4-1探索多边形的内角和与外角和教案

《探索多边形的内角和与外角和》教学设计

东陈镇中

原红娟

探索多边形的内角和与外角和(一)

教学目标

(一)教学知识点：

1、理解多边形的定义。

2、掌握多边形的内角和公式。

(二)能力训练要求

1、经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

(三)情感与价值观要求

1、过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。

2、学生懂得数学内容普遍存在相互联系、相互转化的特点。

教学重点：多边形的内角和.

教学难点：多边形的内角和公式推导过程.

教学过程：

一．引入课题：

前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕{课件显示}

刚才大家看到许多实物图片，它与数学图形联系起来，你知道它们各是什么图形？

这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形www.xkb1.com

 二.讲授新课：

什么叫多边形呢？在七年级上册的第一章中曾有这样的定义：

多边形是有一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

我们在初中阶段主要探讨的是平面几何，所以现在定义的多边形应在同一平面内，即在定义中应注意：(1)若干条;(2首尾顺次相连，二者缺一不可。

多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))。

图(1)的多边形是凹多边形。我们探讨的一般都是凸多边形.

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.

如下图：

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。新课标第一网

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(课件显示)

1. 一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？
2. 小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？

(3)还有其他的方法吗？

(学生讨论、画图、归纳自己的方法)

在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.

请同学们完成课本的“想一想”。

（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°）

大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？

（必须是大于3的自然数.）

同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）

要求n边形的内角和，只需把n代入内角和公式(n－2)·180°中，即可算出。下面大家看屏幕“想一想”

观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.

2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.

下面大家想一想，议一议：（课件出示）

1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

3.正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

三．知识运用：

例1：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为           

例2：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？

四.课堂练习

(一)课本“随堂练习”

1.如下图.

(1)作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来.

(2)求这个多边形的内角和.

五、小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.

即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.

六．.课后作业：课本习题4.11  1、2、3

板书设计：

探索多边形的内角和与外角和(二)

教学目标

(一)教学知识点：

1、了解多边形的外角。

2、掌握多边形的外角和公式。.

(二)能力训练要求：

1、经历探索多边形的外角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

(三)情感与价值观要求

培养学生勇于实践、大胆创新的精神和积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化及数学来源实践，又反过来作用于实践的观点。.

教学重点：多边形的外角和公式及其应用.

教学难点：多边形的外角和公式的应用.

教学过程：

一.导入课题

大家清早跑步吗？小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？看大屏幕。

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小道，按逆时针方向跑步.

(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.

(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

（请同学们分组探讨解决，教师总结）

下面大家来看小亮的思考：（课件显示）

如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5. ∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ恰好组成一个周角。

大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？

它们的和叫什么呢？

（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和.）

我们这节课就来探讨多边形的外角及外角和.

二.讲授新课

那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角.  多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.

一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角.

那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）

刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：（课件显示）

如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？

(学生讨论，得出结论)

（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）

那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？

因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.

性质：多边形的外角和都等于360°

由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.下面大家来想一想、议一议：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？

（请学生思考后回答）

（因为对于n(n是大于或等于3的整数)边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=(n－2)·180°）.

学完了外角和公式，现在我们来应用一下，来熟悉巩固外角和公式。

三．知识应用

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.

(让学生动手解答)

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，所以：

(n－2)·180°=3×360°

解得：n=8

这个多边形是八边形.

四.课堂练习

(一)课本随堂练习

1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？

2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？

 (二)试一试

1.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？

2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

五.小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.

六.课后作业:课本习题4.12  1、2、3

七．板书设计：

1. 多边形的外角
2. 边形的外角和公式：多边形的外角和都等于360°
3. 例1（性质的应用）
4. 练习