１８中学数学教学２０１４年第６期对一道２０１４年高考浙江解析几何题的探究安徽省枞阳县会宫中学姚汉兵王怀明（邮编：２４６７４０）一口一ｂ．当且仅当ｋｚ一旦时，等号成立．由椭圆的对称性知，当点Ｐ在其他象限时，结论仍然成立．所以点Ｐ到直线ｚ，距离的最大值为口一ｂ．结论２椭圆Ｃ：７，ｒ２十萨２—１（口＞６＞ｏ），动直线￡与椭圆Ｃ相切于点Ｐ，且点Ｐ在第一象限．过原点０的直线Ｚ。与Ｚ垂直，当点Ｐ到直线ｚ。的距离取最大值时，点Ｐ的坐标为【、厕’以再虿Ｊ‘ｆ口石６万１证明略．经探究，由这道高考题可以得到以下结论：结论１椭圆Ｃ：≤＋等一ｌ（ｎ＞ｂ＞０），动直线ｚ与椭圆（？切于点Ｐ．若过原点。的直线ｚ，与ｚ垂直，则点Ｐ到直线ｚ，距离的最大值为以一ｂ．证明当直线Ｚ的斜率不存在时，易知点Ｐ不妨设ｚ与ｚ。的交点为Ａ，则点Ｐ到ｚ。的距到直线ｚ，的距离为０．当直线ｚ的斜率存在时，设离即为线段ＰＡ长．如图，以点０为圆心，ＯＡ长直线Ｚ的方程为Ｙ一妇＋研．由为半径作圆．因为ＰＡ（即ｚ）垂直圆的半径ＯＡ｛ｌｉ？ｊ？｛：ｚｚｚ＋口！ｖｚ一以：６１消去ｙ，得∞２＋酽于点Ａ，所以ｚ为该圆的切线．因此，直线ｚ是椭。，消去ｙ，得（６ｚ＋ａ２足ｚ）ｘ２＋＋圆与圆的公切线．由此，得到以下结论：２ａ２ｋｍｘ＋以２ｍ２一ｎ２ｂ２—０．因为直线Ｚ与椭圆Ｃ．．２结论３椭圆ｃ：与＋告一１（倪＞ｂ＞０），一２相切，所以△一０，即Ｕ２ｋ２＋ｂ２一菥一０．当点Ｐ在“Ｕ第一象限时，得Ｐ（一了萨ａ丽２ｋ７矿丽ｆｆ）．由动圆Ｍ：ｚ２＋ｙ２一产（６＜，＾＜口）．若直线ｚ分别与椭圆和圆相切于点Ｐ、Ａ，则线段ＰＡ长的于直线ｚ。与ｚ垂直，于是Ｚ。的方程为ｚ＋ｋｙ一０最大值为口一ｂ．，点Ｐ到Ｚ。的距离为（安徽省宿州市２０１２届高三数学第三次模一２．．２｝一！！：垒．．．垡垒拟考试理科第２０题），√厶！．．１“？是。＝√６１＋“！走！Ｉ已知椭圆ｃ：参＋旁一１√／１＋走！≤篇（口＞６＞０）的两焦点为Ｆ１（一Ｉ，ｏ），Ｆ２（１，０），并且经过点Ｐ（１，昔）．（工）求椭圆Ｃ的标准方程；万方数据２０１４年第６期中学数学教学１９（Ⅱ）已知圆０：ｚ２＋ｙ２一ｒ上（６＞ｒ＞ｎ），若直线ｚ与椭圆Ｃ只有一个公共点Ｍ，且直线Ｚ与圆０相切于点Ｎ；求ｆＭＮＩ的最大值．结论５设椭圆ｃ：Ｘ孑２十萨２—１（口＞６＞ｏ）上任意一点Ｐ（ｚ。，Ｙ。）处的法线为Ｚｏ，则答案（Ｉ）椭圆ｃ的方程为Ｘ百２＋警一１；（Ⅱ）由结论３知，最大值为２一√３．（１）当ｙ。≠０时，如在ｚ轴上截距的取值范围是［一鲁，鲁］；（２）当ｚ。≠０时，ｌ。在Ｙ轴上截距的取值范／，／／｝泌≯Ｄ∥＼。一，，围是［一百Ｃ２，百Ｃ２］．证明椭圆在点Ｐ（ｚ。，Ｙ。）处的切线方程∑＋＼／Ｑ／／为了３２０Ｘ＋铲一１．（１）当ｚ。一。时，法线如的方程为ｚ一０，在ｚ轴上截距为０．当ｚ。≠０时，法我们知道，椭圆在点Ｐ处的法线ｌ。垂直于切线ｌ，当ｚ。与ｌ垂直时，有ｌ。／／ｌ，．若过点０作０Ｑ上１。于点Ｑ，则四边形ＯＡＰＱ是矩形．由此，得到以下结论：线ｚ。的方程为３，一３『。一ａ６２ＺｚＹ＿＿＿＿Ａ。ｏ（ｚ—ｚ。），令３，２ｏ，并由曲≠ｏ，得ｚ一≥ｚ。，因为一口≤ｚ。＜ｏ或０＜ｚｏ≤丑，所以一Ｌ≤ｚ＜０或０＜ｚ≤Ｌ．口结论４设椭圆ｃ：篆２＋蕾２—１（口＞６＞ｏ）上任意一点Ｐ处的法线为ｌ。，则点０到Ｚｏ距离的最大值为ａ—ｂ．证明口综上，ｌ。在ｚ轴上截距的取值范围是［一鲁，鲁］．同理，如在Ｙ轴上截距的取值范围是厂ｆ２设点Ｐ的坐标为（ｚ。，Ｙ。），则点Ｐ处的切线方程为Ｘ丁ｏＸ＋泸一１，则点Ｐ处的法线ｚｏ的方程为ａ２Ｙｏｘ－－ｂ２ｚｏｙ－－ｃ２ｚｏＹｏ一０，点０到如距离ｄ—ｃ２］【－一百’百ｊ‘结论６设椭圆ｃ：荸＋荸一１（口＞６＞ｏ）上任意一点Ｐ（ｚ。，Ｙ。）处的法线为ｌ。，则ｌ。ｆ２ｚｏＹｏ』一以巧■干石≮■√ｚｏ。啄２与两坐标轴围成三角形的面积的最大值是蒜・证明２。Ｙｏ≤志当勘弘≠０时，法线ｌｏ的方程为ｙ一弘２簇（ｚ一洳），令３，一ｏ，得ｚ一手氙，令ｚ一０，得ｙ一一紊曲・如与两坐标轴围成的三角形一而一口一６・一—ａ２＿－－—ｂ－ｚ一口一６．结论４也可以先证明四边形Ｃ｝ＡＰＱ是矩形，再根据结论１：点Ｐ到直线ｌｔ距离的最大值为ａ—ｂ，得点０到ｚ。距离的最大值为口一ｂ．由此可以看出，这道高考题的本质是证明椭圆的中心０到椭圆上某一点处法线距离的最大值为口一ｂ．面积ｓ一丢Ｉ手勘ｌＩ一嘉肌Ｉ一＿丽Ｃ４ｚ。弘Ｉ．因为罨≠＋喾一１，所以２上宅≯≤１，即ｋ殉Ｉ≤ｉａｂ．所以ｓ≤艺．（敝箍日期．２０１４—０９—１４、下面继续探究椭圆上一点法线的性质．万方数据
