§1-5 一元一次不等式与一次函数（二）教学设计教案

§1.5 一元一次不等式与一次函数（二）

教学目标：

1.掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。

2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。

教学重点：初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数图象求一元一次不等式的解集。

教学难点：理解一元一次不等式与一次函数的关系。

教学过程：

一、提出问题，导入新课

放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？人们犹豫了，有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙.

二、新课讲授

1.［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

请大家先计划一下，你选哪家旅行社？

分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于.

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y₁元，选择乙旅行社时，所需的费用为y₂元，则

y₁=200×0.75x=150x

y₂=200×0.8（x－1）=160x－160

当y₁=y₂时，150x=160x－160,解得x=16;

当y₁＞y₂时，150x＞160x－160,解得x＜16;

当y₁＜y₂时，150x＜160x－160,解得x＞16.

因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当

17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.

由此看来，选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？

2.下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？

［例2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.

（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.

（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（4）什么情况下两家商场的收费相同？

有了刚才的经验，大家应该很轻松地完成任务了吧.

解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y₁元，购买乙商场的电脑所需费用为y₂元.则有

（1）y₁=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500

y₂=80%×6000x=4800x

（2）当y₁＜y₂时，有4500x+1500＜4800x

解得，x＞5

即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；

（3）当y₁＞y₂时，有4500x+1500＞4800x.

解得x＜5.

即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；

（4）当y₁=y₂时，即4500x+1500=4800x

解得x=5.

即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同.

三、课堂练习

某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.

解：设需刻录x张光盘，则

到电脑公司刻录需y₁=8x（元）

自刻录需y₂=120+4x

当y₁=y₂时，8x=120+4x，

解得x=30;

当y₁＞y₂时，8x＞120+4x,

解得x＞30;

当y₁＜y₂时，8x＜120+4x,

解得x＜30.

所以，当需刻录30张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等；

当需刻录超过30张光盘时，自刻费用省；

当需刻录不超过30张光盘时，到电脑公司刻录费用省.

某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费.

（1）什么情况下选择甲公司比较合算？

（2）什么情况下选择乙公司比较合算？

（3）什么情况下两公司的收费相同？

解：略.

四、课时小结

本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所用.

五、课后作业   习题1.7第2题.

六、活动与探究

某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.

（1）设该批发商待运的海产品有x吨,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y₁元和y₂元，试求y₁和y₂与x的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？

［分析］（1）仔细观察，根据题目中二维表格给出的收费项目和收费标准，以及已知的路程和速度，不难求得函数关系，但应注意从表格中准确提取信息，并细心计算；

（2）究竟选择哪家货运公司承担运输业务，可使运费最省，由题目条件看，应由批发商海产品的数量来确定，我们可以把问题转化为不等式，当y₁＞y₂时，有250x+200＞222x+1600;当y₁＜y₂时，有250x+200＜222x+1600,然后通过解不等式，使得问题迎刃而解.当然，也可以讨论y₁=y₂的情况，求得x=50后，再分析求解.

［解］（1）根据题意，得

y₁=200+2×120x+5×x=250x+200;

y₂=1600+1.8×120x+5×x=222x+1600

（2）分三种情况

①若y₁＞y₂,250x+200＞222x+1600,

解得x＞50;

②若y₁=y₂,250x+200=222x+1600，

解得x=50;

③若y₁＜y₂,250x+200＜222x+1600,

解得x＜50.

综上所述，当所运海产品不少于30吨且不足50吨时，应选择汽车货运公司承担运输业务；

当所运海产品刚好50吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运输业务；

当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务.

［评注］此题是一道方案决策最优化问题，虽然题目中信息很多，但由于批发商的待运海产品的数量不确定，使得方案决策不确定，这就需要准确提取信息，通过列出数式，找函数关系，解不等式等数学手段，解决实际问题.应用不等式的知识解决日常生产问题是我们常见的题型.  

七、教学反思：

函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。