实际问题与反比例函数（二）教案

17·2实际问题与反比例函数（二）

教学目标：

1. 能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。
2. 能综合利用工程中工作量、工作效率、工作时间的关系及反比例函数的性质解决一些实际问题。
3. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题的能力。

教学重点：掌握从实际问题建构反比例函数模型。

教学难点：从实际问题中寻找变量间的关系，关键是运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合思想。

教学过程：

1. 创设问题情景，引入新课

活动1

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：

1. 根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
2. 猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
3. 设经营此卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？

师生行为：学生亲自动手操作，并在小组内合作交流。教师巡视学生小组讨论结果。在此活动中教师应重点关注：

①学生动手操作的能力；

②学生数形结合的意识；

③学生数学建模的意识；

④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法。

分析：（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出对应点（3，20）（4，15）（5，12）（6，10）。

（2）由右图可猜测此函数为反比例函数的一支，设，把点（3，20）代入，得k=60。

所以。

把点（4，15）（5，12）（6，10）代入上式均成立。

所以y与x的函数的关系式为。

所以W=（x－2）y=（x－2）×=60－

当x=10时，W有最大值。

即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润。

由此我们可知，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题。

下面我们再来看又一个生活中的问题。

2. 讲授新课

活动2

【例2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。

1. 轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t之间有怎样的函数关系？
2. 由于遇到紧急情况，船上的货物必需在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天要卸多少吨货物？

师生行为：学生先思考，然后小组合作交流。教师应鼓励学生用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程、不等式、函数三者之间的关系，在此活动中教师应重点关注：

①学生能否自己建构函数模型；

②学生能否将函数、方程、不等式的知识联系起来；

③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志。

分析：从题设中我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度和卸货时间的关系，根据卸货速度=货物总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系，但货物的总量题中并未直接告诉我们，如何求得？

题中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。根据装货速度×装货时间=货物总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8=240吨。

解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=3×80=240。

所以v与t的函数关系式为

（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必需在不超过5日内卸载完毕，求平均每天卸载货物至少多少吨？即当t≤5时，v至少为多少吨？

由v=得t=，

t≤5,所以≤5，

又∵v>0,所以240≤5v.

解得v≥48。

（2）另解：画出在第一象限内的图象（因为t>0）。如右图。

当t=5时，代入得v=48

根据反比例函数的性质，在第一象限，v随t的增大而减小。所以当0<t≤5时，v≥48。即若货物不超过5天内卸完，则平均每天卸货48吨。

再解：把t=5代入，得

。

从结果可以看出，如果货物恰好在5天卸完，则平均每天卸货48吨，若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨。

三、巩固提高

活动3

一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地。

（1）甲、乙两地相距多少千米？

（2）如果汽车把速度提高到（千米/时）那么从甲地到乙地所有时间（小时）将怎样变化？

（3）写出与之间的函数关系式：

（4）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？

（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米/时，那么它从甲地乙地最快需要多长时间？

师生行为：

先由学生完成，后在小组内讨论交流。

四、课时小结

本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看到什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系。