 90°,已知点A,B,C,K,Q互不相同，且按此顺序排列在r上.

证明:三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.

n

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2015年7月11日，星期六

第4题. 在三角形ABC中，Ω是其外接圆，O是其外心.以A为圆心的一个圆r与线段BC交于两点D和E，使得B,D,E,C互不相同，并且按此顺序排列在直线BC上.设F和G是r和Ω的两个点的交点，设L是三角形CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.

假设直线FK和GL互不相同，且交于点X.证明：X在直线AO上.

第5题. 设R是全体实数的集合.求所有的函数f：R→R.满足对任意实数x，y，都有

f(x + f(x + y)) + f(xy)=x + f(x + y) + yf(x)

第6题. 整数序列a1，a2，…满足下列条件：

(i)对每个整数j ≥ 1，有1 ≤ aj ≤ 2015； （II）对任意整数1 ≤ k < ξ，有k + ak ≠ ξ + aξ 证明：存在两个正整数b和N，使得

jnm1（anj2b） ≤ 1007

对所有满足n > m ≥ N的整数均成立.

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第五十七届（2016年）

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