2014年中考二次函数专题复习

考点1：二次函数的图象和性质 一、考点讲解：

21．二次函数的定义：形如yaxbxc（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

24acb2bbyaxbxc⑵ 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为（－2a，4a），对称轴x=－2a；当a

2、（2012•衢州）已知二次函数y=1215x-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，22则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）

A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 3、（2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ． 4、.抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是______ 2、函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ）

25、如果将抛物线y2x向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（ ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－bb2a，y随x的增大而增大，x＜－2a，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－b2a，y随x的增大而减小，x＜－b2a，y随x的增大而增大．

注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称

轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1,y），（x2,y），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线

xx1x2。

2⑶ 当a＞0时，当x=－b4acb2b4acb2。2a时，函数有最小值4a；当a＜0时，当 x=－2a时，函数有最大值4a

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． 注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”

考点二：二次函数图象上点的坐标特点

1 （2012•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）

A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2

6、已知直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ） 7、抛物线y=x2－４x＋5的顶点坐标是（ ）．直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为____．

8、二次函数yx2bxc的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 9、已知点P (a，m）和 22Q(0，mc）是抛物线y=2x+4x－3上的两个不同点，则a+b=______ 10．已知二次函数y1axbx(a≠0）与一次函数y2=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______ 11、若直线 y=ax－6与抛物线y=x2－4x+3只有一个交点，则、已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y= 1a的值为（ ）

12 上，点 N在直线上，

设点M的坐标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a＋b）x的顶点坐标为2x

___. 考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系 一、考点讲解：

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；抛物线开口向下，则a＜0．

2、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－bbb2a＜0，即2a＞0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－2a＞0，即b2a＜0．则a、b异号．即“左同右异”．

3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线yax2bxc(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，a

－b+c是抛物线yax2bxc(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 1、（2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论： ①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2， 则正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④

2．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12．下列结论中，正确的是（ ） A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

3．已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c< 0，④2a－b+l＞0．其

中的有正确的结论是（填写序号）__________． 4、（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0； ③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0． 其中正确的是 （把正确的序号都填上）．

1题图 2题图 4题图 考点4：二次函数解析式求法 二次函数表达式的求法：

⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得

yax2bxc；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：ya(xh)2k其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

⑶y交a点(x式x法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

1)(xx2),其中与x轴的交点坐标为（x1

，0），（x2，0）。 解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二

次函数的顶点在坐标原点可设yax2；已知顶点（0，c），即在y轴上时可设yax2c；已知顶点（h，0）即顶点在x轴上可设ya(xh)2.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。 1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式． 2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式． 3．已知抛物线与 x轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．

4、已知抛物线y=x2+(2n－1)x+n2

－1 (n为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

考点5：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解 一、考点讲解：

1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程2ax2bxc0就是二次函数yaxbxc当函数y的值为0时的情况．

（2）二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有

交点；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

（3）当二次函数yax2bxc的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程yax2bxc有两

个不相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x二次方程yax2轴没有交点时，则一元

bxc没有实数根．

解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| x1－x2|来表示。 1．已知函数y=kx2－7x—7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） 2．不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（ ）

A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点 C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方 3．已知二次函数y =x2－x－6· （1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标； （2）画出函数图象 （3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积 （5）x取什么值时，函数值大于0？ （6）x取什么值时，函数值小于0？ 【备考真题过关】 1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）

A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3 2．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3

3．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ） A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3 4、（2012•西宁）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ） A． 当x=0时，y的值大于1 B． 当x=3时，y的值小于0 C． 当x=1时，y的值大于1 D． y的最大值小于0 5、（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）

A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1 7．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 8、（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．

9、 （2010湖北孝感，）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，

下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2

=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10、（2010 天津）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：①b24ac0；②abc0；③8ac0；④9a3bc0． 其中，正确结论的个数是A、1 B 、2 C 、3 D、4 y 21O x

x19题图 10题图 11题图 12题图

11、（200920年甘肃庆阳）如①ab；②方程ax2bx图为二次函数yax0c0的根为x，bxxc的图象，给出下列说法：

时，1x131x值的增大而增大；⑤当y．其中，正确的说法有23；③abc0；④当x1时，y随 ．12、m（2012泰安）二次函数yax2bx的图象如图，若一元二次方程ax2bx（写出序号）m0

有实数根，则 的最大值为（ ） A．3 B．3 C．6 （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程xxax2 D．9

bxc0(a0)的两个实数根x和xax2bxc(a0)的图象有可能是（ 1、x）

2满足

1241x23，那么二次函数yy A(1,4)B(4,4)CO Dx

（第14 ）

13、（ 2011广西崇左，18，3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c

（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1.其中正确的项是（ ） A．①⑤ B．①②⑤

C．②⑤ D．①③④ 14、（2010 浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线ya(xm)2n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为( ) A．－3 B．1 C．5 D．8 15、（2010安徽蚌埠）已知函数y3(xm)(xn)，并且a,b是方程3(xm)(xn)0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是

A．mabn B．manb C．ambn D．amnb 16、（2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x－1）（x－2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足 A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2

17、（2010安徽蚌埠）已知抛物线y12x2bx经过点A(4,0)。设点C（1，-3）

，请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得ADCD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

18、抛物线y= –(x–1)2

+2关于x轴对称的抛物线的解析式是______________

关于y轴对称的抛物线的解析式是________关于原点中心对称的抛物线的解析式是__________ 关于顶点中心对称的抛物线(或绕顶点旋转180°)的解析式是________ 解答题

1、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

C BA

2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

3、（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,Cl的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴l上一动点． y （1） 求抛物线的解析式；

l （2） 求当AD+CD最小时点D的坐标；

C （3） 以点A为圆心，以AD为半径作⊙A． ①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切． x ②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：___________． A O B

4、（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2

+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标． E

5、（2011广东肇庆，（25，10分）已知抛物线yx2mx34m2（m0）与x轴交于A、B两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）若112OBOA3（O是坐标原点）

，求抛物线的解析式；

6、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A3，0、C0，2． （1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

y

A O B x C

7．已知抛物线y＝ax2

＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)

求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．